2024年广东省湛江市霞山区实验中学中考一模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 实数4的相反数是（ ）
A. B. -4C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可解答．
【详解】∵符号相反，绝对值相等的两个数互为相反数，
∴4的相反数是﹣4；
故选B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数是解决问题的关键．
2. 围棋在古代被列为“琴棋书画”四大文化之一，蕴含着中华文化的丰富内涵，如图所示是一个无盖的围棋罐，其主视图为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断几何体的三视图，从正面看物体所得到的视图是主视图，熟知定义是解题的关键．
【详解】解：这个立体图形的主视图为：

故选：B．
3. 二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根号下的数为非负数，二次根式才有意义求解即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式有意义的条件是解题关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，同底数幂除法法则，完全平方公式，幂的乘方法则．
根据合并同类项，同底数幂除法，完全平方公式，幂的乘方逐一判断即可．
【详解】A.，
∵，故不正确；
B.，
∵，故不正确；
C. ，
∵，故不正确；
D.，正确．
故选：D．
5. 已知压力、压强与受力面积之间有如下关系式：．当F为定值时，下图中大致表示压强P与受力面积S之间函数关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
∴当物体的压力F为定值时，该物体的压强P与受力面积S的函数关系式是：，
则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．
故选：D．
【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握以及反比例函数的定义，是解题的关键．
6. 如图，在中，，点D、E分别是直角边AC、BC的中点，连接DE，则度数是（ ）
A. 70°B. 60°C. 30°D. 20°
【答案】B
【解析】
【分析】因为点D、E分别是直角边AC、BC的中点，所以DE是的中位线，三角形的中位线平行于第三边，进而得到，求出的度数，即为的度数．
【详解】解：∵点D、E分别是直角边AC、BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质以及三角形内角和，由三角形中位线定义，找到平行线是解答本题的关键．
7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分别求出各不等式解集，再求其公共解集即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示，

故选：A．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集的方法：“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”是解题的关键．
8. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的对称轴是直线B. 图象与x轴有两个交点
C. 当时，y的值随x值的增大而增大D. 当时，y取得最大值，且最大值为3
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次项系数大于0，以及解析式为顶点式可得二次函数开口向上，对称轴为直线，由此可得当时，y的值随x值的增大而增大且当时，y取得最小值，且最小值为3，则二次函数的函数值恒大于等于3，即二次函数与x轴没有交点，据此可得答案．
【详解】解：∵二次函数解析式为，，
∴二次函数开口向上，对称轴为直线，故A说法错误，不符合题意；
∴当时，y的值随x值的增大而减小，当时，y的值随x值的增大而增大，故C说法正确，符合题意；
∴当时，y取得最小值，且最小值为3，故D说法错误，不符合题意；
∴，
∴二次函数与x轴没有交点，故B说法错误，不符合题意；
故选C．
9. 如图，，是的两条弦，且，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得出是等腰直角三角形，根据阴影部分的面积，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴阴影部分的面积
，
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，求扇形面积，得出是等腰直角三角形是解题的关键．
10. 如图，在中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD平分∠BAC；②∠ADC＝60°；③点D在AB的垂直平分线上；④．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；
利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；
利用∠B=∠BAD得到DA=DB，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断．
利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
由作法得AD平分∠BAC，所以①正确；
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝90°﹣∠CAD＝60°，所以②正确；
∵∠B＝∠BAD，
∴DA＝DB，
∴点D在AB的垂直平分线上，所以③正确；
∵如图，在直角△ACD中，∠CAD＝30°，
∴CD＝AD，
∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝AD，S△DAC＝AC•CD＝AC•AD．
∴S△ABC＝AC•BC＝AC•AD＝AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：AC•AD＝1：3，
∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超人．数字用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正数，当原数绝对值小于时是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，把代入方程即可求解，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题的关键．
【详解】解：把代入方程得，
，
解得：，
故答案为：.
13. 分解因式：_________．
【答案】
【解析】
【分析】用公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为：
【点睛】本题主要考查因式分解，原则合理因式分解方法是解题的关键．
14. 将一副直角三角板如图放置，已知，，，则________°．
【答案】105
【解析】
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
详解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
15. 如图，点A在反比例函数的图像上，过点A作轴于点B，C为x轴上的一点，连接，，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，即可得到结果．
【详解】解：如图，连接，

