2024年广西壮族自治区贵港市九年级中考二模数学试题（学生版+教师版）

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（本试卷分第I卷和第Ⅱ卷，考试时间120分钟，赋分120分）
注意：答案一律填在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束将答题卡交回．
第I卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）每小题都给出标号为（A）、（B）、（C）、（D）的四个选项，其中只有一个是正确的．请考生用2B铅笔在答题卡上将选定的答案标号涂黑．
1. 的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据相反数的定义，即可求解，
本题考查了相反数的定义，熟记“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”是解题关键．
【详解】解：的相反数是2024，
故选：．
2. 据统计，2023年贵港市中考报名人数约为8万，数据8万用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：8万；
故选C．
3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
利用中心对称图形与轴对称图形的概念即可解题．
【详解】、由于此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项正确；
、由于此图形旋转后能与原图形重合，故此图形是中心对称图形，没有对称轴，不是轴对称图形，故此选项错误；
、由于此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误；
、由于此图形旋转后不能与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，有对称轴，是轴对称图形，故此选项错误；
故选．
4. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】观察数轴得：，再逐项判断即可求解．
【详解】解：观察数轴得：，故A错误，不符合题意；B正确，符合题意；
∴，故C错误，不符合题意；
∴，故D错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5. 如图是一个正方体积木，它的每个面上都有一个数字，其中1的对面是6，2的对面是5，3的对面是4，现将积木沿着地面标志翻转，最后朝上的面的数字是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】本题是考查正方体的展开图，最好的办法是让学生动手操作一下，既可以解决问题，又锻炼了学生动手操作能力．
根据题意可知，翻转第一次时3朝上；翻转第二次时5朝上．
【详解】解：由题意可知，最后朝上的面的数字是5．
故选：D
6. 如图，一束光从点出发，经过平面镜反射后，沿与平行的射线射出（此时有），若测得，则等于（ ）
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
【答案】A
【解析】
【分析】先根据“两直线平行，同旁内角互补”推知∠FDC=80°，然后结合平角的定义和已知求得∠2的度数,继而根据∠A=∠3-∠2即可得出答案．
【详解】解：∵DE∥CF，，
∴∠FDC =180°-∠3=80°，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠2=（180°-80°）=50°，
∴∠A=∠3-∠2=100°-50°=50°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．
7. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是( )
A. 面朝上的点数是3B. 面朝上的点数是奇数
C. 面朝上的点数小于2D. 面朝上的点数不小于3
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出各选项的事件的概率，再比较各个概率的大小，就可得出可能性较大的事件的概率．
【详解】A．掷一枚骰子面朝上的点数是3的概率为；
B．掷一枚骰子面朝上的点数是奇数有1，3，5三个数，此事件的概率为：；
C．掷一枚骰子面朝上的点数小于2的只有1，此事件的概率为：；
D．掷一枚骰子面朝上的点数不小于3数有3、4、5、6，此事件的概率为：；
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
8. 把多项式分解因式得( )
A. B. m(m-1)C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
9. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题：“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有一百只，几多鸡来几多兔”．解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，则所列方程组正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组．设鸡为x只，兔为y只，根据“三十六头笼中露”，得方程；根据“看来脚有100只”，得方程即可解题．
【详解】解：设鸡为x只，兔为y只，则列方程组为：
，
故选D．
10. 如图，是的直径，是的弦，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等求得角A的度数，然后再求得∠ABD的度数即可．
【详解】解：∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理的知识，解题的关键是熟知圆周角定理的知识，难度不大．
11. 二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，其中结论正确的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象及性质；能够从函数图象获取信息，结合函数解析式、判别式、对称轴的性质解题是关键．根据以上相关性质，逐项判定即可．
【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
即，
∴，故选项A不符合题意；
由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，
则当 时，方程有两个不相等实数根，
∴，故选项B不符合题意；
由图象，抛物线与x轴交于，
代入，可得，
故选项C不符合题意；
由抛物线对称性可知，原点关于直线的对称点在抛物线上方，
∴当时，，故选项D符合题意；
故选：D
12. 如图，正方形的边长为点是的中点，若动点在对角线上，动点在边上，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查轴对称和正方形的性质，做出对称后的图像是解题关键．
作关于的对称点，结合正方形性质确定其为的中点，当三点共线且时，的值最小值．
【详解】解：作关于的对称点，
又∵四边形为正方形，
∴点即为的中点，如图：
∴，
∴当时，四边形为矩形，,
此时的值最小值为．
故选：A．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13. 如果某天的温度上升了，记作，那么温度下降，记作______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，温度上升用正表示，那么温度下降就用负表示，据此求解即可．
【详解】解：如果某天的温度上升了，记作，那么温度下降，记作，
故答案为：．
14. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解即可．
【详解】解：若代数式有意义，则，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．
15. 某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为__________．
【答案】35
【解析】
【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
根据众数、中位数定义分别进行解答，即可求出答案．
【详解】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32，
∴，
把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为，
故答案为：35．
16. 如图，有一斜坡，此斜坡的坡面长，斜坡的坡角是，若，则坡顶B离地面的高度为______m．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了正弦三角函数，熟练掌握正弦三角函数为角的对边比邻边是解题的关键．由正弦三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
17. 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】设与小圆的切点为C，连接、，有垂径定理求出，由勾股定理可得，由即可求得答案．
【详解】解：如图，设与小圆的切点为C，连接、，
∵为小圆的切线，
∴，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理、勾股定理等知识，掌握整体代入思想方法是解题的关键．
