2022-2023 学年广西南宁市九上数学期末试卷（解析版）

这是一份2022-2023 学年广西南宁市九上数学期末试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了小明沿着坡度为 1等内容，欢迎下载使用。


2022-2023 学年广西南宁市九上数学期末试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4．作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题（每题 4 分，共 48 分）
1．如图，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限， AB = AC = 2 ，直角顶点 A 在直线y = x 上，其中点 A 的横坐标为1，
k
且两条直角边 AB ， AC 分别平行于x 轴、 y 轴，若反比例函数 y =
的图象与△ABC 有交点， 则 k 的取值范围是
( ) .
A ． 1 < k < 2 B ．1 < k < 3 C ．1 < k < 4 D ．1 < k < 4
2．二次函数 y = ax2 + bx + c(a 子 0) 的图象如图所示，其对称轴为x =1 ，有下列结论：①abc < 0 ；②b < a + c ；
③ 4a + 2b + c < 0 ；④对任意的实数m ，都有a + b 之 m(am + b) ，其中正确的是( )
A . ①② B . ①④ C . ②③ D . ②④
3．下列式子中， 为最简二次根式的是( )
1
A ． B ． 2 C ． 4 D ． 12
2
4．若关于的一元二次方程kx2 + 2x — 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ． k > — 1 B ． k > — 1 且k ≠ 0 C ． k <1 D ． k <1 且k ≠ 0
5． “线段， 等边三角形， 圆， 矩形， 正六边形”这五个图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有( )
A ．5 个 B ．4 个 C ．3 个 D ．2 个
6．小明沿着坡度为 1：2 的山坡向上走了 10m，则他升高了( )
A ．5m 日 B ．2 5 m 日 C ．5 3 m 日 D．10m
7．如图，抛物线 y=﹣（x+m ）2+5 交 x 轴于点 A，B，将该抛物线向右平移 3 个单位后，与原抛物线交于点 C，则点
C 的纵坐标为( )
5 11 13
A ． - B ． — C ．3 D . —
2 4 4
8．已知A、B、C 三地顺次在同-直线上，甲、乙两人均骑车从 A 地出发，向C 地匀速行驶. 甲比乙早出发5 分钟；甲
到达 B 地并休息了 2 分钟后，乙追上了甲. 甲、乙同时从B 地以各自原速继续向C 地行驶.当乙到达C 地后，乙立即掉
5
头并提速为原速的
4
倍按原路返回 A 地，而甲也立即提速为原速的二倍继续向C 地行驶，到达C 地就停止.若甲、乙
间的距离y (米)与甲出发的时间t (分)之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是( )
A ．甲、乙提速前的速度分别为300 米/分、 400 米/分.
B ． A、C 两地相距7200 米
C ．甲从 A 地到C 地共用时 26 分钟
D ．当甲到达 C 地时，乙距 A 地6075 米
9．某小组做 “用频率估计概率”的试验时， 绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A ．抛一枚硬币，出现正面朝上
B ．掷一个正六面体的骰子，出现 3 点朝上
C ．任意画一个三角形，其内角和是 360°
D ．从一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
10．如图， DE 是ΔABC 的中位线，则
S
ΔBDE S
四边形 AEDC
的值为( )
1 1 1 2
A ． - B ． - C ． - D ． -
2 3 4 5
11．将抛物线 y = x2 +1 先向左平移 2 个单位，再向下平移3 个单位，得到的新抛物线的表达式为( )
A ． y = (x + 2)2 + 4 B ． y = (x - 2)2 - \l "bkmark1" 2
C ． y = (x - 2)2 + 4 D ． y = (x + 2)2 - \l "bkmark2" 2
12．若一元二次方程 x2+2x+m=0 中的 b2﹣4ac=0，则这个方程的两根为( )
A ．x1=1 ，x2=﹣1 B ．x1=x2=1 C ．x1=x2=﹣1 D ．不确定
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
13．某学校的初三（1）班，有男生 20 人，女生 23 人．现随机抽一名学生，则：抽到一名男生的概率是 .
14．在本赛季CBA 比赛中， 某运动员最后六场的得分情况如下： 17、15、21、28、12、19，则这组数据的方差为 .
15．分解因式： a2b﹣b3= .
