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2024宁波五校联盟高一下学期4月期中联考试题数学含答案
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这是一份2024宁波五校联盟高一下学期4月期中联考试题数学含答案，共8页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸，已知向量，，且，点在的内部，且满足，下面的命题正确的有，在复平面内，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A．2B．3C．D．
2．如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A．B．C．2D．1
3．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则或与异面
6．已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．．
7．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
8．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下面的命题正确的有（ ）
A．若，，则
B．方向相反的两个非零向量一定共线
C．若满足且与同向，则
D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则；
B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则；
D．若，则的最大值为．
11．在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（ ）
A．若是锐角三角形，则不等式恒成立
B．若，则
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．向量满足，且，，则与的夹角等于______．
13．已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
14．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
16．（本小题15分）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
（1）证明：三条直线相交于同一点
（2）求三棱锥的体积．
17．（本小题15分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角所对的边分别是，满足______．
（1）求角；
（2）若，，且，求的面积
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分
18．（本小题17分）平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
19．（本小题17分）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
2023学年第二学期宁波五校联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）解：（1）由题意得，
因为为纯虚数，
所以解得
（2）复数
它在复平面上对应的点在第三象限，所以，
解得或所以实数的取值范围为．
16．（15分）（1）证明：如图，
连接，分别是的中点，，，且，
∴四边形为平行四边形，，
在中，分别是的中点，，，
且四点共面，
设，平面，平面，平面，平面，
平面平面，
三条直线相交于同一点
（2），三棱锥的高为，
点是棱的中点，，
点分别是棱的中点，，，
．
．
17．（15分）解：选①，
由正弦定理得，
，，即，
，，
，．
选②，
由及正弦定理，可得，
可知：，则，
，．
选③，
由及正弦定理得，
可得，
，；
（2）因为，为中点，
设，，
，
在中，由余弦定理得，
所以的面积．
18．（17分）解：（1）根据角平分线定理：
，所以，
（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
（2）
当且仅当时取等号，即
所以的最小值为．
19．（17分）解：（1），，
，
又，，
，又，，
（2）点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理知，
，当且仅当时等号成立，
；
（3），，
，即平分，
所以，
又，，
，，，
．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
B
B
D
A
C
A
9
10
11
BD
AD
ACD
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，则（ ）
A．2B．3C．D．
2．如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A．B．C．2D．1
3．设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
4．在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，，则
C．若，，则D．若，，则或与异面
6．已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．．
7．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
8．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下面的命题正确的有（ ）
A．若，，则
B．方向相反的两个非零向量一定共线
C．若满足且与同向，则
D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
10．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数满足，则；
B．若复数满足，则；
C．若复数满足，则；
D．若，则的最大值为．
11．在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（ ）
A．若是锐角三角形，则不等式恒成立
B．若，则
C．若非零向量与满足，则为等腰三角形
D．是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．向量满足，且，，则与的夹角等于______．
13．已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
14．在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
16．（本小题15分）如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
（1）证明：三条直线相交于同一点
（2）求三棱锥的体积．
17．（本小题15分）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角所对的边分别是，满足______．
（1）求角；
（2）若，，且，求的面积
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分
18．（本小题17分）平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
19．（本小题17分）在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
2023学年第二学期宁波五校联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．13．14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）解：（1）由题意得，
因为为纯虚数，
所以解得
（2）复数
它在复平面上对应的点在第三象限，所以，
解得或所以实数的取值范围为．
16．（15分）（1）证明：如图，
连接，分别是的中点，，，且，
∴四边形为平行四边形，，
在中，分别是的中点，，，
且四点共面，
设，平面，平面，平面，平面，
平面平面，
三条直线相交于同一点
（2），三棱锥的高为，
点是棱的中点，，
点分别是棱的中点，，，
．
．
17．（15分）解：选①，
由正弦定理得，
，，即，
，，
，．
选②，
由及正弦定理，可得，
可知：，则，
，．
选③，
由及正弦定理得，
可得，
，；
（2）因为，为中点，
设，，
，
在中，由余弦定理得，
所以的面积．
18．（17分）解：（1）根据角平分线定理：
，所以，
（1）因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
（2）
当且仅当时取等号，即
所以的最小值为．
19．（17分）解：（1），，
，
又，，
，又，，
（2）点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理知，
，当且仅当时等号成立，
；
（3），，
，即平分，
所以，
又，，
，，，
．
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C
A
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B
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