2022-2023学年四川省成都实验外国语学校八年级（上）期中数学试卷(含解析 )

2022-2023学年四川省成都实验外国语学校八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共32分）

1. 在，，，这四个数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列各点中，在第四象限的点是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知三条线段的长度分别为如下数据，那么以这三条线段为边不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 估算的运算结果应在哪两个整数之间(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

7. 将点向右平移个单位长度到，且在轴上，那的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，中，，，是的中点，于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共40分）

9. 的算术平方根是______；的立方根是______．
10. 平面内点到轴的距离是______．
11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 已知的平方根是，的立方根是，求的算术平方根为______．
13. 如图，把直角沿折叠后，使点落在边上点处，若，，则______．

14. 若，则的值为______．
15. 已知，，则______．
16. 如图，已知一块四边形草地，其中，，，，则这块土地的面积为______．

17. 如图，在中，，，，现将线段绕点逆时针旋转得到，若恰好与平行，与交于点，则点到的距离为______；若点恰好在上，则点到的距离为______．

18. 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线可以记作直线，平行于轴的直线可以记作直线，我们给出如下的定义：点先关于轴对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点关于轴和直线的二次反射点．已知点，关于轴和直线的二次反射点分别为，，点关于直线对称的点为，则当三角形的面积为时，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19. 计算：；
    计算：；
    计算：；
    计算：；
    解方程：；
    解方程：．
20. 已知：，，求下列代数式的值：
    
    ．
21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，．
    画出关于轴对称的；
    请求出三角形的面积．

22. 如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，几分钟后船到达点的位置，此时绳子的长为米，问船向岸边移动了多少米．

23. 已知，，且满足，，平面内有一点其中是常数，请回答下列问题：
    求、、三点的坐标；
    若点在第二象限，连接，请用含的代数式表示四边形的面积，并求出当时，的值；
    若点是由点沿轴正方向平移距离得到的，连接、，请问在四边形边上是否存在点使得为等腰三角形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
     
24. 细心观察如图，认真分析各式，然后解答下列问题：
    ，是的面积；
    ，是的面积；
    ，是的面积；
    
    请用含有为正整数的式子填空：______，______；
    求的值．

25. 在矩形中，，，点是射线上一个动点，连接并延长交射线于点，将沿直线翻折到，延长与直线交于点．
    求证：；
    当点是边的中点时，求的长；
    当时，直接写出的长．
     
26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形．
    
    直接写出点的纵坐标；
    如图，于点，点关于轴的对称点为点，则点的纵坐标为______；连接交于，则的长为______．
    若点为轴上的一个动点，连接，以为边作等边，当最短时，求点的纵坐标．请先在答题纸的备用图中画出示意图，再进行求解
    
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是无理数，故本选项符合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D.，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：．
根据无理数的定义判断即可．
本题考查了无理数，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意是有限小数，属于有理数．
 

2.【答案】 

【解析】解：在第一象限，故本选项不合题意；
B.在第四象限，故本选项符合题意；
C.在第三象限，故本选项不合题意；
D.在第二象限，故本选项不合题意．
故选：．
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，
以、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
以、、为边组成的三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、，
以、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，
以、、为边组成的三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：一个三角形的三边、、如果满足，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.原式，所以选项不符合题意；
C.原式，所以选项不符合题意；
D.原式，所以选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
C、，是最简二次根式；
D、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
的值在和之间．
故选：．
先估算，判断出其在哪两个整数之间，再根据不等式的性质得到在哪两个整数之间，即可得出答案．
此题考查了无理数的估算，正确估算出的值是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位长度后点的坐标为，
点在轴上，
，
解得：，
故选：．
将点向右平移个单位长度后点的坐标为，根据点在轴上知，据此知．
此题主要考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．同时考查了轴上的点横坐标为的特征．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

，是的中点，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据等腰三角形的性质得出，，由勾股定理求出的长，在中，根据等面积法得出等式求解即可．
本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．
 

9.【答案】   

【解析】解：，，
的算术平方根是；的立方根是．
故答案为：；．
如果一个非负数的平方等于，那么是的算术平方根；一个数的立方等于，那么是的立方根，根据此定义求解即可．
本题考查了算术平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；的平方根是；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，的立方根式．
 

10.【答案】 

【解析】解：点到轴的距离是：．
故答案为：．
根据点到轴的距离为点的横坐标的绝对值解答即可．
本题考查点的坐标．解题的关键是明确点到轴的距离为点的横坐标的绝对值．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意知，
解得，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数求解即可．
本题主要考查二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，
解得：，
，
解得，
，
，
的算术平方根为，
故答案为：．
先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案．
本题考查立方根与平方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的概念，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由折叠得，，，
，，
，且，
，
，
，
故答案为：．
先由，，，根据勾股定理求得，再由折叠得，，，则，，即可根据勾股定理列方程得，求得，即可求得．
此题重点考查轴对称的性质、勾股定理等知识，在中根据勾股定理列出方程是解题的关键．
 