16．两同学玩扔纸团游戏，在操场上固定了如下图所示的矩形纸板，E 为 AD 中点， 且∠ABD ＝60°,每次纸团均落在
纸板上，则纸团击中阴影区域的概率是 .
17．写出一个经过点（0，3）的二次函数： .
18．在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是 .
三、解答题（共 78 分）
19．（8 分）如图，在口ABCD 中， AB ＝4，BC ＝8， ∠ABC ＝60° . 点 P 是边 BC 上一动点， 作ΔPAB 的外接圆⊙O 交
BD 于 E .
（1）如图 1，当 PB ＝3 时，求 PA 的长以及⊙O 的半径；
（2）如图 2，当∠APB ＝2∠PBE 时，求证： AE 平分∠PAD；
（3）当 AE 与ΔABD 的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O 的半径.
20．（8 分）现有 A 、 B 两个不透明的盒子， A 盒中装有红色、黄色、蓝色卡片各 1 张， B 盒中装有红色、黄色卡片
各 1 张，这些卡片除颜色外都相同.现分别从 A 、 B 两个盒子中任意摸出一张卡片.
（1）从 A 盒中摸出红色卡片的概率为 ；
（2）用画树状图或列表的方法，求摸出的两张卡片中至少有一张红色卡片的概率.
21．（8 分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且 获利不高于 30% ．试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售
量减少 10 本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元.
（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大？最大利润是多少元？
22．（10 分）如图， 点 D 是 AC 上一点，BE //AC，AE 分别交 BD、BC 于点 F、G，若∠1=∠2，线段 BF、FG、FE
之间有怎样的关系？ 请说明理由.
23．（10 分）为了解某校九年级男生 1000 米跑的水平，从中随机抽取部分男生进行测试，并把测试成绩分为 D、C、B、A
四个等次绘制成如图所示的不完整的统计图，请你依图解答下列问题：
（1）a= ，b= ，c=；
（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 度；
（3）学校决定从 A 等次的甲、乙、丙、丁四名男生中，随机选取两名男生参加全市中学生 1000 米跑比赛，请用列表
法或画树状图法，求甲、乙两名男生同时被选中的概率.
24．（10 分）在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字 2、3、4、6 的乒乓球，它们的形状、大小、颜色、质地 完全相同，耀华同学先从盒子里随机取出一个小球，记为数字 x，不放回，再由洁玲同学随机取出另一个小球，记为
数字 y，
（1）用树状图或列表法表示出坐标(x，y)的所有可能出现的结果；
12
（2）求取出的坐标(x，y)对应的点落在反比例函数 y ＝- 图象上的概率.
x
25．（12 分）已知二次函数 y = 一x2 + 2kx +1 一 k. （k 是常数）
(1)求此函数的顶点坐标.
(2)当 x 之 1 时， y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.
(3)当0 < x <1 时， 该函数有最大值3 ，求k 的值.
26. ΔABC 内接于⊙ O ， AB 是直径， 经ABC = 300 ，点 D 在⊙O 上.
(1)如图， 若弦CD 交直径 AB 于点 E ，连接 DB ，线段CF 是点C 到 BD 的垂线.
①问经CDF 的度数和点 D 的位置有关吗？ 请说明理由.
9
②若ΔDFC 的面积是 ΔACB 的面积的 倍，求经CBF 的正弦值.
10
(2)若⊙O 的半径长为2, CD = 2 2 ，求 BD 的长度.
参考答案
一、选择题（每题 4 分，共 48 分）
1、D
【解析】设直线 y=x 与 BC 交于 E 点，分别过 A、E 两点作 x 轴的垂线，垂足为 D、F，则 A（1，1），而 AB=AC=2，则 B
（3，1），△ABC 为等腰直角三角形， E 为 BC 的中点，由中点坐标公式求 E 点坐标，当双曲线与△ABC 有唯一交点时，
这个交点分别为 A、E，由此可求出 k 的取值范围.
解：∵ AC = BC = 2 ， 经CAB = 90。． A(1,1)．又∵y = x 过点 A ，交 BC 于点 E ，∴ EF = ED = 2 ，
∴E(2,2)，∴1 < k < 4 ．故选 D.
2、B
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与 x 轴、y 轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可.
