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山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省聊城市莘县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 下列方程：①，②，③，④，⑤是二元一次方程的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：为整式方程，只含有2个未知数，未知数的最高次数是1，据此进行判断即可
【详解】解：①符合二元一次方程的定义，故①是二元一次方程；
②不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，故②不是二元一次方程；
③含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故③不是二元一次方程；
④不是等式，不符合二元一次方程的定义，故④不是二元一次方程；
⑤符合二元一次方程的定义，故⑤是二元一次方程；
故是二元一次方程是①⑤，共2个，
故选：B
2. 数学课上老师用双手形象表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A. 同旁内角、同位角、内错角
B. 同位角、内错角、对顶角
C. 对顶角、同位角、同旁内角
D. 同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
3. 我国在大力实施德智体美全面发展的素质教育，为进一步增强体育训练，学校对跳远项目进行测试，这是王洋同学跳落沙坑时留下的痕迹，则表示王洋成绩的是（ ）
A. 线段的B. 线段的长
C. 线段的长D. 线段的长
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂线段的特点，解题关键是掌握直线外一点到直线的距离的定义，即直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．根据直线外一点到直线的距离的定义，结合跳远比赛的规则，即可求解．
【详解】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值，
表示王洋成绩的是线段的长，
故选：B．
4. 下列运算正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算，根据单项式乘多项式、合并同类项、积的乘方和幂的乘方运算法则计算出各项后再判断即可
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算正确，符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C
5. 如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵，
射线OM平分∠AOC，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了邻补角、角平分线的定义，准确运用角的和差关系进行计算是解题的关键．
6. 如图，下列能判定∥的条件有几个（ ）
（1） （2）（3） （4）．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定逐一判定即可.
【详解】因为，所有AD∥BC，故（1）错误.
因为，所以∥，故（2）正确.
因，所以∥，故（3）正确.
因为，所以∥，故（4）正确.
所以共有3个正确条件.
故选B
【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.
7. 下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（5）周角是一条射线，平角是一条直线．
其中正确的个数为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行公理以及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.
【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；
（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；
（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，正确把
握相关定义是解题关键.
8. 下列各图中，能直观解释“”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形和正方形的面积计算公式进行求解即可．
【详解】、 表示，故不符合题意；
B、 表示，故不符合题意；
C、 表示，故符合题意；
D、 表示，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，正确理解数形结合的思想求解是解题的关键．
9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，
故选：B．
10. 实践活动课上，老师展示了如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．设，根据折叠的性质得，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，据此即可求得．
【详解】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示，则______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为，
∴．
故答案为：．
12. 已知，，则______.
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ， ，解答的关键是灵活应用同底数幂的除法和幂的乘方的逆用运算．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：9．
13. 已知的乘积中不含项和项，则______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式的乘法中不含某些项，掌握不含某些项就是某些项的系数为零是解题的关键．按照多项式乘以多项式展开合并后，不含项和项，则这些项的系数为零解题即可．
【详解】解：
，
∵结果中不含项和项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14. 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则______．
【答案】##270度
【解析】
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
15. 一般地，n个相同因数a相乘：记为.如，此时，指数3叫做n个以2为底的8的对数，记为，（即）.请运算______.
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据乘方运算可得对数的答案根据有理数的加法运算可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
16. 如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有______个
【答案】66
【解析】
【分析】本题考查了对角的概念和规律探索，根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画n条射线，图中共有 个角，把代入计算即可．
【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，；
画2条射线，图中共有6个角，；
画3条射线，图中共有10个角，；
…，
∴画n条射线，图中共有个角，
∴画10条射线所得的角的个数是（个），
故答案为：66．
三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. （1）计算：
（2）化简求值：，其中，
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算和化简求值：
（1）原式先计算同底数幂的乘除法和积的乘方与幂的乘方，然后再合并即可得出答案 ；
（2）先根据多项式乘以多项式，平方差公式将括号去掉，再合并得最简结果，再计算出的值，代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
又，，
所以，把，代入，原式
18. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组：
（1）求出，再把代入①得求出y的值即可得出方程组的解；
（2）由得，由求得，把代入②求出y的值即可得出方程组的解
【小问1详解】
解：
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得
所以；
【小问2详解】
解：
由，得，
由，得，
解得，
把代入②得，，
解得，
所以
19. 如图，，垂足为是上任意一点，，垂足为，且，．
（1）求证：
（2）求的度数
【答案】（1）见解析（2）80°
【解析】
【分析】（1）先根据CD⊥AB于D，FE⊥AB得出CD∥EF，故可得出∠2＝∠DCB，根据∠2＝∠DCB，∠1＝∠2得出DG∥BC，由此可得出结论；
（2）根据DG∥BC即可得出结论．
【详解】（1）∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴BC∥DG，
（2）∵DG∥BC，
∴∠3＝∠BCG，
∵∠3＝80°，
∴∠BCA＝80°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
20. 如图，若，与、分别相交于E、F，，的平分线与相交于点P，且，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线定义理解，角平分线的定义，根据垂线定义得出，，求出，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
，，
，
，
，
，
平分，
，
．
21. 阅读下列材料：为了提高全县学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目：
解方程，王栋同学发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题.下面是他的解题过程：令，，这时方程组可化为解得，把代入，得，解得，
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.类比思想
（2）请你参考王栋同学的做法，解决下面的问题：解方程组
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解：
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，方程组化为，再运用加减消元法求解即可
【小问1详解】
解：在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
【小问2详解】
解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
22. 已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题．
（1）尝试探究：如图1，已知，的度数为________；
（2）初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，若，试判断与之间数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了角的和差，掌握角度之间的关系是解决本题的关键．
（1）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可；
（2）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可；
（3）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可
【小问1详解】
∵
∴；
【小问2详解】
∵
∴；
小问3详解】
∵
∴；
23. 2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表：
（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买；
（2）求商品A，的标价；
（3）若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）三 （2）商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个
（3）商店是打6折出售这两种商品的.
