2022-2023 学年广西南宁市九上数学期末试卷（解析版）

这是一份2022-2023 学年广西南宁市九上数学期末试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了小明沿着坡度为 1等内容，欢迎下载使用。

2022-2023 学年广西南宁市九上数学期末试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0．5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4．作答选择题，必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他
答案．作答非选择题，必须用 05 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题（每题 4 分，共 48 分）
1．如图，等腰直角三角形 ABC 位于第一象限， AB = AC = 2 ，直角顶点 A 在直线y = x 上，其中点 A 的横坐标为1，
k
且两条直角边 AB ， AC 分别平行于x 轴、 y 轴，若反比例函数 y =
的图象与△ABC 有交点， 则 k 的取值范围是
( ) .
A ． 1 < k < 2 B ．1 < k < 3 C ．1 < k < 4 D ．1 < k < 4
2．二次函数 y = ax2 + bx + c(a 子 0) 的图象如图所示，其对称轴为x =1 ，有下列结论：①abc < 0 ；②b < a + c ；
③ 4a + 2b + c < 0 ；④对任意的实数m ，都有a + b 之 m(am + b) ，其中正确的是( )
A . ①② B . ①④ C . ②③ D . ②④
3．下列式子中， 为最简二次根式的是( )
1
A ． B ． 2 C ． 4 D ． 12
2
4．若关于的一元二次方程kx2 + 2x — 1 = 0 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )
A ． k > — 1 B ． k > — 1 且k ≠ 0 C ． k a + c ，②错误
由对称性可知， x = 2 和 x = 0 的函数值相等
则 x = 2 时， y > 0 ，即4a + 2b + c > 0 ，③错误
a + b 之 m(am + b) 可化为 am2 + bm 一 a 一 b < 0
关于 m 的一元二次方程 am2 + bm 一 a 一 b = 0 的根的判别式 Δ = b2 + 4a(a + b) = (2a + b)2 = 0
则二次函数y = am2 + bm 一 a 一 b 的图象特征：抛物线的开口向下，与 x 轴只有一个交点
因此， y < 0 ，即 am2 + bm 一 a 一 b < 0 ，从而④正确
综上，正确的是①④
故选： B .
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与 x 轴、 y 轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数
的图象与性质是解题关键.
3、B
【分析】利用最简二次根式定义判断即可.
2
【详解】A、原式 = ，不符合题意；
2
B、是最简二次根式，符合题意；
C、原式 = 2 ，不符合题意；
D、原式 = 2 3 ，不符合题意；
故选 B .
【点睛】
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式是解本题的关键.
4、B
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式列出不等式求解即可.
【详解】由题意得： k ≠ 0, Δ = b2 一 4ac = 4 + 4k > 0
解得： k > 一1 且k ≠0
故选： B .
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式ax2 + bx + c = 0(a 子 0) 有：（1）
当 Δ = b2 一 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当 Δ = b2 一 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； （3）当
Δ = b2 一 4ac < 0 时，方程没有实数根.
5、B
【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形的性质求解.
【详解】∵在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、
圆、矩形、正六边形，共 4 个.
故答案为： B.
【点睛】
本题考查的知识点是中心对称图形与轴对称图形的概念，解题关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对
称图形是要寻找对称中心，图形旋转 180°后原图形重合.
6、B
【详解】解：由题意得： BC：AB=1：2，设 BC=x，AB=2x，
则AC= AB2 + BC2 = x2 +（2x）2 = 5 x=10，
解得： x=2 5 .
故选 B .
7、B
【分析】将抛物线 y=﹣（x+m ）2+5 向右平移 3 个单位后得到 y=﹣（x+m﹣3）2+5，然后联立组成方程组求解即可.
【详解】解：将抛物线 y=﹣（x+m ）2+5 向右平移 3 个单位后得到 y=﹣（x+m﹣3）2+5，
y = 一(x + m)2 + 5
根据题意得： { ，
y = 一(x + m 一 3)2 + 5
3
x = - m
2
解得： { ，
11
y = -
4
∴交点 C 的坐标为(
故选： B .
3
-2 - m
11
, ),
4
【点睛】
考查了抛物线与坐标轴的交点坐标等知识，解题的关键是了解抛物线平移规律，并利用平移规律确定平移后的函数的
解析式.