【详解】 抛物线的开口向下
:a < 0
对称轴为x = 1
b
:- = 1
2a
:b = -2a ， a, b 异号，则b > 0
抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方
：c>0
：abc < 0 ，则①正确
由图象可知， x = 一1 时， y < 0 ，即 a 一 b + c < 0
则b > a + c ，②错误
由对称性可知， x = 2 和 x = 0 的函数值相等
则 x = 2 时， y > 0 ，即4a + 2b + c > 0 ，③错误
a + b 之 m(am + b) 可化为 am2 + bm 一 a 一 b < 0
关于 m 的一元二次方程 am2 + bm 一 a 一 b = 0 的根的判别式 Δ = b2 + 4a(a + b) = (2a + b)2 = 0
则二次函数y = am2 + bm 一 a 一 b 的图象特征：抛物线的开口向下，与 x 轴只有一个交点
因此， y < 0 ，即 am2 + bm 一 a 一 b < 0 ，从而④正确
综上，正确的是①④
故选： B .
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与 x 轴、 y 轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数
的图象与性质是解题关键.
3、B
【分析】利用最简二次根式定义判断即可.
2
【详解】A、原式 = ，不符合题意；
2
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式 = 2 ，不符合题意；
D、原式 = 2 3 ，不符合题意；
故选 B .
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键.
4、B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可.
【详解】由题意得： k ≠ 0, Δ = b2 一 4ac = 4 + 4k > 0
解得： k > 一1 且k ≠0
故选： B .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式ax2 + bx + c = 0(a 子 0) 有：（1）
当 Δ = b2 一 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 Δ = b2 一 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； （3）当
Δ = b2 一 4ac < 0 时，方程没有实数根.
5、B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形的性质求解.
【详解】∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、
圆、矩形、正六边形，共 4 个.
故答案为： B.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对
称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180°后原图形重合.
6、B
【详解】解：由题意得： BC：AB=1：2，设 BC=x，AB=2x，
则AC= AB2 + BC2 = x2 +（2x）2 = 5 x=10，
解得： x=2 5 .
故选 B .
7、B
【分析】将抛物线 y=﹣（x+m ）2+5 向右平移 3 个单位后得到 y=﹣（x+m﹣3）2+5，然后联立组成方程组求解即可.
【详解】解：将抛物线 y=﹣（x+m ）2+5 向右平移 3 个单位后得到 y=﹣（x+m﹣3）2+5，
y = 一(x + m)2 + 5
根据题意得： { ，
y = 一(x + m 一 3)2 + 5
3
x = - m
2
解得： { ，
11
y = -
4
∴交点 C 的坐标为(
故选： B .
3
-2 - m
11
, ),
4
【点睛】
考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的
解析式.
8、C
【分析】设出甲、乙提速前的速度，根据“乙到达B地追上甲”和“甲、乙同时从B出发，到相距 900 米”建立二元一次 方程组求出速度即可判断 A，然后根据乙到达 C 的时间求 A、C 之间的距离可判断 B，根据乙到达 C 时甲距 C 的距离
及此时速度可计算时间判断 C，根据乙从 C 返回 A 时的速度和甲到达 C 时乙从 C 出发的时间即可计算路程判断出 D .
V
【详解】A.设甲提速前的速度为
1
V
米/分，乙提速前的速度为
2
米/分，
由图象知，当乙到达 B 地追上甲时，有：
(14 - 2)V = (14 - 5)V ，化简得：
1 \l "bkmark3" 2
4V = 3V
1 2
,
(23 - 14)V - (23 -
2
当甲、 乙同时从 B 地出发， 甲、乙间的距离为 900 米时， 有：
(4V = 3V (V = 300
解方程组： 〈 1 2 ，得：〈 1 ，
2 1 2
lV - V = 100 lV = 400
故甲提速前的速度为 300 米/分，乙提速前的速度为 400 米/分，故选项 A 正确；
B. 由图象知，甲出发 23 分钟后，乙到达 C 地，
则 A、C 两地相距为： (23 - 5) 根 400 = 7200 （米），故选项 B 正确；
C. 由图象知，乙到达 C 地时，甲距 C 地 900 米，这时，甲提速为300 根 2 = 600
900
则甲到达 C 地还需要时间为： — = 1.5 （分钟），
600
所以，甲从 A 地到 C 地共用时为： 23 +1.5 = 24.5 （分钟），故选项 C 错误；
5
D. 由题意知，乙从 C 返回 A 时，速度为： 400 根 = 500 （米/分钟）， 4
当甲到达 C 地时，乙从 C 出发了 2.25 分钟，
此时，乙距 A 地距离为： 7200 - 500 根 2.25 = 6075 （米），故选项 D 正确.
