浙江省杭州市源清中学2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第二学期源清中学高一期中考试

数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】解出不等式，然后根据交集的定义可得答案.

【详解】因为，所以.

故选：D

2. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用指数函数和对数函数的单调性跟比较即可判断.

【详解】因为，，，

所以.

故选：B

3. 下列各式中，值为的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用和差角公式、二倍角公式化简各选项，计算判断作答.

【详解】对于A，，A不符合；

对于B，，B不符合；

对于C，，C符合；

对于D，，D不符合.

故选：C

4. 已知是边长为正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量坐标运算可得，利用二次函数值域的求法可求得结果.

【详解】以中点为坐标原点，正方向为轴可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，

设，，，

，

则当时，；当时，；

的取值范围为.

故选：A.

5. 衡量钻石价值的4C标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中为等腰直角三角形，四边形BCDE为等腰梯形，且，，，则（    ）

A  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】如图，延长CD和BE交于点F，证明四边形ABFC为正方形，再利用平面向量的线性运算求解.

【详解】解：如图，延长CD和BE交于点F，由题得,

所以四边形ABFC为矩形，又,所以四边形ABFC为正方形，

又，所以分别是中点，

所以．

故选：C

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由函数的奇偶性质可知函数为偶函数，再结合时函数的符号即可得答案.

【详解】解：由题知函数的定义域为，关于原点对称，，所以函数为偶函数，其图像关于轴对称，故排除B，D，当时，，故排除C，得A为正确选项.

故选：A

7. 已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.

【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，

所以在定义域上单调递减，

因为在区间上恒成立，所以恒成立，

所以，解得，即；

故选：C

8. 函数在上单调递减，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先根据三角恒等变换化简的解析式，再结合单调区间即可求出的取值范围.

【详解】由题意可得，

因为，所以，

令，由此可得，

因为在上单调递减，所以由此解得.

故选：C.

【点睛】已知三角函数的单调区间求参数，一般先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若向量满足，则（    ）

A.  B. 与的夹角为

C.  D. 在上的投影向量为

【答案】BC

【解析】

【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论.

【详解】因为，所以，

则，故A不正确；

又，，所以，即与的夹角为，故B正确；

又，所以，故C正确；

又在上的投影向量为，故D不正确.

故选：BC.

10. 已知函数（，，，）的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A. 的图像关于点对称

B. 的图像关于直线对称

C. 在上为增函数

D. 把的图像向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图像

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据函数图像求出函数解析式，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.

【详解】由已知，，，，

，，

又，，，

对于A，，故A正确；

对于B，令，，得，，时，，故B正确；

对于C，时，令，在上递增，故C正确；

对于D，把的图像向右平移个单位长度，得函数表达式为，它是偶函数，故D错误.

故选：ABC.

11. 设，，且，则（    ）

A. 的最大值为 B. 的最小值为

C. 的最小值为 D. 的最小值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用基本不等式可判断A选项；求出的取值范围，可得出的取值范围，可判断B选项；利用二次函数的最值可判断C选项；求得，将与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项.

【详解】对于A选项，由基本不等式可得，可得，

当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，由可得，解得，

所以，，B错；

对于C选项，由可得，则，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，C对；

对于D选项，，

因为，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为，D对.

故选：ACD.

12. 已知函数的定义域为为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ）

A. 为周期函数且最小正周期为8

B.

C. 在上为增函数

D. 方程有且仅有7个实数解

【答案】ABD

【解析】

【分析】由条件得函数的对称性，进而得到函数的周期性，然后利用数形结合结合条件逐项分析即得.

【详解】因为为奇函数，所以，即关于点对称；

因为为偶函数，所以，即关于直线对称；

则，

所以，故的周期为，结合条件可得函数的大致图象，进而可得A正确；

，B正确；

由于在上单调递减，且关于点对称，故在上单调递减，又的周期为8，则在上也为减函数，C错误；

作出函数的图象和函数的大致图象，函数的图象与函数的图象恰有7个交点，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】通过函数图象具有中心对称性和轴对称性，推断函数的周期性，由上的解析式，可得函数的大致图象进而可得其他区间上函数的性质.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. ________．

【答案】

【解析】

【分析】根据指数运算和对数运算的性质即可求解.

【详解】.

故答案为：

14. 如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将______块这样玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.1倍，（参考数据：）

【答案】

【解析】

【分析】由题意，建立不等式，利用对数运算，可得答案.

【详解】设光线的强度为，至少重叠玻璃的快数为，则，

整理可得.

故答案为：.

15. 若，，且，，则的值是________.

【答案】

【解析】

【分析】依题意,可求得，进一步可知，于是可求得与的值，再利用两角和的余弦公式及角的范围即可求得答案.

【详解】因为，所以，

因为，所以，即所以.

因为，，所以，

因为，所以.

所以

.

