2022-2023学年浙江省宁波五校联盟高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年浙江省宁波五校联盟高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先求M的补集，再与N求并集即可．

【详解】∵全集，，

∴，

∵，

．

故选：C.

2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题可列出，可求出.

【详解】的定义域是，

在中，，解得，

故的定义域为.

故选：C.

3．三个数，，大小的顺序是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用指数函数、幂函数的单调性即可求解.

【详解】由为增函数，则，

由为增函数，，

所以.

故选：A

4．幂函数在上单调递增，则过定点（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用已知条件得到求出的值，再利用指数型函数过定点问题求解即可.

【详解】由题意得：

或，

又函数在上单调递增，

则，

则，

当时，

，

则过定点.

故选：D.

5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

6．已知则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据不等式的性质，举特殊值，判断选项.

【详解】A.当时，，所以A不正确；

B.当或时，不成立，故B不正确；

C.，，当时，，即，故C正确；

D. 当或时，不成立，故D不成立.

故选：C

7．已知正数a和b满足ab+a+2b=7，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用，代入所求式子，根据均值不等式求最值即可.

【详解】因为ab+a+2b=7，

所以，，

所以，

当且仅当时等号成立，

故选：A

8．已知，分别为定义在上的偶函数和奇函数，且满足，若对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用奇偶性求出，，讨论和的单调性求最值可得恒成立，则不等式恒成立等价于.

【详解】，，

是偶函数，分是奇函数，，

可得，，

则不等式为，

令，令，由对勾函数的性质可得在单调递增，

则在单调递增，则，

对于，因为单调递增，单调递增，在单调递增，，

恒成立，

则不等式，解得，

，即.

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性求出函数解析式，根据函数的单调性求出最值将不等式等价为即可求解.

二、多选题

9．下列各组函数中是同一函数的是（    ）

A．，

B．，

C．，

D．，

【答案】AD

【解析】根据函数的三要素：定义域、值域、对应关系即可求解.

【详解】对于A，与，两函数的定义域为，

对应关系相同，所以两个函数是相同函数，故A可选；

对于B，的定义域为，函数

的定义域为，所以两函数不是同一函数，故B不选；

对于C，的定义域为，的

定义域为，两函数的定义域不同，故C不选；

对于D，与，两函数的定义域为，

对应关系相同，两函数是同一函数，故D可选.

故选：AD

10．已知，不等式的解集是，下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．关于的不等式的解集是

D．如果，则

【答案】BCD

【解析】根据题意，结合二次函数图象与二次不等式的关系得，和是方程的实数根，进而得，再依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，的解集是，则，故A选项不正确；

对于B选项，由题意知是方程的实数根，故，故B选项正确；

对于C选项，由题意知和是方程的实数根，则由韦达定理得，，则不等式变为，即，解不等式得的取值范围为：，故C选项正确；

对于D选项，如果，则，故，则，故D选项正确.

故选：BCD.

【点睛】本题解题的关键在于根据题意得，和是方程的实数根，进而讨论各选项即可得答案.

11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称该函数为“七彩函数”.下列函数中是“七彩函数”的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【解析】先分析出“七彩函数”既是奇函数又是减函数，再利用函数奇偶性的定义以及常用函数的单调性判断即可.

【详解】由①②得：“七彩函数”既是奇函数又是减函数，

对于选项A：当时，，

，，

得；

当时，，

，，

得；

所以函数是奇函数，

当时，，

所以函数在上单调递减，

故选项A正确；

对于选项B：定义域为R，

，

所以函数为奇函数，且在上单调递减；

故选项B正确；

对于选项C：定义域为，

，

则函数为奇函数，且在定义域上单调递减；

故选项C正确；

对于选项D：，定义域为，

，

则函数函数为偶函数，

故选项D不正确；

故选：ABC.

【点睛】关键点睛：本题以新定义为背景，考查函数性质的判定，常用函数的单调性和奇偶性熟练掌握是解决本题的关键.

12．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆．过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为．则该图形可以完成的所有的无字证明为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】分别在和中，利用射影定理和、判定选项A、C正确.

【详解】，，

根据图形，在中，由射影定理得，所以，

由，且，得：（，），当且仅当时取等号，即A正确；

在中，同理得，所以，

又，所以（，），当且仅当时取等号，即C正确；

故选：AC.

三、填空题

13．命题“，”的否定为______.

【答案】，

【解析】根据特称命题的否定是全称命题可得.

【详解】由特称命题的否定是全称命题，

则命题“，”的否定为，.

