广东省湛江市霞山区湛江市第二十九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（总分：120分 考试时间：120分钟）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 2024的倒数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键；
乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可；
【详解】解：2024的倒数是，
故选：D．
2. 下列根式中，属于最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的概念，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式来逐一判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 以下列各组数为边长的线段，可以组成直角三角形的是（ ）
A. 2，2，3B. 4，5，7C. 3，4，5D. 10，10，10
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴三边长为2，2，3不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴三边长为4，5，7不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴三边长为3，4，5可以组成直角三角形，故此选项符合题意；
D、∵，
∴三边长为10，10，10不可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 下列四边形中不是轴对称图形的是（ ）
A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 平行四边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可．
【详解】解：A、矩形是轴对称图形，不符合题意；
B、菱形是轴对称图形，不符合题意；
C、正方形是轴对称图形，不符合题意；
D、平行四边形不是轴对称图形，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查轴对称图形的识别．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．
5. 下列计算中，正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】A．与不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B．，故此选项错误，不符合题意；
C．，正确，符合题意；
D．，故此选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
6. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，即可求出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴
∵
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：对角相等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7. 一次函数图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：B．
8. 在平面直角坐标系中，把直线沿轴向下平移个单位长度后，得到的直线的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数图像平移的性质“左减右加（横轴变），上加下减（纵轴变）”即可求解．
【详解】解：直线沿轴向下平移个单位长度，
∴新函数的解析式为，即，
∴平移后函数的解析式为，
故选：．
【点睛】本题主要考查一次函数图像的平移，掌握一次函数图像的平移规律是解题的关键．
9. 如图，菱形的边长为，对角线相交于点O，且，则菱形的面积为（ ）