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
（1）根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
【小问2详解】
解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
【小问3详解】
解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
24. 数学活动——探究日历中的数字规律
如图1是2024年3月份的日历，张亮在其中画出两个的方框，每个框均框住位置为的四个数，张亮准备：计算“”的值，探索其运算结果的规律．
（1）计算：______；
（2）张亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：的值均为______.理由如下：
设，则，，______，
因为______，
所以的值均为______.
（3）同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列A，B两题中任选一题作答.我选择______.
A.如图2，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
B.在日历中用“H型框”框住位置为的七个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）7 （2）7；；7；7
（3）若选A．，理由见解析；若选B．，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据有理数混合运算的法则计算求解；
（2）代入化简求值即可；
（3）A：结论：，设中间#为，则，，，，列式计算可得结果；
B：结论：．设中间#为，则，，，，，，列式计算可得结果．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：的值均为7，理由如下：
设，则，，，
因为
，
所以的值均为7．
故答案为：7；；7；7．
【小问3详解】
同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列，两题中任选一题作答，我选择或
在日历中用“十字框”框住位置为
结论：
理由设中间#为，则，，，，
；
B.在日历中用“型框”框住位置为
结论：
理由：设中间#为，则，，，，，，
．
【点睛】本题考查了日历中的数字问题，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会模仿例题解决问题．购买商品的数量（个）
购买商品的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求）
1. 下列方程：①，②，③，④，⑤是二元一次方程的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，二元一次方程满足的条件：为整式方程，只含有2个未知数，未知数的最高次数是1，据此进行判断即可
【详解】解：①符合二元一次方程的定义，故①是二元一次方程；
②不是整式方程，不符合二元一次方程的定义，故②不是二元一次方程；
③含有3个未知数，不符合二元一次方程的定义，故③不是二元一次方程；
④不是等式，不符合二元一次方程的定义，故④不是二元一次方程；
⑤符合二元一次方程的定义，故⑤是二元一次方程；
故是二元一次方程是①⑤，共2个，
故选：B
2. 数学课上老师用双手形象表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.从左至右依次表示（ ）
A. 同旁内角、同位角、内错角
B. 同位角、内错角、对顶角
C. 对顶角、同位角、同旁内角
D. 同位角、内错角、同旁内角
【答案】D
【解析】
【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．据此作答即可．
【详解】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知
第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．
故选：D．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们．
3. 我国在大力实施德智体美全面发展的素质教育，为进一步增强体育训练，学校对跳远项目进行测试，这是王洋同学跳落沙坑时留下的痕迹，则表示王洋成绩的是（ ）
A. 线段的B. 线段的长
C. 线段的长D. 线段的长
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂线段的特点，解题关键是掌握直线外一点到直线的距离的定义，即直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离．根据直线外一点到直线的距离的定义，结合跳远比赛的规则，即可求解．
【详解】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值，
表示王洋成绩的是线段的长，
故选：B．
4. 下列运算正确的是
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算，根据单项式乘多项式、合并同类项、积的乘方和幂的乘方运算法则计算出各项后再判断即可
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，故选项C计算正确，符合题意；
D. ，故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C
5. 如图，直线，交于点O，射线平分，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【详解】解：∵，
射线OM平分∠AOC，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了邻补角、角平分线的定义，准确运用角的和差关系进行计算是解题的关键．
6. 如图，下列能判定∥的条件有几个（ ）
（1） （2）（3） （4）．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定逐一判定即可.
