山东省聊城市临清市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 如果一个角的补角是，那么这个角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个角补角的度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可．
【详解】解：∵一个角的补角是，
∴这个角的度数是，
故选：D．
2. 已知方程，用含的式子表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程，解题关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把y看作已知数求出x即可．
【详解】解：方程，
∴，
∴．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方、单项式的除法和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离
B. 锐角的补角一定是钝角
C. 两直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 在同一平面内，如果，，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，补角的定义，点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义可判断A；根据度数之和为180度两个角互补即可判断B；根据平行线的性质与判定定理即可判断C、D．
【详解】解：A、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
B、锐角的补角一定是钝角，原说法正确，符合题意；
C、两平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误，不符合题意；
D、在同一平面内，如果，，则，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
5. 用加减法解方程组下列解法正确的是（ ）
A. 消去 yB. 消去 y
C. 消去xD. 消去 x
【答案】A
【解析】
【分析】根据加减消元法解二元一次方程组逐项判断即可解答．
【详解】解：A、① × 2 + ② × 3，能消去y，故A选项正确，符合题意；
B、，不能消去y，故B选项不正确，不符合题意；
C、，不能消去x，故C选项不正确，不符合题意；
D、，不能消去x，故D选项不正确，不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查了用加减法解二元一次方程组的方法, 用加减法解二元一次方程组时，必须使同一未知数的系数相等或者互为相反数．如果系数相等，那么相减消元；如果系数互为相反数，那么相加消元．
6. 将一副三角板（含角）按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到．
【详解】解：由题意得，，
∵直尺的上下两边互相平行，
∴，
故选：B．

7. 若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用方程②减去方程①，得到再利用整体代入法求解即可.
【详解】解：
②-①得：

，

故选：A
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法，掌握“利用整体未知数的方法解决问题”是解本题的关键.
8. 凸透镜是中央较厚边缘较薄的透镜，如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线交于点P，点F为焦点，若，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，根据三角形的外角性质求得，再根据平行线的性质求得是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选B．
9. 如图，长方形中，点，分别在边，上，连接，．将沿折叠，点落在点处，将沿折叠，点恰好落在的延长线上点处．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键．
由题意易得，，因为平角，故，因为，则，即可作答．
【详解】解：由折叠得到：，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
10. 图1，点，，依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（ ）
A. 整个运动过程中，不存在的情况
B. 当时，两射线的旋转时间一定为20秒
C. 当值为36秒时，射线恰好平分
D. 旋转过程中，使射线是由射线，，中的其中两条组成的角（指大于而不超过的角）的平分线，这样的值有两个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误；根据平分t的值有2个，结合C选项的求解过程即可判断D．
【详解】解：由题意知，；当时，；当时，；
令，即，解得秒，
∴存在的情况；
故A错误，不符合题意；
令，即，解得秒，
令，即，解得秒，
∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒；
故B错误，不符合题意；
当时，，
∴，
∵，
∴射线恰好平分，
故C正确，符合题意；
当平分时，或，
解得或，
再由时射线恰好平分，故D说法错误，不符合题意
故选C．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 已知二元一次方程，请写出该方程一组正整数解__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把y看作已知数求出x，确定出整数解即可．
详解】解：由得，
∴当时，，
∴方程的一组正整数解为，
故答案为：（答案不唯一）．
12. 如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度，___________．

