2023-2024学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
2．（4分）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．2+a＞2+bB．2﹣a＞2﹣bC．2a＞2bD．
3．（4分）将分式中的x，y的值都大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的一半D．不变
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC＝（ ）
A．B．C．D．4
5．（4分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（1，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1
6．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
7．（4分）如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，连接BD、DE、AE、CE，若BD＝CE，∠1＝∠2，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．30°
8．（4分）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）
A．＝3x﹣1B．＝3（x﹣1）
C．＝3xD．＝3（x﹣1）
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）因式分解：8a﹣2ab＝
10．（4分）既满足2x+2＞0，又满足的整数x可以为 （写出一个即可）．
11．（4分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围 ．
12．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°．按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝1cm，则△ADC的周长为 ．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）因式分解x2﹣4x﹣12；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：．
15．（8分）解方程与化简求值．
先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．
16．（8分）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？
17．（10分）如图，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC＝90°，连结BD，CE．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AC＝3，AD＝1，当AE∥BD时，求BD的长．
18．（10分）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）求证：AD＝CE，CD＝BE；
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（3，9），求点N的坐标；
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ：y＝﹣3x+6分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）当时，代数式2s2﹣4st+2t2的值为 ．
20．（4分）已知一次函数y＝﹣3x+4m﹣1（m为实数），当x＝2时，y＞0，则m的取值范围是 ．
21．（4分）关于x的分式方程无解，则k的值为 ．
22．（4分）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．
如：；又如：．
若，可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a+b＝ ．
23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，点E的坐标为 ．
五、解答题
24．（8分）小明观察多项式x2+2x﹣3，发现有以下特点：①当x＝1时，原式＝0；②x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3），根据小明的发现，解答以下两个问题：
（1）若x+1是多项式2x2+ax+5的一个因式，求a的值并将多项式2x2+ax+5分解因式．
（2）若多项式2x3+ax2+bx﹣2含有因式（x+1），（x﹣2），求a，b的值．
25．（10分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
26．（12分）（1）如图1，分别以△ABC的边AB，AC为腰往外部作等腰三角形，使AB＝AD，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE，连接BE，CD，找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝5，分别以△ABC的边AB，AC为腰往外部作等腰直角三角形，使AB＝AD，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，求BE的长；
（3）如图3，△ABC，D是AC的垂直平分线上一点，∠ADC＝120°，∠DBC＝60°，DB＝3，BC＝4，则AB＝ ．
2023-2024学年四川省成都外国语学校八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题(每小题4分，共32分)
