浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
2. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. B. C. 2D. 1
3. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A. 和B. 和
C 和D. 和
4. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
5. 为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，则或与异面
6. 已知向量，，且．则在方向上投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D. ．
7. 点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A. B. 3C. D. 2
8. 已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面的命题正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 方向相反的两个非零向量一定共线
C. 若满足且与同向，则
D. “若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数z满足，则
B. 若复数、满足，则
C. 若复数、满足，则
D. 若，则的最大值为
11. 在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（ ）
A. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
B. 若，则
C. 若非零向量与满足，则为等腰三角形
D. 是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于__________.
13. 已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
14. 在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
16. 如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
（1）证明：三条直线相交于同一点
（2）求三棱锥的体积．
17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．已知的内角所对的边分别是，满足______．
（1）求角；
（2）若，，且，求的面积
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分
18. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
19. 在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．