A. 5B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，再由勾股定理得到，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵菱形的边长为，对角线相交于点O，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，正方形的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示的面积y与x的关系的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别分析点P在上和点P在上的情况即可求解．
【详解】解：当P点在上即时，
；
当P点运动到上即时，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的运动与面积问题，涉及到了一次函数的应用等知识，解题关键是求出三角形的面积表达式，注意分类讨论的思想的应用．
二、填空题：（每小题3分，共18分）
11. 函数 中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，可得，解不等式即可，熟知根号下需要大于等于0，是解题的关键．
【详解】解：根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
12. 某种病毒的直径约为米，该直径用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故答案为：．
13. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_________
【答案】4
【解析】
【详解】∵D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，
∴DE=BC=4．
故答案为4．
14. 如图，在中，BD是斜边AC上的中线，若，则BD的长＝______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】解：∵在中，BD是斜边AC上的中线，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题考查直角三角形的性质．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题关键．
15. 如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中阴影部分面积为________．
【答案】1
【解析】
【分析】首先根据勾股定理求得斜边即正方形的边长，再根据即可求得．
【详解】解：由勾股定理知，直角三角形的斜边，也就是正方形的边长为：
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正方形与三角形面积公式，结合图形，根据求得阴影部分的面积是解题的关键
16. 如图，在平面直角坐标系中，点根据这个规律，探究可得点，，，……根据这个规律，探究可得点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律．
由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环，继而求得答案．
【详解】解：观察图形可知，
点，，，的横坐标依次是1、2、3、4、、，纵坐标依次是2、0、、0、2、0、、，四个一循环，
而，
故点坐标是．
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，零指数幂，先计算二次根式除法，再化简二次根式和计算零指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把对应分式的分子，分母分解因式，然后约分化简，再通分后化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
19. 如图，在平行四边形中，．
（1）作的平分线，交于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）若，则 ．（直接写出结果）
【答案】（1）见解析 （2）4
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义和角平分线的尺规作图：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行四边形的性质得到，，再由平行线的性质和角平分线的定义推出，得到，则．
【小问1详解】
解：如图所示，射线即为所求；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案：4．
20. 在一次数学检测中，学校随机统计了部分学生的数学成绩，将成绩定为4个等级A（），B（），C（），D（），结果统计如图所示，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）该学校一共统计了 名同学；
（2）通过计算把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2500人，估计该次检测中全校数学成绩在100分及以上的人数是多少？
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）900名
【解析】
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据A等级的人数和所占的百分比即可求出总人数；
（2）根据（1）中求出的B等级的人数补充条形统计图即可；
（3）根据该次检测中样本中数学成绩在100分及以上的人数所占的百分比求解即可．
【小问1详解】
解：（名），
∴该学校一共统计了100名同学；
故答案为：100；
【小问2详解】
解：B等角的人数为名，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：（名），
∴该次检测中全校数学成绩在100分及以上的人数是900名．
21. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点．
（1）求a和k的值．
（2）求面积．
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，两直线围成的图形面积，一次函数与不等式之间的关系：
（1）分别代入两个直线解析式中进行求解即可；
（2）根据（1）所求先求出点B坐标，进而求出的长，再根据进行求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【小问1详解】
解；∵直线与x轴，y轴分别交于点B，A，且与直线相交于点
∴，
∴；
【小问2详解】
解；在中，当时，，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当时，直线的函数图象在直线的函数图象上方或二者交点处，
∴当时，．
22. （综合与实践）如图，某区有A，B，C，D四个景点，景点A，D，C依次在东西方向的一条直线上，景点B在景点D的正北方向，且景点C与景点D的距离为，现有公路，，，，已知，．
（1）求公路的长度；
（2）市政府准备在景点C，B之间修一条互通大道（即线段），并在大道上的E处修建一座凉亭方便游客休息，同时D，E之间也修建一条互通大道（即线段），且．若修建互通大道，的费用均是每千米17万元，请求出修建互通大道，的总费用．
【答案】（1）公路的长度为
（2）修建互通大道，的总费用是818万元
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用：
（1）根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理求得，咋爱利用三角形等面积法求出，于是得到结论．
【小问1详解】
解：由题意得，，
在中，∵，，
∴，
答：公路的长度为；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
解得，，
∴（万元）．
答：修建互通大道，的总费用是818万元．
23. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：
（1）第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，购进A、B两种T恤衫各多少件？全部售完获利多少元？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次进货最多获利多少钱？
【答案】（1）购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，全部售完获利2880元．
（2）①；②服装店第二次进货最多获利2800元。
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）根据条件，购进种恤衫件，购进种恤衫件，根据服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，列出方程组解出、值，最后求出获利数；
（2）①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，根据B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍求出m的范围，再分别求出两种T恤衫的利润，求和即可求出W；②由①可知，，随的增大而减小，当时，取最大值，据此求解即可．
【小问1详解】
解：设购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，
根据题意列出方程组为：，
解得，
∴购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，
全部售完获利（元），
答：购进A种T恤衫件，购进B种T恤衫件，全部售完获利2880元．
【小问2详解】
解：①设第二次购进种恤衫件，则购进种恤衫件，
根据题意，
解得，
，
②由①可知，，
，
∴随的增大而减小，
当时，取最大值，（元），
答：服装店第二次进货最多获利2800元．
24. 如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．
（1）求证：；
（2）当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
（3）当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）点运动到的中点时，四边形是矩形
（3）点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形
【解析】
【分析】此题考查知识点是正方形和矩形的判定及角平分线的定义，解题的关键是由已知得出， 然后根据（1）的结论确定（2）（3）的条件.
（1）由已知分别平分和， 可推出，所以得.
（2）由（1）得出的， 点运动到的中点时，则由， 所以这时四边形是矩形.
（3）由已知和（2）得到结论，点运动到的中点时， 且满足为直角的直角三角形时，则推出四边形是矩形且对角线垂直，所以四边形是正方形.
【小问1详解】
∵，
∴，
又∵平分平分，
∴，
∴
∴，
∴.
【小问2详解】
当点运动到的中点时，四边形是矩形.
∵当点运动到的中点时， ，
又∵ ，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形.
【小问3详解】
当点运动到的中点时，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形.
∵由（2）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，
已知当
∴ ，
，
∴四边形是正方形.
25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形的顶点，，将矩形的一个角沿直线折叠，使得点落在对角线上的点E处，折痕与x轴交于点D．

（1）线段的长度___________；
（2）求直线所对应的函数表达式；
（3）若点Q在线段上，在线段上是否存在点P，使以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10 （2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得出点的坐标及，的长，利用勾股定理可求出的长；
（2）设，则，，，利用勾股定理可求出值，进而可得出点的坐标，再根据点，的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式；
（3）过点作轴于点，由，可得出，利用面积法可求出的长，在中，利用勾股定理可求出的长，进而可得出点的坐标，根据，求出直线的解析式，根据点的纵坐标求出其横坐标即可．
【小问1详解】
解：由题意，得：点的坐标为，，，
，
故答案为：10．
【小问2详解】
设，则，，
，即，
，
，
点的坐标为．
设直线所对应的函数表达式为，
将，代入，得：
，
解得：，
直线所对应的函数表达式为；
【小问3详解】
存在，理由：过点作轴于点，如图所示．

，
，
，
在中，，
点的坐标为，
由，设直线的解析式为：，
把代入得：，解得：，
直线的解析式为：，
令，则，解得：，
存在，点的坐标为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．品名
A
B
进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90