福建省泉州市泉港区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分；时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1. 使分式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式的分母不等于0进行解答即可．
【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不等于0，
∴分式有意义的的取值范围是，即．
故选：B
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各象限的点的坐标的符号特点，根据第四象限的点的横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得出正确选项．
【详解】解：点的横坐标大于0，纵坐标小于0，
点在第四象限．
故选∶D．
3. 如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得，再由，两式相加进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
由得，，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的邻角互补是解题的关键．
4. 生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据用科学记数法可以把一个绝对值小于1的非零数表示成，其中，n是一个负整数，n的绝对值等于原数中的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零），即可解答．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，熟知概念是解题的关键．
5. 若把分式中的和同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大为原来的4倍B. 扩大为原来的2倍
C. 保持不变D. 缩小为原来的倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式的性质，根据分式中的和同时扩大为原来的2倍，得出，再整理得，即可作答．
【详解】解：∵分式中的和同时扩大为原来的2倍，
则扩大后的分式为，
∴则分式的值保持不变，
故选：C．
6. 若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】先把分式方程化为整式方程，再把增根x=2代入整式方程，即可求解．
【详解】解：，
去分母得：，
∵关于x的分式方程有增根，增根为：x=2，
∴，即：m=2，
故选C．
【点睛】本题主要考查解分式方程以及分式方程的增根，把分式方程化为整式方程是解题的关键．
7. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可．
【详解】装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得
．
故选：D．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的．
【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9. 甲乙两人骑自行车分别从，两地同时出发相向而行，甲匀速骑行到地，乙匀速骑行到地，甲的速度大于乙的速度，两人分别到达目的地后停止骑行．两人之间的距离米和骑行的时间秒之间的函数关系图象如图所示，现给出下列结论：①；②；③甲的速度为米秒；④当甲、乙相距米时，甲出发了秒或秒．其中正确的结论有( )
A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数图象；根据函数图象中的数据，可以计算出甲和乙的速度，从而可以判断③；然后根据甲的速度可以计算出的值，即可判断①；根据乙的速度，可以计算出的值，可以判断②；根据甲和乙相遇前和相遇后相距米，可以计算出甲出发的时间，即可判断④．
详解】解：由图可得，
甲的速度为：（米秒），故③错误，不符合题意；
乙的速度为：米秒，
，故①错误，不符合题意；
，故②正确，符合题意；
设当甲、乙相距米时，甲出发了秒，
两人相遇前：，
解得；
两人相遇后：，
解得；故④正确，符合题意；
故选：C．
10. 如图，过的图象上点，分别作轴，轴的平行线交的图象于，两点，以，为邻边的长方形被坐标轴分割成四个小长方形，面积分别记为，，，，若，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．设，在中，令得，进而得出，，，根据得到，即可得到答案．
【详解】解：设，在中，令得，
令得，
，，
，
，，
，
，
．
故选：A
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 化简：______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查分式的加法运算，同分母的分式加法，分母不变，分子直接相加，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：1．
12. 将直线向下平移7个单位长度，所得直线的解析式为______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
【详解】解：将直线向下平移7个单位长度，所得直线的解析式为，即．
故答案为：．
13. 如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF＝53°，则∠BAD＝_____°．
【答案】127
【解析】
【分析】直接利用四边形内角和定理结合平行四边形的性质得出答案．
【详解】解：∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
又∵∠EAF=53°，
∴∠C=360°-53°-90°-90°=127°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=127°．
故答案为：127．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出∠C的度数是解题关键．
14. 已知，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】由得到，代入中计算可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是将正确变形．
15. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，进而得到、在第二象限，在第四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，
∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每个象限内随增大而增大，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点，，在第二象限，在第四象限，
∵，
∴，即
故答案：．
【点睛】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
16. 如图，点的坐标为，直线分别交轴，轴于点，，是线段上一点，连结．现以为边，点为直角顶点构造等腰．若点恰好落在轴上，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是过点作轴于点，构造全等三角形．过点作轴于点，证明，然后设点，得到、、的长，然后由全等三角形的性质列出方程求解的取值，然后得到点的坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于点，则，
，
是以为边，点为直角顶点的等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，，
设点，
则，
，
解得：或（舍去），
把代入得，，
点的坐标为，
故答案为：
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，以及零次幂，绝对值，先化简负整数指数幂，以及零次幂，绝对值，再运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
18. 解分式方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程．先去分母，化分式方程为整式方程，解整式方程求得x的值，再检验并作结论即可．
【详解】解：方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，，
因此是原分式方程的解．
所以原分式方程的解为．
19. 先化简，再求值：，其中x=10．
【答案】
【解析】
【分析】先计算括号内的分式的减法运算，同时把除法转化为乘法，约分后可得化简的结果，再把x的值代入化简后的代数式计算即可得到答案．
【详解】解： 原式=，
=，
=，
当x=10时，
原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算是解题的关键．
20. 如图所示，四边形是平行四边形，，且，，求四边形各边的长．
【答案】四边形各边长：，
【解析】
【分析】根据平行四边形对角线互相平分，可得，，在中利用勾股定理求出，在中求出，继而得出四边形各边长．
【详解】解：四边形是平行四边形，，，
，，
又，
，
在中，，
在中，，
综上可得四边形各边长：，．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及勾股定理的知识，解答把本题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．
21. 如图，一次函数y＝mx＋n（m≠0）的图象与反比例函数（k≠0）的图象交于第二、四象限的点A（－2，a）和点B（b，－1），过A点作x轴的垂线，垂足为点C，已知△AOC的面积为4．
（1）分别求出a和b的值．
（2）结合图象直接写出中x的取值范围．
【答案】（1）a＝4，b＝8；（2）x＜﹣2或0＜x＜8
【解析】
【分析】（1）根据的面积求出A的坐标，代入反比例函数解析式得到系数k的值，再求出B的坐标；
（2）解不等式，就是看反比例函数图象在一次函数图象下方的部分横坐标的取值范围．
【详解】解：（1）∵△AOC的面积为4，
∴
∵A点的坐标为（-2，a）
∴，
∴即
∴A点的坐标为（-2，4）
∴把A点的坐标代入反比例函数解析式中得，解得k＝﹣8
∴反比例函数的关系式为，
∵点B（b，﹣1）在函数上，
∴解得
∴a＝4，b＝8；
（2）根据一次函数与反比例函数的图象可知，不等式的解集即为反比例函数图象在一次函数图象下方的部分横坐标的取值范围．
由图中函数图像可知此时横坐标的取值范围为：或
故答案为：或.
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
22. 若点在一次函数的图象上．
（1）求代数式的值；
（2）点在直线上吗？为什么？
【答案】（1）
（2）点在直线上，见解析
【解析】
【分析】（1）直接把点代入一次函数求出、的关系，代入代数式进行计算即可；
（2）把代入直线，求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
【小问1详解】
解：点在一次函数的图象上，
，
；
【小问2详解】
解：点在直线上，理由：
当时，
，
点在直线上．
23. 【综合与实践】
有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务．
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．