【答案】
【解析】
【分析】先根据与太阳光线互相垂直，得出，再根据平行线的性质可得当时，，即可得出结论．
【详解】解：∵与太阳光线互相垂直，
∴，
当时，，
∴需将电池板逆时针旋转，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．
13. 如果，那么的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 根据《山东省沿黄生态廊道保护建设规划（2023-2030年）》要求，某市将打造集生态屏障、文化弘扬、休闲观光、生态农业于一体的复合型沿黄生态廊道，贯通近岸绿带．一块面积为180亩的荒地，计划甲队先绿化，然后乙队接替甲队绿化，两队共用20天完成．已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，设原计划甲工程队需绿化天，乙工程队需绿化天，则可列方程组为：__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，根据荒地的面积180亩可得方程，根据共用20天可得方程，据此列出方程组即可．
【详解】解：设原计划甲工程队需绿化天，乙工程队需绿化天，
由题意得，，
故答案为：．
15. 若与的两边分别平行，且，，则的度数为________．
【答案】70°或86°
【解析】
【分析】根据两边互相平行的两个角相等或互补列出方程求出x，然后求解即可．
【详解】解：∵∠1与∠2的两边分别平行，
∴①∠1=∠2，
∴（2x+10）°=（3x-20）°，
解得x=30，
∠1=（2×30+10）°=70°，
或②∠1+∠2=180°，
∴（2x+10）°+（3x-20）°=180°，
解得x=38，
∠1=（2×38+10）°=86°，
综上所述，∠1的度数为70°或86°．
故答案为：70°或86°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两边互相平行的两个角相等或互补，易错点在于要分两种情况考虑．
16. 如图，在内部顺次有一组射线，满足，，．若，则________（用含n，的代数式表示）
【答案】
【解析】
【分析】根据，得出，求出，，，，得出一般规律即可．
本题主要考查了图形规律探索，角的计算，解题的关键是根据已知条件，找出规律；
【详解】∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
三、解答题：本题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 按要求解答：
（1）计算：
（2）先化简后求值：，其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，整式的化简求值：
（1）先计算积的乘方，同底数幂乘除法，再合并同类项即可；
（2）先根据平方差公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
，
当时，原式．
18. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组：
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先整理原方程，再利用加减消元法解方程组即可．
【小问1详解】
解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴方程组的解为
【小问2详解】
解：
整理得：，
得：，
把代入③得：，解得，
∴原方程的解为．
19. （1）一个角的余角与这个角的补角的和比平角的多，求这个角的度数；
（2）已知，，求．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了与余角补角有关的计算，同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算：
（1）设这个角的度数为，则这个角的补角度数为，再根据题意建立方程求解即可；
（2）根据同底数幂除法的逆运算法则把原式变形为，据此求解即可．
【详解】解：（1）设这个角的度数为，
根据题意得：，
解得：，
∴这个角的度数为；
（2）∵，，
∴
．
20. 如图，点是直线上的一点，，，平分．
（1）试说明；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂直的定义：
（1）先由垂直的定义得到，再由，即可得到；
（2）由角平分线的定义得到，由垂直的定义得到，进而证明，则，即可得到．
【小问1详解】
证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
21. 某同学从甲地骑自行车出发去乙地，他先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达乙地，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度走平路，回到甲地，共用去55分钟，求从甲地到乙地路程是多少千米？
【答案】9千米
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，先设平路为千米，坡路为千米，依题意，列式，再解方程，即可作答．
【详解】解：设平路为千米，坡路为千米，根据题意得：
解得
故（千米）．
答：从甲到乙的路程是9千米．
22. 如图，∠E=∠1，∠3＋∠ABC=180°，BE是∠ABC的角平分线．试说明DF∥AB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
【详解】因为BE是∠ABC的角平分线，
所以∠1=∠2(角平分线的定义)，
又因为∠E=∠1(已知)
所以∠E=∠2(等量代换)
所以AE∥BC(内错角相等,两直线平行)
所以∠A+∠ABC=180∘(两直线平行,同旁内角互补)
又因为∠3+∠ABC=180∘(已知)
所以∠3=∠A(同角的补角相等)
所以DF∥AB(同位角相等,两直线平行).
【点睛】本题考查平行线的判定及余角和补角，解题关键在于根据题意、结合图形，根据平行线的判定定理和性质定理解答即可．
23. 我们把关于、两个二元一次方程与（）叫作互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于、的方程组，为共轭方程组，则_____，_____；
（2）若二元一次方程中、的值满足下列表格：
则这个方程的共轭二元一次方程是_______；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ．
（4）发现：若共轭方程组的解是，猜想、之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），1．
（2）
（3），
（4）
【解析】
【分析】本题以新定义为背景，考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组
（1）含项的系数和含项的系数相等，常数项相等；
（2）先求和，再写共轭二元一次方程；
（3）消元法求解；
（4）利用整体思想求解．
【小问1详解】
解：由定义可得：，，
，，
故答案为：，1．
【小问2详解】
解：将，和，分别代入，得：
，解得：，
二元一次方程为：，
共轭二元一次方程为：，
故答案为：．
【小问3详解】
解方程组，
①②得：，
，
将代入①得，，
，
方程组的解为：．
解方程组，
⑤⑥得：，
，
将代入⑤得：，
，
方程组的解为：，
故答案为：，．
【小问4详解】
解：将，，代入方程组得：，
，
，
．
24 问题情境：
在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动．
探究发现：
如图1，小明把三角尺中角的顶点放在上，边与分别交于点．
（1）若，求的度数．
（2）如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由．
延伸拓展：
（3）如图3，当的延长线与交于点时，，求的度数．
【答案】（1）（2）（3）
【解析】
【分析】（1）过点C作，得到，推出，根据，，即可得到，即可求解；
（2）过点C作，同（1）可证，根据邻补角的定义即可求解；
（3）过点A作，得到，推出，进而推出，由平行线的性质，即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，过点C作，
，
，
，
，，
；
（2）如图2，过点C作，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点A作，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线的性质是几何中角度转化的重要依据，对于两平行线间有折线的问题，一般在“拐点”处作平行线转化角．1
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