福建省泉州市丰泽区泉州市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各式中，是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了分式，熟练掌握分母整式中含有字母是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得是分式，其余都不是，故B正确．
故选：B．
2. 某种细胞的直径是，将0.00000024用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000024=2.4×10-7；
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系各个象限中点的坐标特征，结合横坐标、纵坐标均为正数即可得到答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点横坐标、纵坐标均为正数，
点位于第一象限，
故选：A．
【点睛】本题考查平面直角坐标系中，各个象限中点的坐标特征，熟记各个象限中点的坐标特征是解决问题的关键．
4. 若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（ ）
A. 不变B. 扩大2倍C. 缩小为原来值D. 缩小为原来值的
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分式中的x和y都扩大2倍，则，即可解答．
【详解】解：由题意，分式中的x和y都扩大2倍，
∴，
∴分式的值不变，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
5. 点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A. （1，2）B. （﹣1，2）C. （﹣1，﹣2）D. （﹣2，1）
【答案】C
【解析】
【详解】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（﹣1，﹣2），
故选：C．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，正确地记住关于坐标轴对称的点的坐标特征是关键．
关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；
关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数．
6. 反比例函数的图像上有两个点，当时，，则k的取值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数图像性质，根据增减性判断出反比例数图像所在的象限是解题关键．
根据题意：可得该函数图像在一、三象限，据此列关于k的不等式求解即可．
【详解】解：∵反比例函数的图像上两点，当时，，
∴该函数图像在一、三象限，
∴，解得：．
故选A．
7. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，一次函数的图象，反比例函数的图象．熟练掌握直线与坐标轴的交点，一次函数的图象，反比例函数的图象是解题的关键．
根据直线与坐标轴的交点，一次函数的图象、反比例函数的图象与比例系数的关系进行判断作答即可．
【详解】解：当时，，即函数与轴的交点坐标为，B错误，故不符合要求；
当时，函数经过第一、二、三象限，函数经过第二、四象限，A错误，故不符合要求；
当时，函数经过第一、二、四象限，函数经过第一、三象限，C正确，故符合要求；D错误，故不符合要求；
故选：C．
8. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，则不等式的解是（ ）
​
A. B. 或
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，
观察函数图象，发现：
当或时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∴不等式的解集是或．
故选：B．
9. 如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立坐标系，并设入水与前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则关于与的关系，正确的是（ ）
A. ，B. ，C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【详解】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为，的两个点和，
则，，
，
，
当取横坐标为正数时，同理可得，
，，
，
故选：C
10. 如图，两点在反比例函数的图像上，两点在反比例函数的图像上，轴于点，轴于点，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，设，，，，分别用含的式子表示出的值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设，，，，
∵，
∴，则，
，则，
∵，
∴，解得，，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，理解并掌握反比例函数图像的性质，点坐标表示两点之间的距离的计算方法是解题的关键．
二、填空题：（每题4分，共24分）
11. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据零次幂及乘方可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查有理数的乘方及零次幂，熟练掌握零次幂及乘方是解题的关键．
12. 如果代数式有意义，那么实数的取值范围_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解决此题的关键．
【详解】解：根据题意知，
解得．
故答案为：．
13. 若点在轴上，则点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查点的坐标，掌握在坐标轴上点的坐标特征是正确解答的前提．根据在轴上点的坐标特征，即纵坐标为0，进行解答即可．
【详解】解：点在轴上，
，
即，
当时，，
点的坐标为，
故答案为：．
14. 将直线向上平移a()个单位长度后，经过点，则a的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解．
【详解】解：直线向上平移a()个单位长度后的解析式为：，
∴，
解得：
故答案为：
15. 如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．
【答案】
【解析】
【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【详解】解：∵AB⊥y轴，
∴S△OAB=|k|，
∴|k|=2，
∵k＜0，
∴k=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
16. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C在x正半轴上，且．点P为线段（不含端点）上一动点，将线段绕点O逆时针旋转，得线段（见图2），连接当线段取得最小值时点Q的坐标________．
【答案】
【解析】
【分析】利用待定系数法即可得出点、点坐标；只要证明，可得；设直线交轴与，则点在直线上运动，根据垂线段最短可知当时，的长最短，求出直线的解析式，运用等腰直角三角形的性质进行分析，即可作答．；本题考查一次函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．
【详解】解：对于直线令得到，令，得到，
，，
，
．
由旋转可知，，，
，
在和中，
，
∴，
，
，，
，
．
如图2中，
，设直线交轴与，则点在直线上 运动，
设的解析式为
，，
则
解得
∴的解析式为，
，
∴，
∵根据垂线段最短可知当时，的长最短，
，

∵，，
∴，
∴，
把代入，
∴，
当最短时，点坐标为．
故答案为：．
三、解答题（共86分）
17. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同乘以（x-2），然后问题可求解．
【详解】解：
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
∴，
经检验：当时，x-2≠0，
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，再把代入，即可作答．
【详解】解：
当时，原式．
19. 已知.
（1）当m，n为何值时，是的一次函数？
（2）当m，n为何值时，是的正比例函数？
【答案】（1）
（2），
【解析】
【详解】解：（1）是的一次函数，
且，为任意实数，解得.