故选： C .
【点睛】
14)V = 900
1
（米/分），
, 化简得：
V - V = 100
2 1
,
∴ BDE = = S AC 4
本题为方程与函数图象的综合应用，正确分析函数图象，明确特殊点的意义是解题的关键.
9、D
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在 0.33 左右，进而得出答案.
【详解】解： A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为 0.5，不符合这一结果，故此选项错误；
1
B、掷一个正六面体的骰子，出现 3 点朝上为- ，不符合这一结果，故此选项错误；
6
C、任意画一个三角形，其内角和是 360°的概率为： 0，不符合这一结果，故此选项错误；
1
D、从一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为： - ，符合这一结果，故此选项正确.
3
故选： D .
【点睛】
本题考查频率估算概率,关键在于通过图象得出有利信息.
10、B
1
【分析】由中位线的性质得到 DE∥AC，DE= - AC，可知△BDE∽△BCA，再根据相似三角形面积比等于相似比的 2
S 1 S
平方可得 S BDE = 4 ，从而得出 S ΔBDE 的值.
BCA 四边形 AEDC
【详解】 ∵DE 是△ABC 的中位线，
1
∴DE∥AC，DE= - AC
2
∴△BDE∽△BCA
S DE 2 1
BCA
S 1
∴ S ΔBDE = 3 四边形 AEDC
故选 B.
【点睛】
本题考查了中位线的性质， 以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
11、D
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解.
【详解】由题意，得
平移后的抛物线为 y = (x + 2)2 +1- 3 = (x + 2)2 - 2
故选： D.
【点睛】
此题主要考查抛物线的平移规律，熟练掌握，即可解题.
12、C
【分析】根据求出 m 的值，再把求得的 m 的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.
【详解】解：∵△ =b2﹣4ac=0，
∴4﹣4m=0，
解得： m=1，
∴原方程可化为： x2+2x+1=0，
∴（x+1）2=0，
∴x1=x2=﹣1 .
故选 C .
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求
根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
13、
20
43
【分析】随机抽取一名学生总共有 20+23 ＝43 种情况，其中是男生的有 20 种情况．利用概率公式进行求解即可.
【详解】解： 一共有 20+23 ＝43 人,即共有 43 种情况,
20
∴抽到一名男生的概率是 —
43 .
【点睛】
本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.
5
14、 25- .
9
【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解.
1 2
【详解】解：平均数= -(17 +15 + 21 + 28 +12 +19) = 18 -
6 3
所以方差是 S2=
1 2 2 2 2 2 2
-[(17 18 )2 + (15 18 )2 + (21 18 )2 + (28 18 )2 + (12 18 )2 + (19 18 )2 ]
6 3 3 3 3 3 3
5
= 25 -
9
5
故答案为： 25 - .
9
【点睛】
本题考查方差： 一般地设 n 个数据， x1 ，x2 ，…xn 的平均数为x ，则方差
S2= EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 11(1),n)(x1 - x )2 + (x2 - x )2 +…+ (xn - x )2 ,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
15、b（a+b）（a﹣b）
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式： a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）.
【详解】解： a2b﹣b3，
=b（a2﹣b2 ）=b（a+b）（a﹣b）.
故答案为 b（a+b）（a﹣b）.
1
16、-
8
1
【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据 E 为AD 中点得出 S△ODE = 2 S△OAD，
进而求解即可.
【详解】∵ABCD 是矩形，
1
∴S△AOD=S△AOB=S△BOC=S△COD = 4 S 矩形纸板ABCD .
又∵E 为AD 中点，
1
∴S△ODE = 2 S△OAD，
1
∴S△ODE = 8 S 矩形纸板ABCD，
1
∴纸团击中阴影区域的概率是- .
8
1
故答案为： -
8 .
【点睛】
本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.
17、 y = x2 + 3 （答案不唯一）
【分析】设二次函数的表达式为 y=x2+x+c，将（0，3）代入得出 c=3，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c（a≠0），
∵图象为开口向上，且经过（0，3），
∴a＞0，c=3，
∴二次函数表达式可以为： y=x2+3（答案不唯一）.
