四川省成都市新津区外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份四川省成都市新津区外国语实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2. 如果，那么下列各项中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、如果，则，故A错误；
B、如果，则，故B正确；
C、如果，则，故C错误；
D、如果，则，故D错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键．
3. 下列各式中，从左到右的变形是分解因式的是（）
A. B. 试卷源自 每日更新，更低价下载，欢迎访问。C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A．不是几个整式的积的形式，
从左到右的变形不是分解因式，
选项A不符合题意；
B．不是几个整式的积的形式，
从左到右的变形不是分解因式，
选项B不符合题意；
C．，
从左到右的变形是分解因式，
选项C符合题意；
D．是运用平方差公式计算，
从左到右的变形不是分解因式，
选项D不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了因式分解的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
4. 在平面直角坐标系中，若点P(x-3，x)在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】∵点P（x-3，x）在第二象限，
∴，
解得：0＜x＜3．
故选A.
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）；熟记各象限内点的坐标的符号是解决的关键，
5. 等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则其周长为（ ）
A. 16B. 20C. 24D. 20或16
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边的关系，运用好分类讨论思想是解答本题的关键．分腰长为4或8，两种情况讨论．
【详解】解：当等腰三角形腰长为4时，
，
不能构成三角形；
当腰长为8时，
，能构成三角形，
其周长为：，
故选：B．
6. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可．
【详解】解：函数过点，
，
解得：，
，
不等式的解集为．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标．
7. 小茗要从天府七中到兴隆湖，两地相距5.7千米，已知他步行的平均速度为90米/分钟，跑步的平均速度为210米/分钟，若他要在不超过52分钟的时间内到达，那么他至少需要跑步多少分钟？设他跑步的时间为x分钟，则列出的不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据“步行时间步行速度跑步时间跑步速度”列不等式即可，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系．
【详解】解：设他跑步的时间为分钟，则他步行时间为分钟，
根据题意，得：，
故选：A．
8. 如图，一副三角板的直角边靠在一起，直角顶点重合，现将等腰沿方向平移一段距离，使顶点E恰好落在的边上，若，，则平移的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质，勾股定理及平移的性质，知道平移的距离为是解决问题的关键．
由题意得，平移的距离为，根据含直角三角形的性质和勾股定理可设，则，则，解方程即可．
【详解】解：过作交于，
，
由题意得，平移的距离为，
在中，中，，
，
，，
，，
，
设，则，
则由勾股定理得：，
解得：，
平移的距离为，
故选：C．
二、填空题（每题4分，本大题共5个小题，共20分）
9. 多项式的公因式是________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了公因式，掌握确定公因式的方法是解题的关键．
直接利用公因式的确定方法：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，进而得出答案．
【详解】解：，
则多项式的公因式是．
故答案为：．
10. 若有一个因式，则_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据有一个因式，设，再展开合并同类项，得出解出，即可作答．
【详解】解：∵有一个因式，
∴设，
∴
∴，
∴．
故答案为：8．
11. 如图，，平分，，，若，则_____________．
【答案】3
【解析】
【分析】由，平分，可得，即可得到，根据可得的长，再根据角平分线的性质即可求得结果．
详解】解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，负值舍去，
∵平分，，，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握运用这相关性质是解题关键．
12. 如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转α度得到．若点刚好落在边上，则_______________．
【答案】##110度
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到，由等腰三角形的性质得到，然后根据算出，即可得．
【详解】解：∵将绕点B按逆时针方向旋转得到，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，判断得出是解决此题的关键．
13. 如图，在等腰中，，按以下步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作圆，相交于点M和点N；②作直线MN交AB于点D．若，则______．

【答案】
【解析】
【分析】由作法得垂直平分，交于点，如图，则，，再利用等腰直角三角形的性质得到，，得，为等腰直角三角形，根据勾股定理即可得出．
【详解】解：由作法得垂直平分，交于点，如图，

，，
为等腰直角三角形，
，，
，为等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的作图和性质、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共5个题，共48分）
14. 分解因式：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键．
（1）直接利用平方差公式进行因式分解；
（2）直接利用十字相乘法进行因式分解；
（3）先提取公因式，再用完全平方公式进行因式分解．
【小问1详解】
解：原式；
【小问2详解】
解：原式；
【小问3详解】
解：原式
．
15. 解不等式组，并求出所有整数解的和．
【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键．
分别解每一个不等式，再取解集的公共部分，求出不等式组的解集，找出所有的整数解即可．
【详解】解：
由①得：，解得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴整数解为：，
∴整数解的和为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．

