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浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析）
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这是一份浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析），文件包含浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷Word版含解析docx、浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷Word版无答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共31页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.
2.整场考试不准使用计算器.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
2. 如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，已知平面α，β，且.设梯形中，，且，.则下列结论正确是（ ）
A. 直线与可能为异面直线B. 直线，，l相交于一点
C. D. 直线与可能为异面直线
4. 如图，一个正四棱锥的五个顶点都在球面上，且底面经过球心.若，则球的表面积是
A. B. C. D.
5. 如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点C到平面的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
7. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. 三棱锥是正三棱锥D. 平面平面
11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ）
A. 弧长度为B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为D. 三棱锥的体积为5
12. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值2
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
三､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13. ，点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为__________.
14. 如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为__________.
15. 已知
（1）若时，的两根为，则的最小值为__________.
（2）若时，恒成立，则的最小值为__________.
16. 下列命题正确的是__________.（填序号）
①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；
④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；
⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.
四､解答题：本大题共4小题，共44分，解答应在相应的答题框内写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知空间向量．
（1）计算和;
（2）求与夹角的余弦值．
18. 正方体中，，分别是，的中点.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求证：平面
19. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
20. 已知函数定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意，均有，则称与关于任意交换．
（1）请判断函数与关于唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
注意事项：
1.本试卷满分100分，考试时间100分钟.
2.整场考试不准使用计算器.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知表示两条不同直线，表示平面，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
2. 如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，已知平面α，β，且.设梯形中，，且，.则下列结论正确是（ ）
A. 直线与可能为异面直线B. 直线，，l相交于一点
C. D. 直线与可能为异面直线
4. 如图，一个正四棱锥的五个顶点都在球面上，且底面经过球心.若，则球的表面积是
A. B. C. D.
5. 如图，在正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点C到平面的距离为（ ）
A. 1B. C. D.
6. 已知正方体中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，则平面AEF截正方体形成的截面图形为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
7. 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和，例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则四棱锥的总曲率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正方体边长为1，点分别在线段和上，，动点在线段上，且满足，分别记二面角，的平面角为，则总有（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9. 如图，为水平放置的的直观图，其中，则在原平面图形中有（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图，以等腰直角三角形的斜边上的高为折痕，翻折和，使得平面平面.下列结论正确的是（ ）
A. B. 是等边三角形
C. 三棱锥是正三棱锥D. 平面平面
11. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ）
A. 弧长度为B. 曲池的体积为
C. 曲池的表面积为D. 三棱锥的体积为5
12. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值2
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
三､填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分
13. ，点在轴上且到两点的距离相等，则点的坐标为__________.
14. 如图，在四面体中，与所成的角为，分别为的中点，则线段的长为__________.
15. 已知
（1）若时，的两根为，则的最小值为__________.
（2）若时，恒成立，则的最小值为__________.
16. 下列命题正确的是__________.（填序号）
①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；
④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；
⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.
四､解答题：本大题共4小题，共44分，解答应在相应的答题框内写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知空间向量．
（1）计算和;
（2）求与夹角的余弦值．
18. 正方体中，，分别是，的中点.
（1）求异面直线与所成角；
（2）求证：平面
19. 已知四棱柱如图所示，底面为平行四边形，其中点在平面内的投影为点，且．
（1）求证：平面平面；
（2）已知点在线段上（不含端点位置），且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
20. 已知函数定义域均为，给出下面两个定义：
①若存在唯一的，使得，则称与关于唯一交换；
②若对任意，均有，则称与关于任意交换．
（1）请判断函数与关于唯一交换还是任意交换，并说明理由；
（2）设，若存在函数，使得与关于任意交换，求b值；
（3）在（2）的条件下，若与关于唯一交换，求a的值．
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