故答案为： y=x2+3（答案不唯一）.
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，得出 c=3 是解题关键，属开放性题目，答案不唯一.
18、 (－3，4)
【详解】在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是 (－3，4).
故答案为(－3，4).
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.
三、解答题（共 78 分）
19、（1）PA 的长为 13 ，⊙O 的半径为 39 ；（2）见解析； （3）⊙O 的半径为 2 或 —47 或 7 3 5
【分析】（1）过点 A 作 BP 的垂线，作直径AM，先在 Rt△ABH 中求出 BH，AH 的长，再在 Rt△AHP 中用勾股定理
求出AP 的长，在 Rt△AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB=∠PAD ＝2∠PAE，即可推出结论；
（3）分三种情况：当 AE⊥BD 时， AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD 时，连接 OB，OE，延长 AE 交 BC 于 F，通过证△BFE∽△DAE，求出 BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB 时，过 点 D 作 BC 的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出 PE，AE 的长，再利用勾股定理求出直径 BE 的长，即可得到半径
的值.
【详解】（1）如图 1，过点 A 作 BP 的垂线，垂足为 H，作直径 AM，连接 MP，
在 RtΔ ABH 中，∠ABH＝60° ,
∴∠BAH＝30° ,
1
∴BH＝ -AB ＝2，AH＝AB•sin60° =2 3 ，
2
∴HP ＝BP﹣BH＝1，
∴在 RtΔ AHP 中，
AP ＝ AH2 + HP2 ＝ 13 ，
∵AB 是直径，
∴∠APM＝90° ,
在 RtΔ AMP 中，∠M=∠ABP ＝60° ,
13
AP 2 39
∴AM＝ ＝ 3 = ,
sin 60。 \l "bkmark4" 3
39
∴⊙O 的半径为 ，
3
39
即 PA 的长为 13 ，⊙O 的半径为 ；
3
（2）当∠APB ＝2∠PBE 时，
∵∠PBE=∠PAE，
∴∠APB ＝2∠PAE，
在平行四边形 ABCD 中， AD∥BC，
∴∠APB=∠PAD，
∴∠PAD ＝2∠PAE，
∴∠PAE=∠DAE，
∴AE 平分∠PAD；
（3）①如图 3﹣1，当 AE⊥BD 时，∠AEB ＝90° ,
∴AB 是⊙O 的直径，
1
∴r ＝-AB ＝2；
2
②如图 3﹣2，当 AE⊥AD 时，连接 OB，OE，延长 AE 交 BC 于 F，
∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，Δ BFE∽△DAE，
BF EF
∴ ─ = — ,
AD AE
在 RtΔ ABF 中，∠ABF ＝60° ,
1
∴AF＝AB•sin60° =2 3 ，BF ＝-AB ＝2，
2
2 EF
∴ - = ,
8 2 3 - EF
2 3
∴EF = ,
5
在 RtΔ BFE 中，
( 2 3)2 4 7
BE ＝ BF2 + EF2 ＝ 22 + |（ 5 )|| ＝ 5 ，
∵∠BOE ＝2∠BAE ＝60° , OB ＝OE，
∴△OBE 是等边三角形，
4 7
∴r = ;
5
③当AE⊥AB 时，∠BAE ＝90° ,
∴AE 为⊙O 的直径，
∴∠BPE ＝90° ,
如图 3﹣3，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 N，延开 PE 交AD 于点 Q，
在 RtΔ DCN 中，∠DCN＝60° , DC ＝4，
1
∴DN＝DC•sin60° =2 3 ，CN＝- CD ＝2，
2
∴PQ＝DN＝2 3 ，
设 QE＝x，则 PE ＝2 3 ﹣x，
在 RtΔ AEQ 中，∠QAE=∠BAD﹣BAE ＝30° ,
∴AE ＝2QE ＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
PE BP
∴ ─ = ─ ,
DN BN
2 3 x BP
∴ = — ,
2 3 10
5 3
∴BP ＝10﹣ ─ x，
3
在 RtΔ ABE 与 RtΔ BPE 中，
AB2+AE2 ＝BP2+PE2，
5 3
∴16+4x2 ＝（10﹣ x）2+（2 3 ﹣x）2，
3
解得， x1 ＝6 3 （舍），x2 ＝ 3 ，
∴AE ＝2 3 ，
∴BE ＝ AB2 + AE2 ＝ 42 + (2 3)2 ＝2 7 ，
∴r ＝ 7 ，
4 7
或 7 .