（1）与关于点O成中心对称，画出对应的；
（2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
（3）若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为 ，旋转中心坐标为 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），
【解析】
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点即可．
（3）对应点连线段垂直平分线的交点即为旋转中心．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作．
【小问2详解】
解：即为所求作．
【小问3详解】
解：如图，连接 分别作的垂直平分线，交点即为旋转中心，

所以将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为，旋转中心坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点
（1）求m的值和一次函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在点M，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）,
（2）6 （3），，，
【解析】
【分析】（1）根据正比例函数过，可得m，设一次函数解析式为代入求解即可；
（2）根据一次函数解析式求出B点坐标，然后利用三角形面积公式直接求解；
（3）根据A、B坐标，求出，然后分三种情况：分别是，，为底时求解即可．
【小问1详解】
解：∵正比例函数过，
，
解得：，
，
设一次函数解析式为，且过A、C，得：
解得
∴一次函数解析式为：．
小问2详解】
解：由（1）可知，，
的面积为：．
【小问3详解】
解：由（1），，，，
，
情况一：当底是时，如图：

，
；
情况二：当底是时，如图：
M在A右侧，，
，
，
M 在A左侧，，
，
，
情况三、当底是时，如图：
，
，
，
，
解得：，
，
综上所述：，，，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质和图像，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质和图像，并利用数形结合和分论讨论思想思想解答是解题的关键．
18. 如图①，在中，延长到D，使，E是上方一点，且

（1）求证：是等腰三角形；
（2）如图①，若，将沿直线翻折得到，连接和，与交于F，若，求证：F是的中点；
（3）在如图②，若，，连接交于F，交于G．若，（），求线段的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）结合条件中角的关系，由三角形外角的性质，得，证出，得，即可证明结论；
（2）同（1）证出，由翻折得，结合易得，即，由三线合一得F是的中点；
（3）先利用折叠的性质，证明，易得，利用三角形内角和可得，由角的转化得到，最后证明，进而求得．
【小问1详解】
证明：∵，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
证明：由（1）可得，
∴，，
如图，连接，

∵将沿直线翻折得到，
∴，
∵，
∴，即．
由三线合一，得：F是的中点；
【小问3详解】
解：如图，连接，并延长交于点M，

根据折叠的性质，则，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
在与中，
，
∴，
，
，
．
【点睛】本题是三角形翻折变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，平行线的性质，等腰三角形三线合一，其中能够利用全等三角形的性质与翻折性质得到的边、角相等进行等量代换是解题关键．
B卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
19. 已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________．
【答案】0
【解析】
【分析】方程组两方程相减表示出，代入已知不等式即可求出的范围，进而确定出最大整数值即可．
详解】解：，
②①得：，
∵x﹣y＞0，
∴，
解得：，
∴的最大整数值为0．
故答案为：0．
【点睛】此题考查了解一元一次不等式以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
20. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为84，，则平移距离为_____．