【方案设计】
目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）相邻刻线间的距离为5厘米
【解析】
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解．
【小问1详解】
解：由题意得：，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由（1）（2）可得：，
解得：；
【小问4详解】
解：由任务一可知：，
∴，
∴；
小问5详解】
解：由（4）可知，
∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意．
24. 为了迎接“五一”黄金周的到来，某商店计划购进甲、乙两种文创饰品进行销售，两种饰品的进价和售价如下：
已知用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．
（1）求的值；
（2）商店计划购进甲、乙两种饰品共300件，其中甲种饰品不少于80件且不超过120件．
①求销售完这两种饰品的最大利润；
②“五一”期间，商店让利销售，将乙种饰品的售价每件降低元，甲种饰品的售价不变，为保证销售完这两种文创饰品的利润的最小值不低于31800元，求的最大值．
【答案】（1）a的值为100
（2）①销售完这两种饰品的最大利润为41000元；②m的最大值为40
【解析】
【分析】（1）由题意：用6000元购进甲种饰品的数量与用9000元购进乙种饰品的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）①设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质即可得出结论；
②设购进甲种饰品件，销售完这两种饰品的总利润为元，由题意得出与的一次函数关系式，再由一次函数的性质结合题意得出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确得出一元一次不等式和一次函数关系式．
【小问1详解】
解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为100；
【小问2详解】
解：①设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元，
由题意得：，
其中，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y有最大值，最大值y，
答：销售完这两种饰品的最大利润为41000元；
②设购进甲种饰品x件，销售完这两种饰品的总利润为y元，
由题意得：，
∵，
∴，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴当时，y的最小值，
解得：，
∴m的最大值为40．
25. 如图1，已知直线分别与双曲线，交于，两点，且点的横坐标、纵坐标分别是点的横坐标、纵坐标的2倍．

（1）求的值；
（2）如图2，若是双曲线上的动点，轴，轴，分别交双曲线于，两点，连接，设点的横坐标为．
①直接写出，，的坐标，并求的面积；
当时，为直线上的一点，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标．
【答案】（1）
（2）①A点坐标为（t，），C点坐标为（t，），B点坐标为（，），S△ABC；②点A的坐标为或或
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与平行四边形的关系、坐标与图形等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键．
（1）设Q点坐标为，则P点的坐标为，利用待定系数法求得求解即可；
（2）①先根据已知的A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为，利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求解即可；
②分当为边时和当为对角线时两种情况，利用平行四边形的性质和坐标与图形性质分别列方程求解即可．
【小问1详解】
解：设Q点坐标为，则P点的坐标为．
∵P点在双曲线上，Q点在双曲线上，
∴，则，
∴．
【小问2详解】
解：①∵A点的横坐标为t，轴，轴，
∴A点坐标为，C点坐标为，B点坐标为，
∴，，
∴．
②分两种情况考虑：
（Ⅰ）当为边时，如图1所示．

∵四边形为平行四边形，∴，，
∴D点的坐标为，
∴，即或，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴A点的坐标为或；
（Ⅱ）当为对角线时，如图2所示．

∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴D点的坐标为，
∴，即或 ，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴A点坐标为或．
综上所述，点A的坐标为（2，4）或（2，）或（，4）．饰品品种
进价（元/件）
售价（元/件）
甲
200
乙
300