1．（4分）下列各式变形中，是因式分解的是（ ）
A．a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1
B．2x2+2x＝2x2（1+）
C．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
D．x4﹣1＝（x2+1）（x+1）（x﹣1）
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】解：A a2﹣2ab+b2﹣1＝（a﹣b）2﹣1中不是把多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B 2x2+2x＝2x2（1+）中不是整式，故B错误；
C （x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是整式乘法，故C错误；
D x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）＝（x2+1）（x+1）（x﹣1），故D正确．
故选：D．
2．（4分）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．2+a＞2+bB．2﹣a＞2﹣bC．2a＞2bD．
【分析】直接利用不等式的基本性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、a＞b，则2+a＞2+b，
所以该选项不符合题意；
B、a＞b，则﹣a＜﹣b，所以25﹣a＜2﹣b，
所以该选项符合题意；
C、a＞b，则2a＞2b，
所以该选项不符合题意；
D、a＞b，则，
所以该选项不符合题意．
故选：B．
3．（4分）将分式中的x，y的值都大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的6倍
C．缩小为原来的一半D．不变
【分析】先把x，y的值都扩大为原来的3倍，得，再化简，据此即可作答．
【解答】解：∵将分式中的x，y的值都扩大为原来的3倍，
∴得到，
把的分子和分母同时除以3，即，
故选：D．
4．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，则AC＝（ ）
A．B．C．D．4
【分析】根据题意，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，得到AB＝4，根据勾股定理求出AC即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
∴，
故选：B．
5．（4分）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（1，0），则关于x的不等式kx+b＜0的解集是（ ）
A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1
【分析】观察函数图象得到即可．
【解答】解：由图象可得：当x＞1时，kx+b＜0，
所以关于x的不等式kx+b＜0的解集是x＞1．
故选：A．
6．（4分）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【分析】将a2+2b2+c2＝2ab+2bc，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到a＝b＝c，根据等边三角形的判定，即可求解，
【解答】解：∵a2+2b2+c2＝2ab+2bc，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即：（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，即：a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
7．（4分）如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，连接BD、DE、AE、CE，若BD＝CE，∠1＝∠2，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．50°C．45°D．30°
【分析】利用等边三角形的性质及SAS可得△ABD≌△ACE，进而可得AD＝AE，再根据等边三角形的判定即可求解．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAD＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°，
故选：A．
8．（4分）我国古代数学名著《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：“现请人代买一批椽，这批椽的总售价为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？”设6210文能买x株椽，则据题意可列方程为（ ）
A．＝3x﹣1B．＝3（x﹣1）
C．＝3xD．＝3（x﹣1）
【分析】设6210元购买椽的数量为x株，根据单价＝总价÷数量，求出一株椽的价钱为，再根据少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案．
【解答】解：设6210文购买椽的数量为x株，则一株椽的价钱为，
由题意得：3（x﹣1）＝，
故选：B．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）因式分解：8a﹣2ab＝ 2a（4﹣b）
【分析】根据提公因式法因式分解即可．
【解答】解：8a﹣2ab＝2a（4﹣b），
故答案为：2a（4﹣b）．
10．（4分）既满足2x+2＞0，又满足的整数x可以为 1（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】先解出不等式2x+2＞0和的解集，即可得到满足条件的整数解．
【解答】解：由2x+2＞0得：x＞﹣1，