【答案】7
【解析】
【分析】根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出．
【详解】解：根据平移可得，，，
，，
，
，
，
即平移的距离为7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形ABEH的面积是解题的关键．
21. 若关于x的不等式组的整数解有且仅有6个，则m的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有6个整数解，得出关于m的不等式，求解即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
关于的不等式组的整数解仅有6个，
，
解得：，
故答案为：．
22. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．
【详解】解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为
当，，则第2个智慧优数为
当，，则第3个智慧优数为，
当，，则第4个智慧优数为，
当，，则第5个智慧优数为
当，，则第6个智慧优数为
当，，则第7个智慧优数为
……
时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个，
列表如下，
观察表格可知当时，时，智慧数为，
时，智慧数为，
，时，智慧数为，
，时，智慧数为，
第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，，
第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为
故答案为：，．
【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．
23. 如图，在△ABC中，，∠BAC＝120°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AEF，连接BE，FC并分别延长交于点M，则BM的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接FB，EC，证明△BFM是等边三角形，△EMC是等边三角形，过点E作ED⊥AC，垂足为D，根据30°角的函数值，求得ED，AD，DC，再用勾股定理计算EC即EM的长，结合BM=BE+EM计算即可．
【详解】如图，连接FB，EC，
∵∠BAC=120°，∠BAE=∠CAF=90°，AB=AE=AC=AF=，
∴∠EAC=30°，∠BAF=150°，∠ABE=∠AEB=∠AFC=∠ACF=45°，BE=FC=4，
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=15°，
∴∠FBE=∠BFC=60°，
∴△BFM是等边三角形，
∴△EMC是等边三角形，
过点E作ED⊥AC，垂足为D，
则ED=AEsin30°=，AD=AEcs30°=，
∴DC=AC-AD=，
根据勾股定理，得EC=，
∴BM=BE+EM==．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角的三角函数，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，特殊角的三角函数，勾股定理是解题的关键．
二、解答题
24. 某市正式出台了住房限购政策：本市户籍居民家庭在主城区已拥有1套住房的，可以再购买第二套住房，暂停购买第三套住房，有业界人士据此分析认为，郊区房价将会上涨，特种开发公司立即计划在近郊建A、B两种户型的住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案?
（2）该公司如何建房获得利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）共有三种建房方案，
方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，
方案二：建造型的住房49套，建造型住房31套，
方案三：建造型的住房50套，建造型住房30套；
（2）建造型的住房48套，建造型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据表格中的数据和该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案；
（2）根据（1）中的结果和表格中的数据可以得到利润与建造型住房的函数关系，然后根据一次函数的性质即可解答本题．
【小问1详解】
解：（1）设建造型的住房套，则建造型住房套，
，
解得：，
为整数，
，49，50，
共有三种建房方案，
方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，
方案二：建造型的住房49套，建造型住房31套，
方案三：建造型的住房50套，建造型住房30套；
【小问2详解】
解：设利润为元，
，
，
当时，取得最大值，此时，，
答：采用建房方案一：建造型的住房48套，建造型住房32套，可以获得利润最大，最大利润是432万元．
25. 已知长为a、b、c、d的四条线段．，以a、b为边构造，其中；以c、d为边构造，其中．
（1）判断和的形状并证明；
（2）将和按照图1方式放置，当B、C、E共线时，取的中点M，连接．若，请猜想与之间的数量关系，并证明；
（3）如图2，当B、C、E不共线时，连接并取其中点M，连接、若，（2）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
【答案】（1）都是等腰三角形，证明见解析
（2），证明见解析
（3）成立，证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质证明，，可得结论；
（2）猜想：．延长到T，使得，连接，延长交的延长线于点K．证明，推出，，推出，推出，再证明，推出，再利用四边形内角和为可得结论；
（3）猜想仍然成立，延长到Q，使得，连接，延长交于点J．证明，则，得到，则，再证明，则，再利用四边形内角和为可得结论．
【小问1详解】
解：结论：，都是等腰三角形；
理由：∵，
∴，
∴，，
∴，都是等腰三角形；
【小问2详解】
猜想：．
理由：延长到T，使得，连接，延长交的延长线于点K．
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
猜想仍然成立．
理由：延长到Q，使得，连接，延长交于点J．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，四边形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
26. 【模型建立】
（1）如图1，等腰RtABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：BEC≌CDA．
【模型应用】
（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l1则直线l2的函数表达式为 ．
（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使的以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．
（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B(3，﹣4)，过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或；（4）或或
【解析】
【分析】（1）根据同角的余角相等可证，从而利用可证；
（2）过点作，交于，过作轴于，则是等腰直角三角形，由（1）同理可得，则，利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由（1）得，得，分两种情况，可求出的值，即可得出点的坐标；
（4）分点为直角顶点或点为直角顶点时或点为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中型全等可得点的坐标，即可解决问题．
【详解】解：证明：（1），，
，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）过点作，交于，过作轴于，
则是等腰直角三角形，

由（1）同理可证，
，，
直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
，，
，
设的函数解析式为，
将点，的坐标代入得，，
直线的函数解析式为，
故答案为：；
（3）由（1）得，
，，
，

，
，
，
；
当M点在x轴的负半轴上时，如下图，

，
，
，
；
故答案为：或；
（4）①若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，
，，，
，
又，
，
在与中，
，
△，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
即点的坐标为；
②若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，，
同理可证明，
，，
点的坐标为，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为；
③若点为直角顶点时，如图，

设点的坐标为，则的长为，，
同理可证明，
，，
，
又点在直线上，
，
解得：，
点与点重合，点与点重合，
即点的坐标为，
综上所述，点的坐标为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，作辅助线构造模型，运用分类思想是解题的关键．
A
B
成本（万/套）
25
28
售价（万/套）
30
34