黑龙江省哈尔滨市第四十七中学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列方程是二元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是二元二次方程，故本选项错误；
B、是一元一次方程，故本选项错误；
C、是二元一次方程，故本选项正确；
D、不是整式方程，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．
2. 若，则下列各式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A、，，此项错误
B、，，此项错误
C、在A选项已求得，两边同加2得，此项正确
D、，，此项错误
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同加（或同减）一个数，不改变不等号的方向；（2）不等式的两边同乘以（或除以）一个正数，不改变不等号的方向；两边同乘以（或除以）一个负数，改变不等号的方向，熟记性质是解题关键．
3. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选：D
4. 把方程改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，故A选项正确；
故选：A．
【点睛】本题考查了利用等式的性质对等式进行变形，解题关键是掌握等式的性质．
5. 不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用在数轴上表示时点是否为空心或实心，方向是向左或向右进行判断即可．
【详解】解：x≤-1在数轴上表示时，其点应是实心，方向为向左，
因此，综合各选项，只有B选项符合；
故选B．
【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解题时，能正确画出数轴，正确确定点的实心或空心，以及方向的左右等是解题的关键．
6. 在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据，，即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：C．
7. 若，则x﹣y的值是（ ）
A. 24B. 1C. ﹣1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】方程组相减即可求出x﹣y的值
【详解】解：，
②﹣①得：x﹣y＝1，
故选B．
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8. 不等式组的解集是（ ）
A. B. C. x无解D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式组的解集，根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到，即可解答．
【详解】解：不等式组的解集为：，
故选：D．
9. 如图，∠C=50°，∠B=30°，则∠CAD的度数是
A. 80°B. 90°C. 100°D. 110°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角的性质即可解决问题．
【详解】解：∵∠CAD=∠B+∠C，∠C=50°，∠B=30°，
∴∠CAD=80°．
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10. 给出下列命题：①三条线段组成的图形叫三角形；②三角形的内角和为；③三角形的角平分线是射线；④三角形的三条高交于一点；⑤三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；⑥三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的命题有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查了命题的真假判断，三角形的定义以及相关的知识．根据三角形的定义以及相关的知识一一判断即可．
【详解】解：∵三条线段组成的封闭图形叫三角形，∴①不正确；
∵三角形的内角和为，∴②不正确；
∵三角形的角平分线是线段，∴③不正确；
∵三角形的三条高所在的直线交于一点，∴④不正确
∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，∴⑤正确；
∵三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫三角形的内心，且这点在三角形内，∴⑥正确．
综上，可得正确的命题有2个：⑤，⑥．
故选：B．
二、填空（每题3分，共30分）
11. 已知是二元一次方程，那么k的值是______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，即含有两个未知数，且每个未知数的指数都为1的 等式为二元一次方程．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
故答案为：1．
12. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据二元一次方程的解定义，将x和y的值代入求解即可.
【详解】由题意，将代入二元一次方程得：
解得
故答案为：3.
【点睛】本题考查了二元一次方程的解定义，掌握解的定义是解题关键.
13. 二元一次方程2x+y＝5正整数解有__________组.
【答案】2
【解析】
【分析】将x看做已知数求出y，即可确定出正整数解．
【详解】方程2x+y=5，
解得：y=−2x+5，
当x=1时，y=3；x=2时，y=1，
则方程的正整数解为 ,
故答案为2
【点睛】考查解二元一次方程，掌握二元一次方程组正整数解的概念是解题的关键.
14. 不等式组的解集为_____．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：x＞1．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 已知不等式的解集为，则a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用不等式的性质，得出a+1＜0，进而得出答案．
【详解】解：∵不等式（a+1）x＞2的解集是，
∴ a+1＜0，
解得：a＜-1．
故答案为：a＜-1．
【点睛】此题主要考查了不等式的性质，正确得出a+1的符号是解题关键．
16. 如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，共摆有n层，当时，需3根火柴；当时，需9根火柴，按这种方式摆下去，当时，需______根火柴．
【答案】30
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现规律即可解题，根据题意可得出有n层，需要根火柴求解即可．
【详解】解：当时，需要火柴的根数为：，
当时，需要火柴的根数为：，
当时，需要火柴的根数为： ，
∴时，需要火柴的根数为：
故答案为：30
17. 是的中线，和的周长的差是____．

【答案】2
【解析】
【分析】由中线定义，得，根据周长定义，进行线段的和差计算求解．
【详解】∵是的中线，
∴，
∴和的周长的差，
∵，
∴和的周长的差．
故答案为：2．
【点睛】本题考查中线的定义；由中线得到线段相等是解题的关键．
18. 如图，在中，、的平分线、相交于点，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
根据角平分线的定义可得出、，再根据内角和定理结合即可求出的度数．
【详解】解：、的平分线、相交于点，
，，
，
，
．
故答案为：．
19. 在中，，，若第三边c的长是奇数，则c的长是______．
【答案】3或5
