浙江省杭州市西湖高级中学2023-2024学年高一下学期期中数学试题（Word版附解析）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为，
则.
故选：B
2. 若为虚数单位，复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先化简复数，再求共轭复数.
【详解】，则.
故选：D
3. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的坐标运算可求得向量的坐标.
【详解】因为，，则.
故选：A.
4. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若==2， 那么原三角形的周长是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图的作图法则，还原三角形，即可求解.
【详解】因为，由直观图可知，，
所以还原平面图形中，，，在中，,
则三角形的周长为.
故选：D
5. 已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆锥的几何量和展开图几何量的关系，以及扇形的弧长公式，即可求解.
【详解】设圆锥的底面半径为，则圆锥的底面周长为，
所以圆心角为，则.
故选：A
6. 已知非零向量满足，且，则的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平面向量的数量积和模长求夹角即可.
【详解】由已知可得，即，
又因为，所以，
所以夹角为.
故选：C
7. 已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得，再由函数的奇偶性可得时的解析式，然后分情况解出不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，
所以，则，
则，即，
即当时，，
设，则，则，
则当时，由可得，解得，
当时，由可得，解得，
所以不等式得解集为.
故选：A
8. 已知的外接圆圆心为O，且则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.
【详解】因为，
所以外接圆圆心O为BC的中点，即BC为外接圆的直径，如图，
又，所以为等边三角形，
则，故，
所以向量在向量上的投影向量为：．
故选：C．
二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限
C. 若，则的模为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】由复数的模判断AC；由复数的基本概念和几何意义判断BD．
【详解】对A,由，可得，且，故A错误；
对B,若点的坐标为，则故对应的点的坐标为，在第三象限，故B正确；
对C,若，则的模为，故C错误；
对D,设,若，则，
则点的集合所构成的图形的面积为，故D正确．
故选：BD．
10. 已知函数，其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（ ）
A.
B. 区间上单调递减
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象向右平移个单位长度可以得到函数图象
【答案】AB
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合函数解析式，利用五点法作图求出参数，再逐项分析判断得解.
【详解】对于A，观察图象，得，周期，则，
又，则，又，于是，
因此，A正确；
对于B，当时，，而正弦函数在是递减，
因此在区间上单调递减，B正确；
对于C，，的图象关于直线不对称，C错误；
对于D，的图象向右平移个单位长度得，D错误.
故选：AB
11. 如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（ ）
A. 直三棱柱的侧面积是
B. 直三棱柱的外接球表面积是
C. 三棱锥的体积与点的位置无关
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先计算长，再根据直棱柱的侧面积公式，即可判断A；首先计算外接圆的半径，再根据几何关系求外接球的半径，代入公式，即可判断B；根据体积公式，结合线与平面平行的关系，即可判断C；利用展开图，结合几何关系，即可判断D.
详解】A.中，，
所以直棱柱的侧面积为，故A正确；
B.外接圆的半径，
所以直棱柱外接圆的半径，
则直三棱柱外接球的表面积，故B错误；
C.因为，且平面，平面，所以平面，
点在上，所以点到平面的距离相等，为等腰三角形底边的高为，
且的面积为，
则三棱锥的体积为定值，与点的位置无关，故C正确；
D.将侧面展开为如图长方形，连结,交于点，
此时最小，最小值为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是将平面与展开到同一个面，利用两点之间距离最短即可得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12 已知函数，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】借助分段函数的性质计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
13. 已知为的边上一点，，，，则______．

【答案】##
【解析】
【分析】由已知可得，则，设，然后在中利用余弦定理可求出，再在中，利用正弦定理可求得结果
【详解】因为，所以，
所以由，得，
所以．
设，则，，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
所以，．
在中，由正弦定理得，
故．
故答案为：
14. 已知是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使的，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】以为基底，将表示出来，从而求得数量积.
【详解】因为点D，E分别是边AB，BC的中点，所以，
因为，所以，
所以.
因为，，，
所以
.
故答案为：
四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数；
【答案】（1）或 ；
（2）且；
（3）.
【解析】
【分析】（1）（2）（3）利用复数分别表示实数、虚数、纯虚数的充要条件列式计算即得.
【小问1详解】
复数是实数，则，
所以或 .
【小问2详解】
复数是虚数，则，
所以且.
【小问3详解】
复数是纯虚数，则，
所以.
16. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助平面向量线性运算与平面向量基本定理计算即可得；
（2）借助平面向量线性运算及数量积的计算公式计算即可得.
小问1详解】
因为在菱形中，，
故，
故，所以；
【小问2详解】
，
在菱形，且，
故，，
所以.
故
17. 已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点；
（1）求该三棱柱的体积与表面积；
（2）求三棱锥的内切球半径．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
【分析】（1）直接利用体积公式求解即可，直接求解表面积，
（2）利用等体积法求法
【详解】（1），
．
（2）
，
则三棱锥的表面积为．
设三棱锥的内切球半径为r，则，
则
18. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若；
（1）求B；
（2）若，试判断的形状.
（3）若，求的面积的最大值．
【答案】（1）
（2）为等边三角形
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正弦定理分析求解；
（2）根据题意结合余弦定理分析求解；
（3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解.
【小问1详解】
因为，由正弦定理可得，
因为，则，可得，
即，所以.
【小问2详解】
由（1）可知：，
由余弦定理可得：，
又因为，即，
可得，整理得，即，
所以为等边三角形.
【小问3详解】
由（2）可知：，即，
当且仅当时，等号成立，
所以的面积的最大值为.
19. 对于函数，，，如果存在实数a，b，使得，那么称函数为与的生成函数．
（1）已知，，，是否存在实数a，b，使得为与的生成函数？若不存在，试说明理由；
（2）当，时，是否存在奇函数，偶函数，使得为与的生成函数？若存在，请求出与的解析式，若不存在，请说明理由；
（3）设函数，，，，生成函数，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据两角差的正弦化简后可得为与的生成函数；
（2）根据奇函数和偶函数的性质可求与的解析式；
（3）根据生成函数的定义可求，利用对数的运算性质可求得有且只有一个实数解，结合二次函数的图象可求参数的取值范围.
【小问1详解】
因为，
取，故，
故存在实数，使得为与的生成函数.
【小问2详解】
若存在，则，故，
所以，
故.
【小问3详解】
依题意可得，，

令，可得，即（或），
令（或），
结合图象可知，
当时，的图象与直线只有一个交点，
所以，实数的取值范围为.