广东省湛江市雷州市雷州市第二中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题(每题3分，共30分)
1. 以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（）
A. 2、3、4B. 6、8、10C. 1、1、D. 4、5、6
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．
【详解】解：A、因为，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
B、因为，所以三条线段能组成直角三角形，符合题意；
C、因为，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意；
D、因为，所以三条线段不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
2. 计算的值是（）
A. 5B. 6C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的加法，直接合并同类二次根式即可得到答案
【详解】解：
，
故选：D
3. 下列各式中，为最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟知：如果二次根式满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D
4. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D. ，可以，不符合题意，
故选B．
5. 如图，在中，且D，E分别是边的中点，若，则的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理．根据三角形中位线定理，即可求解．
【详解】解：∵D，E分别是边的中点，，
∴．
故选：B
6. 已知中，，是斜边上的中线，若，则（）
A. 3B. 5C. 6D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得答案．
【详解】在中，，是斜边上的中线，
∴，
∴．
故选：D．
7. 如图所示，在中，分别以三角形三条边为边向外作正方形，面积分别记为，，，若，，则的值为（）
A. 17B. 20C. 25D. 31
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的面积公式可知，，，在中，由勾股定理得，即，由此可求得．
【详解】解：在中，，
由正方形面积公式得，，，
∴，
，，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理．关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积．
8. 下列选项中，矩形一定具有的性质是（）
A. 对角线相等B. 对角线互相垂直
C. 邻边相等D. 一条对角线平分一组对角
【答案】A
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等的性质即可作出判断.
【详解】解：矩形一定具有的性质是对角线相等，故选项A符合题意，而选项B、C、D中的性质是菱形所具有的；
故选：A.
【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，熟知矩形对角线相等的性质是解题关键.
9. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为3、4 、5 ，则的面积为（）
A. B. 2C. 6D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．根据题目中的面积公式可以求得的三边长分别为3，4，5的面积，从而可以解答本题．
【详解】解：，
的三边长分别为3，4，5，则的面积为：
，
故选：C
10. 如图，矩形中，分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交于点，连接．若，，则的长是（）

A. 4B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了作图—作垂线，线段垂直平分线的性质、矩形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，令交于，由线段垂直平分线的性质得出，证明得出，再由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：令交于，
，
由作图可得：垂直平分，
，，
四边形矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：B．
二、填空题(每题3分，共18分)
11. 要使式子有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数即可得出结论．
【详解】解：要使式子有意义，则
，
解得：．
故答案为：．
12. 在平行四边形中，若，则_____， ______．
【答案】 ①. ##100度 ②. ##80度
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据平行四边形对角相等，求出，对边平行得到，即可求度数．
【详解】解：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，．
13. 平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离是________．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，根据点P的坐标和勾股定理可以得到
【详解】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：．
故答案为：10．
14. 比较大小：_____ 7．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．根据，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：
15. 在矩形中，对角线和交于O点，若，，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的判定以及性质，根据矩形的性质可得出，证明是等边三角形，进而可得出，进一步即可求出答案．
【详解】解：在矩形中，，
∴等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：6．
16. 长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁沿着长方体的外表面从点爬到点，最短路径长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是平面展开最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．蚂蚁从到有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段的长，进行比较即可．
【详解】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是7和2，
则所走的最短线段；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是5和4，
所以走的最短线段；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是3和6，
所以走的最短线段；
∵
∴三种情况比较而言，第二种情况最短．
故答案为：
三、解答题(每题6分，共24分)
17 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的加减乘除混合运算．
分别计算二次根式乘除，再化简后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18. 如图，在中，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理等知识，由勾股定理求出和，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴．
19. 如图所示，，分别是与它的邻补角的平分线．，，E，D为垂足，求证：四边形是矩形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，先根据角平分线的定义得到，再根据“有三个内角是直角的四边形是矩形”进行证明．
【详解】证明：∵，分别是与它的邻补角的平分线，
∴．
即．
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形．
20. 已知，求：的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的运算，分别求出，再把变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
四、解答题(每题8分，共24分)
21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为为格点三角形．
（1）求的三边的长；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1），，
（2）直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理：
（1）根据勾股定理求解即可；
（2）根据勾股定理的逆定理求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意得：
，
，
；
【小问2详解】
解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
22.
如图，四边形ABCD, AB//DC, ∠B=55,∠1=85,∠2=40
(1)求∠D的度数：
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形
【答案】（1）55º；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和为180°，可得结果；
（2）根据平行线性质求出∠ACB=85°，由∠ACB=∠1=85°得AD∥BC．两组对边平行的四边形是平行四边形.
【详解】（1）解∵∠D+∠2+∠1=180°，
∴∠D=180°-∠2-∠1=180°-40°-85°=55°．
（2）证明：∵AB∥DC，
∴∠2+∠ACB+∠B=180°．
∴∠ACB=180°-∠B-∠2 =180°-55°-40°=85°．
∵∠ACB=∠1=85°，
∴AD∥BC．
又∵AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题主要考查三角形内角和性质；平行线性质；平行四边形判定，解题关键：根据所求，算出必要的角的度数，由角的特殊关系判定边的位置关系.此题比较直观，属基础题.
23. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，且，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理：
（1）由矩形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出，则利用三角形面积公式可求出，则可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
五、解答题(每题12分，共24分)
24. 如图，在梯形中，，动点P从点A出发沿方向向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿着方向向点B以的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）若，则，．
（2）经过多长时间，四边形是平行四边形？
（3）经过多长时间，四边形是矩形？
【答案】（1），
（2）经过，四边形是平行四边形
（3）经过，四边形是矩形
【解析】
【分析】此题主要考查平行四边形和矩形的性质：
（1）根据题意可得，，
（2）设经过，四边形为平行四边形，根据，，列出方程进行求解；
（3）设经过，四边形为矩形，根据，列出方程进行求解；
【小问1详解】
解：根据题意得：，，
∴；
故答案为：，
【小问2详解】
解：设经过，四边形为平行四边形，此时，
所以，
解得：；
即经过，四边形是平行四边形
【小问3详解】
解：设经过，四边形为矩形，此时，
所以，
解得：，
即经过，四边形是矩形．
25. 阅读理解题：
像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，例如：和，和，和等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题：
（1）化简：①______，②______；
（2）计算：；
（3）已知，，试比较，，的大小．
【答案】（1）①；②；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．
（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；
（2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解；
（3）取各数的倒数，再对分母进行分母有理化运算，从而可求解．
【小问1详解】
解：①；
②，
【小问2详解】
；
【小问3详解】
，
同理：，
，
∵，
∴．