轴，
轴，
．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形变换与点坐标，掌握几何图形的特点及变换的规律，找出点坐标变换的规律是解题的关键．根据正六边形的特点分别求出每个内角，外角的度数，以及边长的关系，再根据旋转的特殊计算出旋转规律，由此可知当时，点所在位置，由此即可求解．
【详解】解：∵正六边形，
∴每个内角的度数为，即，
∴正六边形的一个外角为，即与轴正半轴的夹角为，
如图所示，未旋转时，连接，正六边形的边长为，，过点作于点，
∴，
∵
∴
∴
在中，根据勾股定理得，，
∴，
∴，
当正六边形绕点顺时针旋转，
∴，即旋转次，正六边形回到起始位置，
∴当时，，即旋转次后，点回到了原位置，如图所示，
∵，
∴，即当时，顶点的坐标是，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含三角函数的混合运算、绝对值、负整数指数幂、零指数幂，解题的关键是掌握特殊角的三角函数值．先算三角函数、负整数指数幂、零指数幂、去绝对值，再算加减即可．
【详解】解：
18. 下面是小亮化简分式的部分运算过程：
解：原式…第一步．
…第二步．
……
（1）小亮运算过程中第______步出现了错误；
（2）请写出正确且完整的解答过程．
【答案】（1）二 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解本题的关键．
（1）逐一检查每一步，发现错误，写出原因；
（2）根据分式混合运算的法则计算即可．
【小问1详解】
解：第二步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：二．
【小问2详解】
解：原式
．
19. 2022午3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图．

请根据图中提供的信息，解答下向的问题：
（1）求图l中的______，本次调查数据的中位数是______，本次调查数据的众数是______h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数．
【答案】（1），3，3
（2）1400
【解析】
【分析】（1）用劳动时间为1小时的人数除以其人数占比求出参与调查的总人数，再用劳动时间为4小时的人数除以总人数得出的值，最后根据中位数与众数的意义结合统计图即可求解；
（2）用2000乘以3小时及以上的人数的百分比即可求解．
小问1详解】
解：人，
∴参与调查的学生人数为40人，
∴，
∴，
∵参与调查的学生人数一共有40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为
∴中位数为，
由条形统计图可知，劳动时间为的人数最多，
∴众数为
故答案为：，3，3；
【小问2详解】
解：（人）
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于的人数为人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20. 如图，平分，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．
（1）利用两角法证得结论；
（2）根据相似三角形的对应边成比例列出比例式，代入相关数值计算．
【小问1详解】
证明：平分，
．
，
；
【小问2详解】
解：，
．
，，
．
．
21. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，此时太阳光线与地面的夹角为．
（1）据研究，当一个人从遮阳棚进出时，如果遮阳棚外端（即图中A）到地面的距离小于时，则人进出时总会觉得没有安全感，就会不自觉的低下头或者用手护着头，请你通过计算，判断人进出此遮阳棚时________（填“有”或“没有”）安全感；
（2）求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）有 （2）2.2米
【解析】
【分析】本题考查三角函数的应用、矩形的判定与性质，理解题意，构造直角三角形是解答的关键．
（1）过A作于F，于E，先利用锐角三角函数求得、，进而求得，与米比较大小可得结论；
（2）利用锐角三角函数求得、的长即可求解．
【小问1详解】
解：过A作于F，于E，则四边形是矩形，
∴，，
在中，米，，，
∴（米），（米），
∵米，
∴（米），
∴米，，
则人进出此遮阳棚时有安全感，
故答案：有；
【小问2详解】
解：在中，，，
∴（米），
∵米，
∴(米)，
即阴影的长为2.2米．
22. 某校从商场购进、两种品牌的营养早餐牛奶，购买品牌牛奶花费了元，购买品牌牛奶花费了元，且购买品牌牛奶的数量是购买品牌牛奶数量的倍．已知购买一公斤品牌牛奶比购买一公斤品牌牛奶多花元．
（1）问购买一公斤品牌、一公斤品牌的牛奶各需多少元？
（2）该校决定再次购进、两种品牌牛奶共公斤，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，品牌牛奶售价比第一次购买时提高了，品牌牛奶按第一次购买时售价的折出售．如果该校此次购买、两种品牌牛奶的总费用不超过元，那么该校此次最多可购买多少公斤品牌牛奶？
【答案】（1）购买一公斤A品牌的牛奶需元，购买一公斤B品牌的牛奶需元
（2）最多可购买公斤品牌牛奶．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用：
（1）设购买一公斤A品牌的牛奶需元，则购买一公斤B品牌的牛奶需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解；
（2）设购买公斤品牌牛奶，则购买品牌的牛奶公斤，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解；
【小问1详解】
解：设购买一公斤A品牌的牛奶需元，则购买一公斤B品牌的牛奶需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
（元），
答：购买一公斤A品牌的牛奶需元，购买一公斤B品牌的牛奶需元
【小问2详解】
设购买公斤品牌牛奶，则购买品牌的牛奶公斤，依题意得：，
解得：，
答：最多可购买公斤品牌牛奶．
23. 如图，在中，，点D为边的中点，以为直径作，分别与交于点E、F，过点E作于G．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为5，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）．
【解析】
【分析】（1）连接，通过直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到，即可求证；
（2）连接，求得，在和中，利用三角函数的定义即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