【详解】因为，所有AD∥BC，故（1）错误.
因为，所以∥，故（2）正确.
因，所以∥，故（3）正确.
因为，所以∥，故（4）正确.
所以共有3个正确条件.
故选B
【点睛】本题考查的是平行线的判定，找准两个角是哪两条直线被哪条直线所截形成的同位角、同旁内角、内错角是关键.
7. 下列说法：
（1）经过两点有且只有一条直线；
（2）点到直线的距离就是指这点到这条直线的垂线段；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行；
（5）周角是一条射线，平角是一条直线．
其中正确的个数为（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行公理以及其推论和垂线的定义、特殊角、点到直线的距离的定义分别分析求出即可.
【详解】解：（1）经过两点有且只有一条直线，说法正确；
（2）点到这条直线的垂线段的长度才是点到直线的距离，故（2）说法错误；
（3）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行，要强调在同一平面内，故（4）说法错误；
（5）角是由一个公共端点发出的两条射线组成，即便两射线所在的直线重合，也不能认为是一条射线或直线，故（5）错误．
故选：B
【点睛】此题主要考查了平行公理以及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义等，正确把
握相关定义是解题关键.
8. 下列各图中，能直观解释“”的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形和正方形的面积计算公式进行求解即可．
【详解】、 表示，故不符合题意；
B、 表示，故不符合题意；
C、 表示，故符合题意；
D、 表示，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了积的乘方计算，正确理解数形结合的思想求解是解题的关键．
9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中记载了这样一个题目：今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金，银各重几何？其大意是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），两袋重量相等，两袋互换一枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金，白银各重几两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系：①枚黄金的重量11枚白银的重量；②枚白银的重量枚黄金的重量1枚白银的重量枚黄金的重量两．
【详解】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得方程组为，
故选：B．
10. 实践活动课上，老师展示了如图1是的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后的图形．设，根据折叠的性质得，则，再由第2次折叠得到，于是利用平角定义可计算出，接着根据平行线的性质得，据此即可求得．
【详解】解：如图，设，
∵纸条沿折叠，
∴，
∴，
∵纸条沿折叠，
∴，
而，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向.若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示，则______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：用科学记数法表示为，
∴．
故答案为：．
12. 已知，，则______.
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ， ，解答的关键是灵活应用同底数幂的除法和幂的乘方的逆用运算．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：9．
13. 已知的乘积中不含项和项，则______.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查多项式的乘法中不含某些项，掌握不含某些项就是某些项的系数为零是解题的关键．按照多项式乘以多项式展开合并后，不含项和项，则这些项的系数为零解题即可．
【详解】解：
，
∵结果中不含项和项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
14. 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需抽象为几何图形，如图，垂直于地面于A，平行于地面，则______．
【答案】##270度
【解析】
【分析】过点B作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论．
本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，并熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．
【详解】解：过点B作，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：．
15. 一般地，n个相同因数a相乘：记为.如，此时，指数3叫做n个以2为底的8的对数，记为，（即）.请运算______.
【答案】20
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据乘方运算可得对数的答案根据有理数的加法运算可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：20．
16. 如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有______个
【答案】66
【解析】
【分析】本题考查了对角的概念和规律探索，根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画n条射线，图中共有 个角，把代入计算即可．
【详解】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，；
画2条射线，图中共有6个角，；
画3条射线，图中共有10个角，；
…，
∴画n条射线，图中共有个角，
∴画10条射线所得的角的个数是（个），
故答案为：66．
三、解答题（本题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17. （1）计算：
（2）化简求值：，其中，
【答案】（1）；（2）；
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算和化简求值：
（1）原式先计算同底数幂的乘除法和积的乘方与幂的乘方，然后再合并即可得出答案 ；
（2）先根据多项式乘以多项式，平方差公式将括号去掉，再合并得最简结果，再计算出的值，代入计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
又，，
所以，把，代入，原式
18. 解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组：
（1）求出，再把代入①得求出y的值即可得出方程组的解；
（2）由得，由求得，把代入②求出y的值即可得出方程组的解
【小问1详解】
解：
由得，，
解得，
把代入①得，，
解得
所以；
【小问2详解】
解：
由，得，
由，得，