（2）是的正比例函数，
且，，
解得，
20. 人们对网购的热衷促进了快递行业的发展，某快递站点为提高投递效率，给快递员配备了电动车，结果平均每人每天比原来多投递60件．若快递站点的快递员人数不变，站点投递快件的能力由每天400件提高到640件．求现在平均每人每天投递快件多少件？
【答案】160件
【解析】
【分析】设现在平均每人每天投递快件件，根据快递站点的快递员人数不变，建立方程进而求解．
【详解】解：设现在平均每人每天投递快件件，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：现在平均每人每天投递快件160件．
【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，理解题意，根据题中所说“快递员人数不变”建立方程，是解题的关键．注意，分式方程求解之后，需要检验．
21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D两点，与反比例函数的图象交于、两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求的面积；
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，主要考查学生的计算能力．利用了数形结合思想．
（1）把A点的坐标代入即可求出反比例函数解析式，进而得出B的坐标，把A、B的坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）先求出D点坐标，再根据列式计算即可．
【小问1详解】
解：∵反比例函数的图象过点A，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∵点B在上，
∴．
∴B点坐标为；
把A，B两点的坐标代入，
得，解得，
∴一次函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：∵一次函数的图象与y轴交于D点，
∴当时，．
∴D点坐标为．
∴
．
22. 我市是福建省茶叶的主要产区，清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的3倍，每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天．
（1）求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数；
（2）某茶厂计划一天采摘鲜叶600斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和15名新手采茶工人，按点工制度付给熟练采茶工人每人每天的工资为300元，付给新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？
【答案】（1）每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤
（2）茶厂应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少
【解析】
【分析】（1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘600斤鲜叶比新手采茶工人采摘450斤鲜叶少用25天可得等量关系列出分式方程解出．
（2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案．
【小问1详解】
设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则每位熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶3x斤，
根据题意得：
解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，
则熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶是：10×3＝30（斤）．
答：每名熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶30斤，每名新手采茶工人一天能采摘鲜叶10斤．
【小问2详解】
设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，
所以每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶，依题意得，
，
． 6分
因为-20<0，所以y随m的增大而减小，
因为，且m为整数，
所以，当时，y有最小值，
（名）．
∴茶厂一天应安排15名熟练的采茶工人采摘鲜叶，15名新手采茶工人采摘鲜叶能使得费用最少．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用及利用一次函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值．
23. 定义：对于一次函数，我们称函数为函数的“组合函数”．
（1）若，试判断函数是否为函数的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数与的图像相交于点．若，点在函数的“组合函数”图像的上方，求的取值范围；
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的定义新运算的运算规则即可求解；
（2）根据函数图像有交点，联立方程组解方程组，表示出交点坐标，根据组合函数的解析式即可求解．
【小问1详解】
解：是函数的“组合函数”，
理由：由函数的“组合函数”为：，
把代入上式，得，
函数是函数的“组合函数”．
【小问2详解】
解：解方程组得，
函数与的图像相交于点，
点的坐标为，
的“组合函数”为，
，
，点在函数的“组合函数”图像的上方，
，整理，得，
，，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查整式的运算，定义新运算，理解定义新运算的运算法则，整式的混合运算是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，点和点的坐标分别为，．
（1）求线段的长；
（2）点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，连接，设的面积为，试用含的代数式表示（不要求写出的取值范围）；
（3）在（2）条件下，在线段上，当时，在射线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标，可的的长，在中，运用勾股定理即可求解；
（2）根据点的运动，可用含的式子表示的长，根据题意，分类讨论，结合几何图形面积的计算方法即可求解；
（3）根据在线段上，由（2）可知，可证明是的角平分线，求为直角三角形，分类讨论，当时；当时；构成全等三角形，运用勾股定理，图形结合分析即可求解．
【小问1详解】
解：点和点的坐标分别为，，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，点从原点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，运动时间为，
∴，
①当在上时，则，
∴；
②当在延长线上时，则，
∴；
∴综上所示，；
【小问3详解】
解：由（2）可知，当在上时，，
如图所示，点在上，
当时，，
，则，
过点作于，且，
∴，即，
，
，，，
平分，
①当时，过点作轴于点，作轴于点，
∵是角平分线，，
∴，且，
∴，即，
设，则，，
在中，，
∴，
，
∴；
②当时，过点作交射线于，过点作轴，交轴于点，交于点，
∴，又，
，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
设，则，，
，则，
∴，，
；
综上所述，点坐标为或．
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中坐标于图形，勾股定理，全等三角形，角平分线定理，直角三角形的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，构成三角形全等是解题的关键．
25. 如图1，直线经过点，交反比例函数的图象于点，点为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点作轴交直线于点，连接，，若的面积是面积的倍，请求出点坐标；
（3）平面上任意一点，沿射线方向平移个单位长度得到点，点怡好在反比例函数的图象上；
①请写出点纵坐标关于点横坐标x的函数关系式______；
②定义，则函数的最大值为______．
【答案】（1）
（2）点坐标为或
（3）①；②
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．
（1）先根据点求出的解析式，然后求出点的坐标，最后将点的坐标代入中，求出，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点在下方时，当点在上方时，结合“若的面积是面积的倍”，求出点的坐标，将点的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；
（3）①根据题意可得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，则，将其代入中，即可求解；②分为：当时，；当时，；分别解不等式即可求解．
【小问1详解】
解：直线经过点，，
，
解得：，
，
点在直线上，
，
，
，
；
【小问2详解】
①当点在下方时，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
把代入中，
得：，
；
②当点在上方时，
，
，
为的中点，
，，
，
把代入中，得：，
，
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
① 由，沿射线方向平移个单位长度得到点，
得：向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，
，
点恰好在反比例函数的图象上，
，
；
②．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
时，函数有最大值，最大值为；
当时，，
解得：，
时，函数有最大值，最大值为；
．当时，，
即，
当时，，
解得：或（舍去），
，即；
当时，，
解得：，
，即；
综上所述，函数的最大值为，
故答案为：．