故答案为：，

14．已知，若是定义在上的减函数，则实数的取值范围是_____.

【答案】

【分析】已知分段函数为减函数，则每一段函数均为减函数，且在衔接部分也递减，根据这一要求确定参数的范围，取交集即可

【详解】因为是定义在上的减函数，则为减函数，所以；且也为减函数，所以；且时，，取交集得，实数的取值范围是

故答案为：

15．定义，已知函数，则的最小值为______.

【答案】1

【解析】利用已知条件画出图像即可得到最值.

【详解】由定义，

可知函数的图像如图所示：

所以函数在与交点处取得函数的最小值，

所以，

解得：或，

由图像知：当时，函数取得最小值，

所以.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：数形结合是解决本题的关键.

16．已知函数是定义在上的偶函数，且，若对任意两个不相等的正数，，都有，则不等式的解集为___________.

【答案】##

【分析】设，则由可得，即在上单调递增，然后得出的奇偶性和取值情况，然后分、、三种情况解出不等式即可.

【详解】设，则由可得

所以，所以

所以可得在上单调递增

因为函数是定义在上的偶函数，

所以函数是定义在上的奇函数

因为，所以，

所以当或时，当或时，

由可得当时，，，此时无解

当时，，，此时无解

当时，，，所以

综上：不等式的解集为

四、解答题

17．（1）求值：；

（2）若，求.

【答案】（1）1；（2）.

【分析】（1）根据指数的运算性质即可得结果；

（2）对进行平方，结合立方和公式即可得结果.

【详解】（1）原式.

（2）因为，所以，即，

所以.

18．设命题p：，命题q：.

(1)当a＝1时，若为假命题且q是真命题，则求实数x的取值范围；

(2)若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）解不等式求得命题，根据的真假性求得的取值范围.

（2）根据命题的否定、必要不充分条件的知识列不等式，由此求得的取值范围.

【详解】（1），，解得.

，解得，

当时，，

由于假真，所以.

（2）¬p是¬q的必要不充分条件，则是的充分不必要条件，

所以.

19．已知偶函数的定义域为，，当时，函数．

(1)求实数m的值；

(2)当时，求函数的解析式；

(3)利用定义判断并证明函数在区间的单调性．

【答案】(1)

(2)

(3)在区间上为单调递增函数，证明见解析

【分析】（1）由偶函数定义得，代入解析式可得值．

（2）设，由且可得；

（3）设，，作差，判断其正负后可得单调性．

【详解】（1）因为是偶函数，所以，解得；

（2）时，，．

（3）设，，

，

所以，

所以在上是增函数．

20．已知函数，

(1)若a=2，k=1，求函数f（x）的值域；

(2)若，使成立，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据参数的值求解出函数的解析式，再根据复合函数的性质求解值域即可；

（2）先将函数看成关于k的一次函数，运用不等式恒成立问题的处理方法将问题转化为只含一个变量的函数问题，再运用存在性问题的处理方法求解参数的取值范围.

【详解】（1）时，

令

可写出关于t的二次函数

根据二次函数的性质，

所以时，函数的值域为 .

（2）可看成关于 的一次函数，且函数单调递减，

不等式成立， 成立

又, 成立，使得不等式 成立

令，问题转化为函数 在上的最大值不小于4.

时， ，此时函数 的最大值为

，解得；

时， ，此时函数 的最大值为

，解得

所以的取值范围为.

21．济南市地铁项目正在加火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为.

(1)求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量；

(2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值.

【答案】(1)；

(2)发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可.

（2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可.

【详解】（1）由题设，当时，令，

又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，

∴，解得.

∴，

故时，，

所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人.

（2）由（1）知：，

∵时，当且仅当等号成立，

∴上，

而上，单调递减，则，

综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元.

22．已知定义在区间上的函数.

(1)若函数分别在区间，上单调，试求t的取值范围；

(2)当时，在区间上是否存在a，b，使得函数在区间上单调，且的值域为，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）因为，由对勾函数得，函数在上单调递减，在上单调递增，令，结合题意可得所以，解得的取值范围．

（2）当时，，作出图象，分两种情况当时，当时，的值域，进而求得的取值范围．

【详解】（1）因为，所以（当且仅当，即时，取等号），

因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，

要使得函数在区间，上单调，

则．

所以，解得，

所以t的取值范围．

（2）当时，，

作出图象如下：

当时，，

所以，，

所以，

得，即，

所以，

由，即，解得，

因为，所以，

由，

令

所以，

解得，

当时，，．

所以，消m，得，矛盾，

综上，m的取值范围.