解得，
把代入②得，，
解得，
所以
19. 如图，，垂足为是上任意一点，，垂足为，且，．
（1）求证：
（2）求的度数
【答案】（1）见解析（2）80°
【解析】
【分析】（1）先根据CD⊥AB于D，FE⊥AB得出CD∥EF，故可得出∠2＝∠DCB，根据∠2＝∠DCB，∠1＝∠2得出DG∥BC，由此可得出结论；
（2）根据DG∥BC即可得出结论．
【详解】（1）∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴CD∥EF
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD
∴BC∥DG，
（2）∵DG∥BC，
∴∠3＝∠BCG，
∵∠3＝80°，
∴∠BCA＝80°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行．
20. 如图，若，与、分别相交于E、F，，的平分线与相交于点P，且，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线定义理解，角平分线的定义，根据垂线定义得出，，求出，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
，，
，
，
，
，
平分，
，
．
21. 阅读下列材料：为了提高全县学生的运算能力和解题技巧，李老师设计了如下的题目：
解方程，王栋同学发现如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错.如果把方程组中的看作一个数，把看作一个数，通过换元，可以解决问题.下面是他的解题过程：令，，这时方程组可化为解得，把代入，得，解得，
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是（ ）
A.数形结合思想 B.转化思想 C.分类讨论思想 D.类比思想
（2）请你参考王栋同学的做法，解决下面的问题：解方程组
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解：
（1）在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想；
（2）结合题意，利用整体代入法求解，令，，方程组化为，再运用加减消元法求解即可
【小问1详解】
解：在解二元一次方程组时，我们的基本思路是“消元”，即通过“代入法”或“加减法”将“二元”化为“一元”，在“消元”的过程体现的数学思想是转化思想，
故选：B；
【小问2详解】
解：令，，方程组化为，
得：，即，
将代入①得：，
将，代入得：，
解得：
22. 已知，射线在的内部，按要求完成下列各小题．
（1）尝试探究：如图1，已知，的度数为________；
（2）初步应用：如图2，若时，求的度数，并说明理由；
（3）拓展提升：如图3，若，试判断与之间数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了角的和差，掌握角度之间的关系是解决本题的关键．
（1）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可；
（2）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可；
（3）首先根据题意得到，然后利用角的和差求解即可
【小问1详解】
∵
∴；
【小问2详解】
∵
∴；
小问3详解】
∵
∴；
23. 2024“全民健身活力中国”汉方普惠杯——聊城莘县赛区海选，参赛者为了购买服装，在某商厦购买商品，共三次，只有一次购买时，商品，同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品，的数量和费用如下表：
（1）参赛者按打折扣价购买商品A，是第______次购买；
（2）求商品A，的标价；
（3）若商品A，的折扣相同，则商店是打几折出售这两种商品的？
【答案】（1）三 （2）商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个
（3）商店是打6折出售这两种商品的.
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
（1）根据图表可得第三次购物花的钱最少，买到A、B商品又是最多，所以以折扣价购买商品A、B是第三次购物；
（2）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，列出方程组求出x和y的值；
（3）设商店是打a折出售这两种商品，根据打折之后购买9个A商品和8个B商品共花费1062元，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：参赛者按打折扣价购买商品A，是第三次购买；
【小问2详解】
解：设商品A的标价为元/个，商品的标价为元/个，
根据题意得：，
解得，
经检验，方程组的解符合题意.
答：商品A的标价为90元/个，商品的标价为120元/个；
【小问3详解】
解：设商店是打折出售这两种商品的，
由题意得，
解得，
答：商店是打6折出售这两种商品的．
24. 数学活动——探究日历中的数字规律
如图1是2024年3月份的日历，张亮在其中画出两个的方框，每个框均框住位置为的四个数，张亮准备：计算“”的值，探索其运算结果的规律．
（1）计算：______；
（2）张亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框里“”的结果都不变，并说明理由如下，请你将其过程补充完整；
解：的值均为______.理由如下：
设，则，，______，
因为______，
所以的值均为______.
（3）同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列A，B两题中任选一题作答.我选择______.
A.如图2，在日历中用“十字框”框住位置为的五个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由．
B.在日历中用“H型框”框住位置为的七个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由.
【答案】（1）7 （2）7；；7；7
（3）若选A．，理由见解析；若选B．，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据有理数混合运算的法则计算求解；
（2）代入化简求值即可；
（3）A：结论：，设中间#为，则，，，，列式计算可得结果；
B：结论：．设中间#为，则，，，，，，列式计算可得结果．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：的值均为7，理由如下：
设，则，，，
因为
，
所以的值均为7．
故答案为：7；；7；7．
【小问3详解】
同学们利用张亮的方法，借助2024年4月份的日历，继续进行如下探究.
请从下列，两题中任选一题作答，我选择或
在日历中用“十字框”框住位置为
结论：
理由设中间#为，则，，，，
；
B.在日历中用“型框”框住位置为
结论：
理由：设中间#为，则，，，，，，
．
【点睛】本题考查了日历中的数字问题，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会模仿例题解决问题．购买商品的数量（个）
购买商品的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
6
5
1140
第二次购物
3
7
1110
第三次购物
9
8
1062
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