由得：x＜3，
∴同时满足两个不等式的解集是﹣1＜x＜3，
∈满足不等式的整数有0，1，2，
故答案为：1（答案不唯一）．
11．（4分）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围 x≠2 ．
【分析】根据分式有意义的条件即可．
【解答】解：根据题意知x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
12．（4分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据增根的定义求解即可．
【解答】解：，
x+x﹣1＝﹣m，
，
∵关于x的分式方程有增根，
∴，
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°．按以下步骤作图：①分别以点B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AC＝1cm，则△ADC的周长为 3cm ．
【分析】证明△ADC是等边三角形，可得结论．
【解答】解：由作图可知MN垂直平分线段BC，
∴DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB＝30°，
∴∠CDA＝∠B+∠DCB＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴AC＝CD＝AD＝1cm，
∴△ADC的周长为3cm．
故答案为：3cm．
三、解答题（共48分）
14．（12分）（1）因式分解x2﹣4x﹣12；
（2）解不等式组：；
（3）解方程：．
【分析】（1）利用十字相乘法因式分解即可；
（2）解各不等式后即可求得不等式组的解集；
（3）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+2）（x﹣6）；
（2）解不等式①得：x≥﹣1，
解不等式②得：x＜2，
故原不等式组的解集为﹣1≤x＜2；
（3）原方程去分母得：x﹣3﹣2＝5﹣x，
整理得：x﹣5＝5﹣x，
解得：x＝5，
检验：当x＝5时，x﹣3≠0，
故原方程的解为x＝5．
15．（8分）解方程与化简求值．
先化简，再从0，1，2，中选择一个合适的数代入并求值．
【分析】先计算括号，分式化简后，通分即可．
【解答】解：原式＝+
＝+
＝．
当x＝0时，上式＝0．
16．（8分）新能源汽车因其废气排放量比较低，被越来越多的家庭所喜爱，老疆车行销售甲、乙两种型号的新能源汽车，十月的第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元．
（1）求每辆甲型车和乙型车的售价各为多少万元？
（2）茅溪科技发展有限公司准备向老疆车行购买甲、乙两种型号的新能源汽车共8辆，其购车费用不少于145万元，且不超过153万元，问有哪几种购车方案？
【分析】（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据“第一周售出1辆甲型车和3辆乙型车，销售额为65万元；第二周售出4辆甲型车和5辆乙型车，销售额为155万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为（8﹣a）辆，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）设每辆甲型车的售价为x万元，每辆乙型车的售价为y万元，根据题意得：
，
解得：，
答：每辆甲型车的售价为20万元，每辆乙型车的售价为15万元；
（2）设购买甲型车a辆，则购买乙型车为（8﹣a）辆，依题意得：
145≤20a+15（8﹣a）≤153，
解得：5≤a≤6.6，
∵a为正整数，
∴a取5或6．
∴有两种购车方案：
方案一：购买甲型车5辆，购买乙型车3辆，此时的费用是145万元，；
方案二：购买甲型车6辆，购买乙型车2辆，此时的费用是150万元；
17．（10分）如图，在两个等腰直角△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC＝90°，连结BD，CE．
（1）求证：△AEC≌△ADB；
（2）若AC＝3，AD＝1，当AE∥BD时，求BD的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出AB＝AC，AE＝AD，再求出∠CAE＝∠BAD，根据SAS证明三角形全等即可；
（2）先根据平行线的性质得出∠AED＝∠EDB，再求出∠AED＝∠ADE＝45°，得出∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝45°+45°＝90°，根据勾股定理得出，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵等腰直角△ABC和△ADE，
∴AB＝AC，AE＝AD，
∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠CAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝∠BAD，
在△CAE和△BAD中，
，
∴△AEC≌△ADB（SAS）；
（2）解：∵AE∥BD，
∴∠AED＝∠EDB，
∵等腰直角△ABC和△ADE，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴∠ADB＝∠ADE+∠BDE＝45°+45°＝90°，
在Rt△AEC中，，
∴．
18．（10分）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）求证：AD＝CE，CD＝BE；
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（3，9），求点N的坐标；
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线PQ：y＝﹣3x+6分别与x轴、y轴交于点Q、点P，以线段PQ为一边作等腰直角三角形PQR，请直接写出点R的坐标．