因为，，所以，

所以.

故答案为：.

16. 已知的外接圆圆心为O， 为的重心且则_________

【答案】

【解析】

【分析】由三角形重心及外心的性质即可得出结果.

【详解】如图所示，取中点，过作，则是的中点.

∵为的重心，∴，

,同理，

故

故答案为：

【点睛】结论点睛：

（1）三角形的重心是三角形三条中线的交点，且是中线的三等分点（靠中点近），即；

（2）三角形的外心是三角形三条中垂线的交点，即有：.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 已知向量，．

（1）若，求的值；

（2）若，向量与的夹角为钝角，求的取值范围．

【答案】（1）   

（2）且

【解析】

【分析】（1）首先求出，的坐标，依题意，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

（2）依题意可得且与不反向，根据向量共线及数量积的坐标表示得到求出的取值范围；

【小问1详解】

解：因为，，

所以，，

因为，所以，解得；

【小问2详解】

解：因为，且与的夹角为钝角，

所以且与不反向，

由，解得，

当即时与反向，故，

综上可得且

18. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且   .

（1）求角C的大小；

（2）若，求周长的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）若选择①，利用正弦定理，化角为边后，结合余弦定理求角；

若选择②，利用正弦定理，化边为角，结合三角恒等变换，求角；

如选择③，利用正弦定理，将边化角，利用诱导公式，和二倍角公式，即可求角；

（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求三角形周长的取值范围.

【小问1详解】

选择条件①：由及正弦定理，得：，

即，由余弦定理，得，

因为，所以；

选择条件②：由及正弦定理，

得：，

即.

即.

在中，，所以，

即，因为，所以，所以，

因为，所以；

选择条件③：由及正弦定理，

得：，

因为，，所以.

在中，，则，

故.

因为，所以，则，

故；

小问2详解】

在中应用余弦定理得：，

所以，因为，

所以. 因为，

所以，解得：，

又因为，

所以，当且仅当时取等号.

所以周长的取值范围是：

19. 已知指数函数过点，函数.

（1）求，的值；

（2）判断函数在上的奇偶性，并给出证明；

（3）已知在上是单调函数，由此判断函数，的单调性（不需证明），并解不等式.

【答案】（1）；   

（2）为偶函数，证明见解析；   

（3）增区间为，减区间为；不等式解集为.

【解析】

【分析】（1）由指数函数过点求参数a，即可得的解析式，进而求，的值；

（2）利用奇偶性定义判断奇偶性；

（3）由题设及（1）（2）结论即可判断的单调性，再根据单调性、奇偶性求不等式的解集.

【小问1详解】

由题设，，则，

所以，.

【小问2详解】

，，定义域关于原点对称.

又，

故为偶函数；

【小问3详解】

由且，在上单调，

所以为单调增区间，

而为偶函数，则单调减区间为

由可得：，即，解得.

20. 设平面向量，，函数．

（1）求的单调增区间；

（2）当时，求函数的值域；

（3）若锐角满足，求的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）化简得到，取，解得答案.

（2），则，得到值域.

（3）代入数据得到，化简得到，计算得到答案.

【小问1详解】

，

取，，解得，，

故的单调增区间为，

【小问2详解】

，则，故

【小问3详解】

，

.

21. 在梯形中，分别为线段，上的动点.

（1）求；

（2）若，求；

（3）若，求的最小值；

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意得，所以，求解计算即可；

（2）根据题意得，所以；

（3）根据题意得，且，再分析单调性求解即可.

【小问1详解】

因为，所以，

所以，

所以.

小问2详解】

由（1）知，，因为，所以，

所以，

所以.

【小问3详解】

因为，，

则

，

因为，解得，设，，根据对勾函数的单调性可知，在单调递增，

所以当时，取得最小值：.

22. 设函数.

（1）当时，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若为常数，且函数在区间上存在零点，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

【分析】（1）当时，不等式恒成立，当，由条件可得在，上恒成立，进一步得到，求出的范围即可；（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解，设，然后分和两种情况求出的范围．

【详解】（1）当时，若不等式在，上恒成立；

当时，不等式恒成立，则；

当，则在，上恒成立，

即在，上恒成立，

因为在，上单调增，，，

则，解得，；

则实数的取值范围为，；

（2）函数在，上存在零点，即方程在，上有解；

设

当时，则，，，且在，上单调递增，

所以，（2），

则当时，原方程有解，则；

当时，，

则在，上单调增，在上单调减，在，上单调增；

①当，即时，（2），，

则当时，原方程有解，则；

②当，即时，，，

则当时，原方程有解，则；

③当时，，，

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

综上，当时，实数的取值范围为，；

当时，实数的取值范围为；

当时，实数的取值范围为，．

【点睛】本题考查了函数恒成立问题和函数零点的判定定理，考查了函数最值的求法，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．