∴⊙O 的半径为 2 或
5
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
1
2 = .
20、（1）- ；（2） P （至少一张红色卡片）
【分析】（1）根据 A 盒中红色卡片的数量除以 A 盒中卡片总数计算即可；
（2）画出树状图得出所有可能的情况数与至少有一张红色卡片的情况数，再根据概率公式计算即可.
【详解】解： （1）从 A 盒中摸出红色卡片的概率=
（2）画出树状图如下：
1
3 ；
共有 6 种等可能的情况，其中至少有一张红色卡片的情况有 4 种，
∴ P （至少一张红色卡片）
4 2
= = -
.
6 3
【点睛】
本题考查的是求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键.
21、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元；（3）将足球
纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元.
【分析】（1）售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少 10（x﹣44）
本，所以 y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%确定 x 的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）(﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用 x 的范围确定销
售单价；
（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到 w=（x﹣40）(﹣10x+740），再把它变形为顶点式， 然后利用二次函
数的性质得到 x=52 时 w 最大，从而计算出 x=52 时对应的 w 的值即可.
【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），
即 y=﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）(﹣10x+740）=2400，
解得 x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元；
（3）w=（x﹣40）(﹣10x+740）
=﹣10x2+1140x﹣29600
=﹣10（x﹣57）2+2890，
当 x＜57 时， w 随 x 的增大而增大，
而 44≤x≤52，
所以当 x=52 时， w 有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用， 一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的
解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时， 一定要注意自变量 x 的取值范围.
22、BF2=FG·EF.
【解析】由题意根据 BE∥AC，可得∠1=∠E，然后有∠1=∠2，可得∠2=∠E，又由∠GFB=∠BFE，可得出
△BFG∽△EFB，最后可得出 BF2=FG•FE .
【详解】解： BF2=FG·EF.
证明：∵ BE∥AC，
∴∠1=∠E.
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E.
又∵∠BFG=∠EFB，
∴△BFG∽△EFB.
∴ BF = FG ， EF BF
∴BF2=FG·EF.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据 BE∥AC，得出∠1=∠E，进而判定△BFG∽△EFB .
1
23、（1）2、45、20；（2）72；（3）-
6
【解析】分析：（1）根据 A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 D 等次百分比可得 a 的值，再用 B、C 等
次人数除以总人数可得 b、c 的值；
（2）用 360°乘以 C 等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案.
详解：（1）本次调查的总人数为 12÷30%=40 人，
18 8
∴a=40×5%=2，b= - ×100=45，c= - ×100=20，
40 40
（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 360°×20%=72° ,
（3）画树状图， 如图所示：
共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，
2 1
故 P（选中的两名同学恰好是甲、乙） = -=- .
12 6
点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握.
1
24、（1）见解析； （2）-
3
【分析】 (1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；
12
(2)由(1)中的列表求得点(x ，y)落在反比例函数 y= 的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案.
x
【详解】 (1)列表如下
2
3
4
6
2
(3，2)
(4，2)
(6，2)
3
(2，3)
(4，3)
(6，4)
4
(2，4)
(3，4)
(6，4)
6
(2，6)
(3，6)
(4，6)
则共有 12 种可能的结果；
12
(2)各取一个小球所确定的点(x，y)落在反比例函数 y= 的图象上的有(6，2)， (4 ，3)，
x
(3，4)， (2，6)四种情况，
12 4 1
∴点(x，y)落在反比例函数 y= — 的图象上的概率为- =- .
x 12 3
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率， 反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况
数之比.
25、（1） (k , k 2 k + 1) ；（2） k <1 ；（3） k = 3 或k = 2
【分析】（1）先求出顶点横坐标，然后代入解析式求出顶点纵坐标即可；
（2）根据二次函数的增减性列式解答即可；
（3）分三种情况求解： ①当 k＞1 时，当 k＜0 时，当0 < k <1 时.