【分析】（1）先判断出∠ACB＝∠ADC，再判断出∠CAD＝∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；
（2）先判断出MF＝NG，OF＝MG，进而得出MF＝1，OF＝3，即可求出FG＝MF+MG＝3+9＝12，即可得出结论；
（3）分三种情况：以P为直角顶点，以Q为直角顶点，以R为直角顶点，运用全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l，
∴∠ACB＝∠ADC，
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝MN，且∠OMN＝90°
∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，
∵M（3，9），
∴MF＝3，OF＝9，
∴MG＝9，NG＝3，
∴FG＝MF+MG＝3+9＝12，
∴OF﹣NG＝9﹣3＝6，
∴点N的坐标为（12，6），
（3）解：分三种情况：
当点P为直角顶点时，如图3，
过点R1作R1E⊥y轴于点E，
由（1）知，△R1EP≌△POQ，
∴ER1＝OP，EP＝OQ，
∵直线PQ：y＝﹣3x+6分别与x轴、y轴交于点Q、点P，
当x＝0时，y＝6；当y＝0时，x＝2
∴P（0，6），Q（2，0）
∴OQ＝2，OP＝6，
∴OE＝6+2＝8，ER1＝6，
∴R1（6，8），
同理可得R2（﹣6，4）．
当点Q为直角顶点时，如图4，
过点R3作R3D⊥x轴于点D，
由（1）知△R3DP≌△QOP，
∴DR3＝OQ，OP＝DQ，
∵P（0，6），Q（2，0）
∴OQ＝2，OP＝6，
∴OD＝6+2＝8，DR3＝2，
∴R3（8，2），
同理可得R4（﹣4，﹣2）．
当点R为直角顶点时，如图5，
过点R5作y轴的平行线交x轴于点E，过点P作x轴的平行线，交ER5于点D，
由（1）知△R5DP≌△QER5，
∴DR5＝EQ，PD＝R5E，
∵P（0，6），Q（2，0）
∴OQ＝2，OP＝6，
设QE＝a，则PD＝a+2，
∴a+2+a＝6，
∴a＝2，
∴R5（4，4），
同理可得R6（﹣2，2）．
综合以上可得点R的坐标为（4，4）或（6，8）或（8，2）或（﹣2，2）或（﹣4，﹣2）或（﹣6，4）．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）当时，代数式2s2﹣4st+2t2的值为 ．
【分析】将所求式子因式分解，再整体代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴2s2﹣4st+2t2＝2（s2﹣2st+t2）＝2（s﹣t）2＝＝．
故答案为：．
20．（4分）已知一次函数y＝﹣3x+4m﹣1（m为实数），当x＝2时，y＞0，则m的取值范围是 m＞ ．
【分析】代入x＝2，可得出含m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：当x＝2时，y＝﹣3×2+4m﹣1＞0，
解得：m＞，
∴m的取值范围是m＞．
故答案为：m＞．
21．（4分）关于x的分式方程无解，则k的值为 1或 ．
【分析】根据解分式方程的步骤进行解答．
【解答】解：，
﹣＝3，
﹣3＝0，
＝0，
∵分式方程无解，
∴分式的分母为0，
即x﹣2＝0，
∴x＝2，
2kx﹣1﹣2﹣k﹣3x+6＝0，
4 k﹣k﹣6+3＝0，
解得：k＝1，
∵（2k﹣3）x﹣k+3＝0，
∴2k﹣3＝0，
解得：k＝．
故答案为：1或．
22．（4分）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．
如：；又如：．
若，可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a+b＝ 1 ．
【分析】计算﹣，其化简结果是整式，据此作答即可．
根据题意可知，
【解答】解：﹣
＝
＝
＝，
∵是整式，
∴a＝1，b＝0，
∴a+b＝1+0＝1．
故答案为：1．
23．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，以BC所在直线为x轴，过点A作BC的垂线为y轴建立直角坐标系，D，E分别为线段AO和线段AC上一动点，且AD＝CE．当BD+BE的值最小时，点E的坐标为 （，） ．
【分析】过点C作CF⊥BC，使CF＝AB，连接EF，BF，可证明△ABD≌△CFE（SAS），则当B、E、F三点共线时，BD+BE的值最小，最小值为BF，求出BF即可求解．
【解答】解：过点C作CF⊥BC，使CF＝AB，连接EF，BF，
∵AO⊥BC
∴CF∥AO，
∴∠FCA＝∠CAO，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴∠CAO＝∠BAO，
∴∠BAD＝∠FCE，
∵AB＝CF，AD＝CE，
∴△ABD≌△CFE（SAS），
∴BD＝EF，
∴BD+BE＝EF+BE≥BF，
∴当B、E、F三点共线时，BD+BE的值最小，
此时点E在BF与AC的交点E'处，
∵AB＝AC＝10，BC＝12，AO⊥BC，
∴OC＝6，CF＝10，
在Rt△AOC中，
由勾股定理，得AO＝＝＝8，
过点E'作E'H⊥BC于点H，设OH＝a，
则CH＝6﹣a，
∵AO⊥BC，
∴E'H∥AO，
∴△CE'H∽△CAO，
∴＝，即＝，
∴E'H＝（6﹣a），
∵FC⊥BC，E'H⊥BC，
∴E'H∥FC，
∴△BE'H∽BFC，
∴＝，即＝，
解得a＝，
即OH＝，E'H＝（6﹣）＝，
∴点E'的坐标为（，），
故答案为：（，）．
五、解答题
24．（8分）小明观察多项式x2+2x﹣3，发现有以下特点：①当x＝1时，原式＝0；②x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3），根据小明的发现，解答以下两个问题：
（1）若x+1是多项式2x2+ax+5的一个因式，求a的值并将多项式2x2+ax+5分解因式．
（2）若多项式2x3+ax2+bx﹣2含有因式（x+1），（x﹣2），求a，b的值．
