2024年广西贵港市港南区九年级中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟，满分：120分）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、座位号、准考证号填写在试卷和答题卡上
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上作答无效
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题都给出四个选项中只有一个是正确的．考生用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 下列各数是正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正数和负数的定义．解题的关键是掌握：正数就是大于的数，正数前面可以加上“”来表示，也可以省略“”； 负数就是小于的数，任何正数前面加上“”是负数；既不是正数也不是负数，是正负数的分界点．据此解答即可．
【详解】解：A．是正数，故此选项符合题意；
B．既不正数，也不是负数，故此选项不符合题意；
C．是负数，故此选项不符合题意；
D．是负数，故此选项不符合题意．
故选：A．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图．根据俯视图是从物体上面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的俯视图，即可解答．
【详解】解：A、俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、俯视图是三角形，故本选项符合题意；
C、俯视图是有圆心的圆，故本选项不合题意；
D、俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：B．
3. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可．
【详解】根据题意可知，
解得．
故选：B．
4. 如图所示的是一杆杆秤，杆秤是利用杠杆原理来称质量的简易衡器，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、秤钩、提绳等组成．在称物品时，提绳AB与秤砣绳CD互相平行，若，则的度数为（ ）
A. 92°B. 90°C. 88°D. 86°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平角的定义，平行线的性质求解．
【详解】∵
∴
∵
∴
故选：C
【点睛】本题考查平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5. 在足球比赛中，五支球队的进球数分别为3，5，8，4，8，这组数据的中位数是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【详解】解：将该组数据按从小到大顺序排列：3，4，5，8，8，
位于最中间的一个数是5，
因此这组数据的中位数是5，
故选C．
6. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
7. 点关于x轴对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可解答本题．
【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为
故选：D．
8. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了圆锥的有关计算，设此圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的周长等于底面圆的周长，列方程求解即可．解题的关键是掌握弧长公式，理解扇形的周长等于底面圆的周长．
【详解】解：设此圆锥底面圆的半径为，
根据扇形的周长等于底面圆的周长可得，，
解得，
圆锥底面圆的半径为，
故选：C．
9. 如图，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形，取优弧上一点，连接，，由圆周角定理，得，运用圆内接四边形对角互补求解是解决题关键．
【详解】解：如图，取优弧上一点，连接，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
10. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．
本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
【详解】A、∵，
∴，
故A选项错误；
B、当时，，
故B选项是错误；
C、∵
，
∴，
故C选项错误；
D、∵，
∴，
故D选项正确；
故选：D．
11. 四元玉鉴是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系是解题的关键．
由“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得出一株椽的价格为文，结合单价=总价数量，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵这批椽有株，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，
∴一株椽的价格为文，
根据题意得：．
故选：D．
12. 小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（ ）
A. a＝15
B. 小明的速度是150米/分钟
C. 爸爸从家到商店的速度为200米/分钟
D. 爸爸出发7分钟追上小明
【答案】D
【解析】
【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B，利用设爸爸开始时车速为x米/分，列方程10x+5(x+60)=3300，解出可确定C，利用小明和爸爸行走路程一样，设t分爸爸追上小明，列方程150（t+2）=200t，求解可知D．
【详解】解：A．a＝10+5=15，故A正确，不合题意；
B．小明的速度为3300÷22=150米/分，故B正确，不合题意；
C．设爸爸开始时车速为x米/分，10x+5(x+60)=3300，解得x=200米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意；
D．设t分爸爸追上小明，150（t+2）=200t，t=6，故爸爸出发7分钟追上小明不正确，
故选择：D．
【点睛】本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 计算：___________．
【答案】
【解析】
【分析】可利用30°特殊直角三角形三边关系并结合余弦三角函数定义求解本题．
【详解】30°直角三角形三边比例关系为，．
故本题答案为．
【点睛】本题考查余弦三角函数，熟练记忆其定义即可，对于特殊角度的三角形函数值，可背诵下来提升解题速度．
14. 因式分解：=_______．
【答案】(a+1)(a-1)
【解析】
【分析】直接应用平方差公式即可求解．
【详解】．
故答案为：(a+1)(a-1)
15. 反比例函数的图象经过点，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】把点代入反比例函数即可得到答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数解析式，掌握待定系数法是解本题的关键．
16. 马拉松(Marathn)国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离26英里385码，折合约为42000米，用科学记数法表示42000为 ______．
【答案】4.2×104
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将42000用科学记数法表示为4.2×10.
故答案是：4.2×104
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的基本形式是解决本题的关键.