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形的三边关系，可以得到c的取值范围，又由c为奇数，可得到c的值．
【详解】解：根据三角形的三边关系定理可得，
解得：，
∵第三边c的长是奇数，
∴或5，
故答案为：3或5．
20. 如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积______．
【答案】16
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案．
【详解】解：设，
∴，
∵，即
∴，
∴，
∵点G为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点A，B到高为：，，
，
∴，
∵，
同理可得：，
∴，
∴
∴
解得：，
，
故答案为：16．
21. 解方程组
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．
（1）用代入法解二元一次方程组即可．
（2）用消元法解二元一次方程组即可．
【小问1详解】
解：
①代入②：，
把代入①，
∴原方程组的解集为
【小问2详解】
由化为：
由③④得：
，
解得：
把代①，得
解得：
∴原方程组的解集为：
22. （1）解不等式
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组．
（1）按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可．
（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）
（2）
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：．
23. 如图为正方形网格，每个小正方形的边长均为1，已知的三个顶点均在格点上．按要求画图：
（1）画出的边上的高线和中线；
（2）若的长为13，点M在的边上，直接写出线段的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了画三角形的高与中线，垂线段最短等知识．
（1）根据网格过A点作垂线交的延长线与点，根据网格找到的中点E，连接即可．
（2）分析出线段最小值即为点C到的垂直距离，利用网格求出，，根据等面积法即可求出．
【小问1详解】
解：的边上的高线和中线如下图所示：
【小问2详解】
线段的最小值即为点C到的垂直距离，
由（1）可得：，，
∵，
即，
∴．
24. 直角三角形，，点D为边上一点，为的高线，
（1）求证：；
（2）如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括）
【答案】（1）见解析 （2）、和
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形两个锐角互余和对顶角的知识，
（1）由直角三角形两个锐角互余得出，且，则有结论成立．
（2）根据题意可知，进一步得到，则有，即；由题意得，则；由题意得，结合，则有成立．
【小问1详解】
证明：∵为的高线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即；
∵为的高线，，
∴；
∵，，
∴
∵，
∴，
故与相等的角有、和
25. 定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的【相伴方程】．
（1）在方程①，②，③中，不等式组的【相伴方程】是______；（填序号）
（2）若不等式组的一个【相伴方程】的解是整数，则这个【相伴方程】是，求a的值；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，求m的取值范围．
【答案】（1）①③ （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式组和一元一次方程相结合的问题：
（1）分别求出三个一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集即可得到答案；
（2）先求出不等式组的解集，然后确定出不等式组的整数解，进而把所求的整数解代入一元一次方程中求出a的值即可；
（3）先求出两个相伴方程的解，然后求出不等式组的解，然后根据相伴方程的定义求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴方程①的解为；
∵，
∴，
∴方程②的解为；
∵，
∴，
∴方程③的解为；
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴方程①③的解是不等式组的解，
∴不等式组的【相伴方程】是①③；
故答案为：①③；
【小问2详解】
解：不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为，
∴是方程的解，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：解方程得，
解方程得；
解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
∵方程，都是关于x的不等式组的【相伴方程】，
∴，
∴．
26. 君浩服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件60元，加工这两种运动服的成本共7200元．
（1）A、B两种运动服各加工多少件？
（2）两种运动服共计100件送到昌朔商场销售，A种运动服售价为200元，B种运动服售价为每件180元，销售过程中发现A种运动服销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定，余下部分按原价八折出售，两种运动服全部卖出，若获利不少于11200元，则A种运动服至少卖出多少件时才可以打折销售．
【答案】（1）A种运动服加工60件，B种运动服加工40件
（2）40件
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及用一元一次不等式解决实际问题．
（1）设A种运动服加工x件，B种运动服加工y件，列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解．
（2）设A种运动服卖出a件才可以打折销售，根据获利不少于11200元，列出关于a的一元一次不等式求解即可．
【小问1详解】
解：设A种运动服加工x件，B种运动服加工y件，
根据题意得
解得
答：A种运动服加工60件，B种运动服加工40件
【小问2详解】
设A种运动服卖出a件才可以打折销售
根据题意得：
解得
答：A种运动服至少卖出40件才可以打折销售
27. 如图：的高线，角平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若平分，平分的外角，与交点F，请直接写出与的数量关系______
（3）在（2）的条件下，若平分，平分，与交点H，若，，，求的长．
【答案】（1）10° （2）
（3）6
【解析】
【分析】（1）由三角形的高线得出，由三角形的角平分线得出，再利用三角形内角和得出．，等量代换得出，进而根据角的和差关系即可求出
（2）根据角平分线的定义得到，进而得到，结合即可得到；
（3）根据角平分线的定义设，，
，，分别求出，，，根据已知条件得出，最后根据等面积法得出．
【小问1详解】
解：∵为的高线，
∴，
∴，
又∵为的角平分线，
∴，
在中，
，
∴，
∴
∵，
∴
【小问2详解】
．
证明：∵、分别平分和的外角，
∴，
∵是的外角，是的外角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【小问3详解】
设与交于点K，
∵平分，平分，
∴设，，
，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∴
∴
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的定义，直角三角形两锐角互余，三角形角平分线、高线的定义，综合性较强，