18. 以的顶点A为圆心，大于二分之一为半径画弧与分别交于两点，分别以这两点为圆心，以大于二分之一两点间距离为半径（半径不变）画弧．已知，那么的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的作图，勾股定理，含30度角的直角三角形，根据角平分线的作图可得，利用勾股定理和角的直角三角形的性质求出的长即可．
【详解】解：在中，
∴
∴
∴在中，
∴
∴
∴，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了含乘方得有理数的混合运算，先算乘法、乘方，再算除法，最后算加减，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
20. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】，
①+②，得，
解得 ，
将代入方程②，得，
解得 ，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21. 如图，已知，平分．
（1）尺规作图：作的平分线交于点O，交于点D；（要求：保留作图浪迹，不写作法，标明字母）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，角平分线的尺规作图，角平分线的定义和平行线的性质：
（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）先由平行线的性质得到，再由角平分线的定义分别证明，，据此可利用证明．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
又∵，
∴．
22. 某学校为了美化校园环境，打造绿色校园，计划用长为120米的篱笆来围成一个一面靠墙（墙足够长）的矩形花园，并用一道篙笆把花园分为A和B两块区域（如图所示）．
（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为_____米；
（2）请设计一个方案，使得花园的面积最大，并求出最大面积．
（3）在花园面积最大的条件下，A和B两块区域分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株的售价为25元，芍药每株的售价为15元，学校计划购买这些植物的费用不超过5万元，求学校最多能购买多少株牡丹．
【答案】（1）；
（2）当垂直于墙一边长为20米时，花园面积最大为1200平方米；
（3）最多可以购买1400株牡丹．
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识点，明确题意、找出所求问题需要的条件是解题的关键．
（1）直接根据图形列出代数式即可；
（2）设围成的矩形面积为S平方米，再结合（1）可得到S与x的函数关系式，再配成顶点式求出函数的最大值即可；
（3）设购买牡丹m株，则购买芍药株，再根据题意列出不等式即可求得种植牡丹面积的最大值．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：设围成的矩形面积为S平方米，根据（1）得：
,
∵，
∴当时，S取最大值1200，
∴当垂直于墙的一边长为20米时，花园面积最大为1200平方米．
【小问3详解】
解：设购买牡丹m株，则购买芍药株，
∵学校计划购买费用不超过5万元，，解得，
∴最多可以购买1400株牡丹．
23. 如图，点A，C均在上，，外一点P在直线上，连接交于点B，作点B关于的对称点D，以点D为顶点作，点E在上．
（1）求证：是的切线；
（2）若平分，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据对称的性质可得点D必在上，是的半径，，根据圆周角定理有，从而，进而得到，由得到，因此，即，得证结论；
（2）先求得，进而，，因此，根据，，得到是等边三角形，根据三线合一得到，，而在中，从而．
【小问1详解】
如图，连接，，记与的交点为，
∵点B在上，是经过圆心O的直线，
∴点B关于的对称点D必在上，
∴是的半径，
∵点A在上，
∴,
∵点B和点D关于对称，
∴，
∴，
∵，，
又，
∴，
∵于点O，
∴，
∴，
又，
∴，即，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：记与的交点为F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
又，
∴，
∴在中得：，
∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
在中得：，
．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，切线的证明，轴对称的性质，综合运用相关知识是解题的关键．
24. 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘一次（若压线，重新转），若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
【答案】（1）见解析；
（2）游戏不公平，说明见解析．
【解析】
【分析】本题主要考查树状图列举的画法以及概率的应用，正确画出树状图是解题的关键.
（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况即可；
（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平．
【小问1详解】
解：如图所示：
由树状图可得以下9种等可能出现的结果：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）．
【小问2详解】
解：甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
∵ ，
∴，
∴游戏不公平．
25. 某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒100毫升后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．
（1）求部分双曲线的函数表达式；
（2）参照上述数学模型，假设某人晚上喝完100毫升低度白酒，则此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由．
【答案】（1）
（2）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数解析．
（1）先用待定系数法求出正比例函数解析式，然后求出，从而得出，再求出反比例函数解析式即可；
（2）求出当时，，然后进行判断即可．
【小问1详解】
解：依题意，设的解析式为，将点代入得：，
解得：，
，
当时，，即，
∴，
设双曲线的解析式为，将点代入得：，
；
【小问2详解】
解：不能，理由如下
在中，当时，，
从晚上到第二天早上时间间距为13小时，
，
第二天早上不能驾车出行．
26. 小东在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小东继续利用上述结论进行探究．
提出问题】
如图1，在线段同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：
【反思归纳】
（1）上述探究过程中的横线上填的内容是________；
【拓展延伸】
（2）如图3，在中，，将绕点A逆时针旋转得，连接交于点D，连接．小东发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②当为直角三角形，且时，直接写出长．
【答案】（1）；（2）①见解析；②．
【解析】
【分析】本题主要考查了直角所对的弦是直径、圆内接四边形对角互补、相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据已知导论过程即可解答；
（2）①先说明、即A，C，B，D四点共圆，则，进而得到，再证明可得，最后根据垂直平分线的性质即可解答；②分当和两种情况分别证明得到相应线段的长，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：（1）作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），
连接，则，
又∵，
∴．
故答案：．
（2）①证明：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴A，C，B，D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵旋转得，
∴
∴，
∵，
∴．
②如图中，当时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
如图中，当时，过B作交于H，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∵，
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴．
综上，的长为或．如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），
连接，则，
又∵，
∴___________，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∵点B，D在点A，C，E所确定的上，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．