2k
【详解】解： （1）对称轴为： x = 一 = k ，
2 x (一1)
代入函数得： y = 一k 2 + 2k2 +1 一 k = k2 一 k +1，
∴顶点坐标为： (k , k 2 一 k +1) ；
（2）∵对称轴为： x=k，二次函数二次项系数小于零，开口向下；
∴当 时， y 随 x 增大而减小；
∵当x 之 1 时， y 随 x 增大而减小；
∴ k <1
（3）①当 k＞1 时，在0 < x <1 中， y 随 x 增大而增大；
∴当 x=1 时， y 取最大值，最大值为： y = 一1 + 2k +1 一 k = k ；
∴ k=3；
②当 k＜0 时，在0 < x <1 中， y 随 x 增大而减小；
∴当 x=0 时， y 取最大值，最大值为： y =1一 k ；
∴ 1一 k = 3 ；∴k = 一2 ；
③当0 < k <1 时，在0 < x <1 中， y 随 x 先增大再减小；
∴当 x=k 时， y 取最大值，最大值为： y = k2 一 k + 1；
∴ k2 一 k +1 = 3 ；解得： k=2 或 -1，均不满足范围，舍去；
综上所述： k 的值为-2 或 3.
【点睛】
本题考察了二次函数的图像和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数， a≠0），当 a>0 时，开口向上，在对 称轴的左侧y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧y 随 x 的增大而增大；当 a<0 时，开口向下，在对称轴的左侧y 随 x
的增大而增大，在对称轴的右侧y 随 x 的增大而减小.
26、（1）没有关系，∠CDF=∠CAB=60°; （2） 3 10 ；（3） 6 + 2 或 6 一 2
10
【解析】（1）①根据同弧所对的圆周角解答即可；②利用锐角三角函数的定义求出 AC 与 BC、DF 与 CF 的关系，利
S CF 2 9
用三角形的面积公式得出
-4CDF = = - S BC2 10
,然后根据正弦的定义可求出经CBF 的正弦值；
ABC
（2）分两种情况求解：①当 D 点在直径AB 下方的圆弧上时；当 D 点在直径 AB 上方的圆弧上时.
【详解】解： （1）①没有关系，理由如下：
当 D 在直径 AB 的上方时，如下图，
∵AB 为直径，∴∠ACB=90°;
1 3BC2
1 3CF2
BC 3BC CF 3CF
∵∠ABC=30°,∴∠CAB=60°;
∴∠CDF= ∠CAB=60°;
当 D 在直径 AB 的下方时，如下图
∵∠CAB=60° ,
∴∠CDB=180°- ∠CAB=120°,
∴∠CDF=60°.
②∵CF⊥BD，AB 为直径；∴ ∠ACB= ∠CFD=90°;
由①得，∠CDF= ∠CAB=60° ,
tan60 3 tan60 3
∴ AC = - = ； DF = = ；
∵ SA
ABC
= AC . BC = ；
2 \l "bkmark5" 6
S
CDF
= CF . DF = ；
2 \l "bkmark5" 6
S CF 2 9
∴ -4CDF = ─ = - S BC2 10
ABC
;∴ sin CBF =
CF 3 10
=
BC 10
（2）∵半径为 2， CD = 2 2 ，
∴弧 CD 所对圆心角 COD = 90。
①当 D 点在直径 AB 下方的圆弧上时；
如图，连结 OD，过 D 作DE⊥AB 于 E；
由（1）知， 经CAB = 60 ，∴ 经AOC = 60 ；
∴ 经BOD = 180 - 60 - 90 = 30 ；
OD=2，∴ OE = 3 ，DE = 1 ，BE = 2 - 3 ；
∴ BD = BE 2 + DE2 = 12 + (2 - 3 )2 = 8 - 4 3 = 6 - 2 ；
②当 D 点在直径 AB 上方的圆弧上时，
如图，连结 OD，过 D 作DF⊥AB 于 F；
此时 经DOA = 90 - 60 = 30 ；
∴ OE = 3 ，DE = 1 ， BF = 2 + 3 ；
∴ BD = BF 2 + DF2 = 12 + (2 + 3 )2 = 8 + 4 3 = 6 + 2 ；
综上所述： BD 的长为 6 - 2 或 6 + 2 .
【点睛】
本题考查了圆周角定理的推论，锐角三角函数的定义，勾股定理及其逆定理的应用，以及分类讨论的数学思想，分类
讨论是解答本题的关键.