【分析】（1）已知x+1是多项式2x2+ax+5的一个因式，可判断x2的系数与常数项的正负，推断出另一个因式，根据两个因式相乘所得多项式，可得a的值；
（2）已知（x+1），（x﹣2）是多项式2x3+ax2+bx﹣2的两个因式，（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，可判断x3的系数与常数项的正负，推断出另一个因式，根据三个因式相乘所得多项式，可得a、b的值；
【解答】解：（1）∵x+1是多项式2x2+ax+5的一个因式，
∴另一个因式为（2x+5），
∵（2x+5）（x+1）＝2x2+7x+5，
∴a＝7；
（2）∵（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2，多项式2x3+ax2+bx﹣2含有因式（x+1），（x﹣2），
∴另一个因式为（2x+1），
∵（2x+1）（x+1）（x﹣2）＝2x3﹣x2﹣5x﹣2，
∴a＝﹣1，b＝﹣5．
25．（10分）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：
已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）由于原材料价格上涨，每张餐桌和餐椅的进价都上涨了10元，按照（2）中获得最大利润的方案购进餐桌和餐椅，在调整成套销售量而不改变销售价格的情况下，实际全部售出后，所得利润比（2）中的最大利润少了2250元．请问本次成套的销售量为多少？
【分析】（1）根据餐桌和餐椅数量相等列出方程求解即可；
（2）设购进餐桌x张，餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设本次成套销售量为m套，先算出涨价后每张餐桌及餐椅的进价，再根据利润间的关系找出关于m的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意得＝，
解得a＝150，
经检验，a＝150是原分式方程的解；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，
解得：x≤30．
∵a＝150，
∴餐桌的进价为150元/张，餐椅的进价为40元/张．
依题意可知：
W＝x•（500﹣150﹣4×40）+x•（270﹣150）+（5x+20﹣x•4）•（70﹣40）＝245x+600，
∵k＝245＞0，
∴W关于x的函数单调递增，
∴当x＝30时，W取最大值，最大值为7950．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是7950元．
（3）涨价后每张餐桌的进价为160元，每张餐椅的进价为50元，
设本次成套销售量为m套．
依题意得：（500﹣160﹣4×50）m+（30﹣m）×（270﹣160）+（170﹣4m）×（70﹣50）＝7950﹣2250，
即6700﹣50m＝5700，解得：m＝20．
答：本次成套的销售量为20套．
26．（12分）（1）如图1，分别以△ABC的边AB，AC为腰往外部作等腰三角形，使AB＝AD，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE，连接BE，CD，找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2，BC＝5，分别以△ABC的边AB，AC为腰往外部作等腰直角三角形，使AB＝AD，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE，CD，求BE的长；
（3）如图3，△ABC，D是AC的垂直平分线上一点，∠ADC＝120°，∠DBC＝60°，DB＝3，BC＝4，则AB＝ ．
【分析】（1）利用SAS即可证明△ABE≌ADC；
（2）先求出∠ABD＝45°，由勾股定理，得，进而求出∠DBC＝90°，由勾股定理，得，再证明△ABE≌△ADC（SAS），即可得到；
（3）如图所示，过点B作BE⊥BC使得BD＝DE，连接DE，CE，求出∠DBE＝∠DEB＝30°，得到∠BDE＝120°＝∠ADC，由线段垂直平分线的性质得到AD＝CD，证明△ADB≌△CDE（SAS），得到AB＝CE；如图所示，过点D作DH⊥BE于H，求出，得到，则由勾股定理可得．
【解答】解：（1）△ABE≌ADC，证明如下：
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAC+∠BAD＝∠BAC+∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌ADC（SAS）；
（2）∵△ABD和△ABC都是等腰直角三角形，∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠ABD＝45°，
在等腰直角△ABD，由勾股定理，得，
∵∠ABC＝45°，
∴∠DBC＝∠ABD+∠ABC＝90°，
在直角△BDC，由勾股定理，得
∵∠BAD+∠DAE＝∠CAE+∠DAE，
∴∠DAC＝∠BAE，
在△ABE和△DAC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS）
∴；
（3）如图3所示，过点B作BE⊥BC使得BD＝DE，连接DE，CE，
∴∠DBE＝∠DEB，∠CBE＝90°，
∵∠CBD＝60°，
∴∠DBE＝∠DEB＝30°，
∴∠BDE＝120°＝∠ADC，
∴∠BDE+∠ADE＝∠ADC+∠ADE，
∴∠ADB＝∠CDE，
∵D是AC的垂直平分线上一点，
∴AD＝CD，
又∵BD＝DE，
∴△ADB≌△CDE（SAS），
∴AB＝CE；
如图3所示，过点D作DH⊥BE于H，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500元
餐椅
a﹣110
70
原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500元
餐椅
a﹣110
70