浙江省杭州第二中学钱江学校2023-2024学年高一下学期期中数学试卷（Word版附解析）

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本试卷共150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则（ ）
A. B. 8C. D. 2
2. 已知i为虚数单位，若复数，则（ ）
A. 复数为B.
C. 复数虚部为D. 在复平面内对应的点位于第二象限
3. 在中，，则外接圆的直径为（ ）
A. 3B. C. 2D.
4. 设，是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D 若，，则
5. 在平行四边形ABCD中，，G为EF的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 在正四面体中，是的中点，是的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在三棱柱中，是的中点，是靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成体积分别为的两部分，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知球O的直径，，是球的球面上两点，，则三棱锥的体积为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若向量，，则向量在向量上的投影向量为
C. 非零向量和满足，则与的夹角为
D. 点，，与向量同方向的单位向量为
11. 在正方体中，点M为线段上的动点（含端点），则（ ）
A. 存在点M，使得平面
B. 存在点M，使得平面
C. 不存在点M，使得直线平面所成的角为
D. 不存在点M，使得直线平面所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 复数满足，是虚数单位，则的最大值为_______．
13. 在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．则角_______．
14. 正四面体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则该正四面体的外接球被平面所截得的截面面积为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在某海域A处的巡逻船发现南偏东方向，相距a海里的B处有一可疑船只，此可疑船只正沿东偏北（以B点为坐标原点，正东，正北方向分别为x轴，y轴正方向，1海里为单位长度，建立平面直角坐标系）方向匀速航行．巡逻船立即开始沿直线匀速追击拦截，巡逻船出发t小时后，可疑船只所在位置的横坐标为bt．若巡逻船以30海里/小时的速度向正东方向追击，则恰好1小时与可疑船只相遇．
（1）求a，b的值；
（2）若巡逻船以海里/小时的速度进行追击拦截，能否拦截成功？若能，求出拦截时间；若不能，请说明理由．
16 （1）若，求；
（2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值；
（3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明．
①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点．
17. 在中，内角的对边分别为，.
（1）求；
（2）若面积为，求边上的中线的长.
18. （注意：本题若用向量解法将会适当扣分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，点，分别为和的中点，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 凸多面体的顶点数V，面数F，棱数E之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故；凸多面体的欧拉公式：等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．
（1）若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；
（2）足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．
（3）试求正多面体的个数，并证明；
（4）若所有正多面体表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．