∵中，D为边中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴EG是的切线．
【小问2详解】
解：如图，连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，斜边中线等于斜边一半，解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
24. 【建立模型】（1）如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C，B，D，．求证：；
【类比迁移】（2）如图2，点在反比例函数图象上，连接，将绕点O逆时针旋转到，若反比例函数经过点B．求反比例函数的解析式；
【拓展延伸】（3）如图3抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，便得，若存在，求出点M的横坐标．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）M的坐标为或．
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，证明，即可得证；
（2）如图2，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D．求解，，．利用，可得；由反比例函数经过点，可得，可得答案；
（3）如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．证明，可得，，可得，求解，令， 可得M的坐标为；如图，当M点位于x轴下方，且，同理可得，为．由，可得M的坐标是．
【详解】证明：（1）如图，

∵，，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）①如图2，分别过点A，B作轴，轴，垂足分别为C，D．

将代入得：，
∴，，．
同（1）可得，
∴，，
∴，
∵反比例函数经过点，
∴，
∴；
（3）存在；
如图3，当M点位于x轴上方，且，过点Q作，交于点D，过点D作轴于点E．

∵，，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
令，得，，
∴，又，
∴，
∴，
设为，则
解得：，
∴
令，得，(舍去)，
当时，，
∴；
如图，当M点位于x轴下方，且，

同理可得，为．
由，得，(舍去)
∴当时，，
∴．
综上：M的坐标为或．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．
25. 如图，在中，，，，动点从点出发（动点不与的顶点重合），沿折线以每秒个单位的速度向终点运动，过点作于点，以点为直角顶点作，使与点所在的直角边平行，设点的运动时间为（秒）．
（1）直接写出______；当点落在边上时，的长为______（用含t的代数式表示）；
（2）当点落在边上时，求的值；
（3）当的两条直角边所在的直线截所得的两个三角形全等时，求与重叠部分图形的周长．
【答案】（1），；
（2）；
（3）与重叠部分图形的周长或；
【解析】
【分析】（1）直接运用勾股定理及三角函数求解即可；
（2）根据题意，画出对应的图形，根据相似三角形的判定及性质求出的长，再根据平行四边形的判定及性质和相似三角形的判定及性质列出方程即可求解；
（3）根据点在或上分类讨论，画出对应的图形，根据全等三角形的性质列出方程求出的值，再分别求出、、的长即可得出重叠部分的图形的周长；
【小问1详解】
解：∵是直接三角形，，，
∴
∴，
∵，，
∴即，
解得，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意可知点落在上，如图所示，
∵动点的运动速度为个单位/，
∴，
∵，
∴
又
∴
∴
∴
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴，四边形为平行四边形
∴，
∴
解得：
此时；
【小问3详解】
解：①当点在上时，由（）中可知：，四边形是平行四边形，，，设直线与的交点为
∴，
∵，结合已知条件可知：
∴
∴点在内部，即此时与重叠部分图形的周长即为的周长，如下图所示，
∵
∴，
即
解得，
∴，
∴
∴此时重叠部分的周长为；
②当点在上时，
∵动点的运动速度为个单位/，
∴＋
∴＋，
∵，
∴
又
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
又∵
∴，四边形为平行四边形
∴，，，，
设直线与的交点为
∴，
∵，结合已知条件可知：
∴>
∴点在内部，即此时与重叠部分图形的周长即为的周长
如下图所示，
∵
∴，
即
解得，
∴，
∴
∴此时重叠部分的周长为；
综上：当的两条直角边所在的直线截所得的三角形全等时，与重叠部分图形的周长或；
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了平行四边形的判定及性质、平行线的性质及判定、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题和分类讨论的数学思想．