14.【答案】解：原式
；
原式
；
原式--

；
原式
；
，
，
；
，
，
，
，． 

【解析】应用平方差公式，立方根，平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式，立方根，平方根，零指数幂及负整数指数幂，熟练掌握平方差公式，立方根，平方根，零指数幂及负整数指数幂的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

15.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】根据平方差公式，可得答案；
根据完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，利用公式是解题关键．
 

16.【答案】解：如图，即为所求．

． 

【解析】先作出关于轴对称的顶点，连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
依据割补法即可得到的面积．
本题主要考查了利用轴对称变换进行作图，掌握作一个图形的对称图形的步骤是解题的关键．
 

17.【答案】解：在中：
，米，米，
米，
米，
米，
米，
答：船向岸边移动了米， 

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

18.【答案】解：，，
又，，，
，，，
，，；

，，
，
，
，
，
；

，，，
，
当点在上，时，．
当点在上时，，可得．
当时，设，则有，
，
．
当时，可得．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 

【解析】利用非负数的性质求出，，的值可得结论；
证明，利用梯形面积公式求解，再根据题意，构建方程求解；
分四种情形：当点在上，时，当点在上时，，，时，分别求解即可．
本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】 

【解析】解：，





．
故答案为：．
利用配方法把变形为，然后把的值代入计算即可．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
 

20.【答案】 

【解析】解：原式的平方
，
当，时，
原式
，
由题意可知结果为正数，所以

故答案为：
根据配方法以及分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，分别延长，交于点．

，，
，
，，
，，
，，
，，
四边形的面积
即这块土的面积为．
故答案为：．
分别延长，交于点，证和都是等腰直角三角形，然后求出和的面积即可求解．
本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是：通过作辅助线，构造新的直角三角形，利用四边形的面积来求解．
 

22.【答案】  

【解析】解：当时，连接，，如图：

，，，，
，，
将线段绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
在中，
，
到的距离为；
当点恰好在上，过作于，过作交延长线于，如图：

同上可得，
，
，，
，
，
，
，
，
点恰好在上，则点到的距离为，
故答案为：，．
当时，连接，，由面积法可得，用勾股定理得，即到的距离为；当点恰好在上，过作于，过作交延长线于，由，即有，故C，即点恰好在上，则点到的距离为．
本题考查直角三角形中的旋转变换，解题的关键是掌握旋转的旋转，能用面积法解决问题．
 

23.【答案】或 

【解析】解：根据题意得，，，，

，，
的面积为，
，
解得或，
故答案为：或．
根据对称性质由已知点坐标求得，，的坐标，再根据三角形的面积列出方程求得的值便可．
本题考查了新定义，直角坐标系的点的特征，三角形的面积公式，关键是读懂新定义，根据新定义求出，的坐标．
 

24.【答案】  

【解析】解：由已知条件可知，；
故答案为：；；
原式，




．
认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可．
化简整理后代入求值．
此题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
 

25.【答案】证明：将沿直线翻折到，
，
，
，
，
；
解：连接．

点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
设，
则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
；
解：当点在点上方时，如图，设，
则，，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
当点在点的下方时，由同理得，，

，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
综上：或． 

【解析】根据折叠得，再由平行线的性质得，得，可得结论；
连接利用证明≌，得，设，则，，在中，由勾股定理得，，解方程可得答案；
分点在点上方或在点下方两种情形，分别利用勾股定理列方程可得答案．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理列方程是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：如图，过点作于，

点的坐标为，
，
为等边三角形，，
，，
点的纵坐标为；
过点作于，过点作于，连接，连接交于，

，是等边三角形，
，
，
，
又，
，
，
点的纵坐标为，
点关于轴的对称点为点，
点的纵坐标，轴，
，，
，，，
是等边三角形，
，
，
又，
≌，
，
故答案为：，；
如图，当点在的右侧时，连接，延长交轴于，

是等边三角形，
，，
，
又，
≌，
，
点在过点且垂直的直线上运动，
当时，有最小值，
过点作于，
，，
，，
，
，
，
的纵坐标为，
则当最短时，点的纵坐标为．
当点在的左侧时，同理可求点的纵坐标为．
综上所述：当最短时，点的纵坐标为．
由等边三角形的性质可得，即可求解；
由等边三角形的性质和直角三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得点纵坐标，即可求点纵坐标，由“”可证≌，可得；
由“”可证≌，可得，即点在过点且垂直的直线上运动，则当时，有最小值，由直角三角形的性质可求，，即可求解．
本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．