浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（Word版附解析）

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知复数，则（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的乘法运算及复数模的计算得解.
【详解】依题意，复数，所以.
故选：C
2. 如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的倍，得到结果．
【详解】因为是的直观图，且直角边长是，
所以面积为，
因为平面图形与直观图的面积的比为，
所以的面积为，
故选：A
3. 设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（ ）
A. 和B. 和
C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】判断每个选项中的向量是否共线，即可判断出答案.
【详解】由于是平面内的一个基底，故不共线，
和不共线，故A能构成基底，
和共线，故B不能构成基底，
和不共线，故C能构成基底，
根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底，
故选：B
4. 在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过作于，根据的长度大小关系判断三角形个数，即可确定参数范围.
【详解】由题设，过作于，如下图示，
则，可得时，三角形有两解.
当，即时，三角形不存在；
当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；
当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形；

故选：B
5. 为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，则或与异面
【答案】D
【解析】
【分析】ABC可以举出其他情况反驳即可，D选项易知其正确.
【详解】对A，若，，，则或与异面，故A错误；
对B，若，，，则或相交；
对C，若，，则或；
对D，若，，则或与异面，正确.
故选：D.
6. 已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D. ．
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量数量积的运算及向量的坐标运算可得数量积的值，再根据投影向量的运算公式求解即可得答案.
【详解】因为，，则，
所以，则，
所以在方向上的投影向量为
.
故选：A.
7. 点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A. B. 3C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解.
【详解】
因为，
所以，即，
取中点为点，
则，即，
所以在中线上，且
过，分别作边上的高，垂足为，
则，
所以，，
所以，
所以，
故选：C.
8. 已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可知与垂直，结合向量的几何意义，可将向量的模的问题转化为点到线的距离问题，即可求解.
【详解】设，共起点，
由，可得，
所以与垂直，如图
由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，
由题意可知的终点在图中所示的射线上，
所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故最小值为.
故选：.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下面的命题正确的有（ ）
A. 若，，则
B. 方向相反的两个非零向量一定共线
C. 若满足且与同向，则
D. “若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.
【详解】对于A，若，不一定平行，故A错；
对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确
对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；
对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，
故四边形ABCD是平行四边形；
若四边形ABCD是平行四边形，可得，且，
此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确
故选：BD
10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A. 若复数z满足，则
B. 若复数、满足，则
C. 若复数、满足，则
D. 若，则的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用复数的代数形式计算判断A；举例说明判断BC；利用复数的几何意义计算判断D作答.
【详解】对于A，设，则，于是，，A正确；
对于B，令复数、，显然，
满足，而，B错误；
对于C，复数、，满足，而，显然，C错误；
对于D，因为，则在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
表示点到复数对应点的距离，
因此，即的最大值为，D正确.
故选：AD
11. 在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（ ）
A. 若是锐角三角形，则不等式恒成立
B. 若，则
C. 若非零向量与满足，则为等腰三角形
D. 是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据锐角三角形的角的范围：和正弦定理的边角互化关系可以判断A和B，已知为与同向的单位向量然后结合向量的线性运算、数量积和共线定理可得C和D.
【详解】解：A项：由是锐角三角形，故:，
所以：，A正确；
B项：由正弦定理可知：，
若，则，显然不符合，故B错误；
C项：由向量加法法则可知与的角平分线共线，
又可得：的角平分线与垂直，
由三角形的性质可知为等腰三角，故C正确；
D项：过作，如图，
，
所以：，
，
由向量加法的平行四边形法则可知点在边的中线上，
所以动点的轨迹一定通过的重心，故D正确.
故选：ACD.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于__________.
【答案】
【解析】
【详解】由题意可得，解得
，又因为所以．填．
13. 已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】由圆锥体积公式，侧面积公式，扇形圆心角公式，及轴截面三角形中的勾股定理，联立方程组可求解出结果.
【详解】设圆锥的底面半径为R，母线长为，高为，
圆锥的体积，化简得：，
侧面展开图的圆心角，化简得：，
由勾股定理可得：，
代入得：，，
圆锥的侧面积，
故答案为：.
14. 在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理及正弦定理边化角整理计算得到的大小，然后利用正弦定理将用角的表示，利用辅助角公式变形，利用正弦函数的性质求最值.
【详解】因为，
所以，
所以，又，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，又，
所以，又，
所以，
由正弦定理，
所以，
所以
，
由得，
所以，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求的值；
（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义，限制实部虚部求解即可.
（2）根据共轭复数的定义限制实部虚部的范围，解不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
因为为纯虚数，
所以解得
【小问2详解】
复数
它在复平面上对应的点在第三象限，所以，
解得或,
所以实数的取值范围为．
16. 如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．
（1）证明：三条直线相交于同一点
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1.
【解析】
【分析】（1）先通过证明且得到四点共面，且相交，再利用基本事实三可证明结论；
（2）通过以及棱锥的体积公式求解.
【小问1详解】
连接，如图：
分别是的中点，，，
且，
∴四边形为平行四边形，，
在中，分别是的中点，，，
且四点共面，
设，平面，平面，平面，平面，
平面平面，
三条直线相交于同一点；
【小问2详解】
，三棱锥的高为，
点是棱的中点，，
点分别是棱的中点，，，
．
．
17. 在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角所对的边分别是，满足______．
（1）求角；
（2）若，，且，求的面积
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角形角度关系即可得结论；
（2）根据向量相等确定点的位置，再结合余弦定理、三角形面积公式求解即可得答案.
【小问1详解】
选①：由正弦定理得，
，，即，
，，
，．
选②：由及正弦定理，可得，
可知：，则，
，．
选③：由及正弦定理得，
可得，
，；
【小问2详解】
因为，为中点，
设，，
则由余弦定理得，
，
又在中，由余弦定理得，
所以的面积．
18. 平面几何中有如下结论：“三角形的角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，
（1）求的值，并说明理由；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1），理由见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）用表示，再根据三点共线，利用向量共线定理求解即可；
（2）利用结合数量积的运算律和均值不等式“1”的妙用求解即可.
小问1详解】
根据角平分线定理，所以，
因为，，
所以，
因为三点共线，所以，所以．
【小问2详解】
当且仅当时取等号，即，
所以的最小值为．
19. 在锐角中，角所对的边分别是．已知，．
（1）求角；
（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）存在，当且仅当时等号成立，
（3）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，即可求出，从而得解；
（2）根据平面向量线性运算得到，根据数量积的运算律及定义得到，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解；
（3）依题意可得平分，由面积公式得到，再由正弦定理将边化角，最后转化为关于的三角函数，由的范围求出函数的值域，即可得解.
【小问1详解】
，，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
又，，则，
，又，，
【小问2详解】
点是内一动点，，
，，
，
由余弦定理，可得，
即，所以，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，；
【小问3详解】
，，
，即平分，
，
所以，
又，，
所以，解得，，
则，则，即，
即．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是由夹角公式得到，即平分，再由面积公式转化为求出的范围.