17. 为了估计水塘中的鱼数，老张从鱼塘中捕获100尾鱼，在每尾鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，过一段时间，他再从鱼塘中随机打捞200尾鱼，发现其中10尾有记号，则鱼塘中鱼的总尾数大约为_________尾．
【答案】2000
【解析】
【分析】本题考查了用样本估计总体．首先求出有记号的10条鱼在200条鱼中所占的比例，然后根据“样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例”即可求得鱼的总条数．
【详解】解：∵池塘中有记号的鱼所占的百分比为：，
∴池塘中共有鱼：（条）．
故答案为：2000．
18. 已知关于的方程的解是，，应用此结论解方程：的解为___________．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．观察阅读材料中解方程的过程，归纳总结得到结果．弄清题中的规律是解本题的关键．
【详解】解：把方程变形为，
关于的方程的解是，，
方程的解是或，
即，，
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答．
【详解】解：
．
20. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，涉及解一元一次不等式的方法步骤等知识，逐个解出不等式组中各个不等式的解集，由“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”求出不等式组解集即可得到答案，熟记不等式组解集的求法是解决问题的关键
【详解】解：由①得，
由②得，
不等式组的解集为．
21. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，．

（1）将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出；
（2）作出与与关于原点成中心对称的；
（3）通过旋转可以得到，则旋转中心P的坐标为___________．
【答案】（1）图见详解；
（2）图见详解； （3）；
【解析】
【分析】（1）根据平移的性质直接作图即可得到答案；
（2）根据中心对称的性质直接找到对应点即可得到答案；
（3）连接，交于一点即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，平移后的图像如图所示，
；
【小问2详解】
解：由题意可得，图像如图所示，
；
【小问3详解】
解：如图连接，交于一点即为点P，
即可得到点P的坐标为：；
【点睛】本题考查作平移图像，作中心对称图像及找旋转中心，解题的关键是熟练掌握平移的性质，中心对称的性质．
22. 在大课间活动中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：
（1）频数分布表中，________，________，并将统计图补充完整；
（2）如果该校七年级共有女生200人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？
（3）已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，请你用列表或树状图的方法，求所选两人正好都是甲班学生的概率．
【答案】（1）0.30，4，图见解析
（2）110人 （3）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及频数分布直方图：
（1）由各组频率之和为1可得a的值，根据第一组频数及频率求出总数，乘以第四组频率可得b的值，继而将统计图补充完整；
（2）用样本估计总体即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
小问1详解】
解：，
抽取学生总数为：
，
第二组频数为：，
补充完整后的统计图如下：
；
【小问2详解】
解：（人），
答：估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有110人
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，
∴所选两人正好都是甲班学生的概率是．
23. 如图所示，△，△CDE均为直角三角形，且，，过点作平分交于点．
（1）求证：∥；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）105°
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论；
（2）先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解．
【小问1详解】
证明：∵△为直角三角形，，
∴．
∵，且CF平分，
∴，
∴，
∴∥．
【小问2详解】
解：由三角形内角和定理可得
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和三角形的内角和定理，掌握三角形内角和定理及推论是解决本题的关键．
24. 如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接．
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明切线连半径是常作的辅助线；
（1）连接，由等腰三角形的性质及互余关系即可得，即，即可得证；
（2）设的半径，则可得的长度，从而得的长度，在中，由勾股定理建立方程即可求得r．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵半径，
∴为的切线；
【小问2详解】
解：设的半径，则，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，或（舍去），
∴的半径为3．
25. 鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点，守门员位于点，的延长线与球门线交于点，且点，均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离与离地高度的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据可得，当__________时，达到最大值__________；
（2）求关于的函数解析式；
（3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度时，视为防守成功，若一次防守中，守门员位于足球正下方时，，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【答案】（1），
（2）
（3）守门员不能成功防守，见详解．
【解析】
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解函数图像上点的横坐标与纵坐标的含义．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入可求出参数，由此可解答；
（3）把代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可.
【小问1详解】
解：时，达到最大值；
【小问2详解】
由（1）知，抛物线顶点坐标，设，
把代入解析式，，
解得，
∴．
【小问3详解】
当，
，
∵,
∴守门员不能成功防守．
26. 请阅读下列材料，完成相应的任务．
任务：
（1）上述做法是依据了矩形的一个判定定理：________________；
（2）补全材料中的证明过程；
（3）利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（写出简要的测量方法）
【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形
（2）见解析 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
（1）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可得答案；
（2）先根据对边相等证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形；
（3）先测量对边是否相等，再测量出对角线，利用勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形，即可判定是否为矩形．
【小问1详解】
解：上述做法是依据了矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，
故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：补全后的证明过程如下：
证明：，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形；
【小问3详解】
解：利用卷尺测量两组对边是否相等，确定它的形状是平行四边形；
然后测量一条对角线的长度，当两条邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，根据勾股定理的逆定理可确定一个角为直角，
根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可判定该四边形是矩形．分组
频数
频率
第一组（）
3
0.15
第二组（）
a
第三组（）
7
0.35
第四组（）
b
0.20
0
9
12
15
18
21
…
0
5
…
×年×月×日星期日
只用卷尺也能判断矩形
今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？已知在四边形中，，，．
求证：四边形是矩形．
证明：……．