8、C
【分析】设出甲、乙提速前的速度，根据“乙到达B地追上甲”和“甲、乙同时从B出发，到相距 900 米”建立二元一次 方程组求出速度即可判断 A，然后根据乙到达 C 的时间求 A、C 之间的距离可判断 B，根据乙到达 C 时甲距 C 的距离
及此时速度可计算时间判断 C，根据乙从 C 返回 A 时的速度和甲到达 C 时乙从 C 出发的时间即可计算路程判断出 D .
V
【详解】A.设甲提速前的速度为
1
V
米/分，乙提速前的速度为
2
米/分，
由图象知，当乙到达 B 地追上甲时，有：
(14 - 2)V = (14 - 5)V ，化简得：
1 \l "bkmark3" 2
4V = 3V
1 2
,
(23 - 14)V - (23 -
2
当甲、 乙同时从 B 地出发， 甲、乙间的距离为 900 米时， 有：
(4V = 3V (V = 300
解方程组： 〈 1 2 ，得：〈 1 ，
2 1 2
lV - V = 100 lV = 400
故甲提速前的速度为 300 米/分，乙提速前的速度为 400 米/分，故选项 A 正确；
B. 由图象知，甲出发 23 分钟后，乙到达 C 地，
则 A、C 两地相距为： (23 - 5) 根 400 = 7200 （米），故选项 B 正确；
C. 由图象知，乙到达 C 地时，甲距 C 地 900 米，这时，甲提速为300 根 2 = 600
900
则甲到达 C 地还需要时间为： — = 1.5 （分钟），
600
所以，甲从 A 地到 C 地共用时为： 23 +1.5 = 24.5 （分钟），故选项 C 错误；
5
D. 由题意知，乙从 C 返回 A 时，速度为： 400 根 = 500 （米/分钟）， 4
当甲到达 C 地时，乙从 C 出发了 2.25 分钟，
此时，乙距 A 地距离为： 7200 - 500 根 2.25 = 6075 （米），故选项 D 正确.
故选： C .
【点睛】
14)V = 900
1
（米/分），
, 化简得：
V - V = 100
2 1
,
∴ BDE = = S AC 4
本题为方程与函数图象的综合应用，正确分析函数图象，明确特殊点的意义是解题的关键.
9、D
【分析】利用折线统计图可得出试验的频率在 0.33 左右，进而得出答案.
【详解】解： A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为 0.5，不符合这一结果，故此选项错误；
1
B、掷一个正六面体的骰子，出现 3 点朝上为- ，不符合这一结果，故此选项错误；
6
C、任意画一个三角形，其内角和是 360°的概率为： 0，不符合这一结果，故此选项错误；
1
D、从一个装有 2 个红球 1 个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为： - ，符合这一结果，故此选项正确.
3
故选： D .
【点睛】
本题考查频率估算概率,关键在于通过图象得出有利信息.
10、B
1
【分析】由中位线的性质得到 DE∥AC，DE= - AC，可知△BDE∽△BCA，再根据相似三角形面积比等于相似比的 2
S 1 S
平方可得 S BDE = 4 ，从而得出 S ΔBDE 的值.
BCA 四边形 AEDC
【详解】 ∵DE 是△ABC 的中位线，
1
∴DE∥AC，DE= - AC
2
∴△BDE∽△BCA
S DE 2 1
BCA
S 1
∴ S ΔBDE = 3 四边形 AEDC
故选 B.
【点睛】
本题考查了中位线的性质， 以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.
11、D
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解.
【详解】由题意，得
平移后的抛物线为 y = (x + 2)2 +1- 3 = (x + 2)2 - 2
故选： D.
【点睛】
此题主要考查抛物线的平移规律，熟练掌握，即可解题.
12、C
【分析】根据求出 m 的值，再把求得的 m 的值代回原方程，然后解一元二次方程即可求出方程的两个根.
【详解】解：∵△ =b2﹣4ac=0，
∴4﹣4m=0，
解得： m=1，
∴原方程可化为： x2+2x+1=0，
∴（x+1）2=0，
∴x1=x2=﹣1 .
故选 C .
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求
根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
二、填空题（每题 4 分，共 24 分）
13、
20
43
【分析】随机抽取一名学生总共有 20+23 ＝43 种情况，其中是男生的有 20 种情况．利用概率公式进行求解即可.
【详解】解： 一共有 20+23 ＝43 人,即共有 43 种情况,
20
∴抽到一名男生的概率是 —
43 .
【点睛】
本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.
5
14、 25- .
9
【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解.
1 2
【详解】解：平均数= -(17 +15 + 21 + 28 +12 +19) = 18 -
6 3
所以方差是 S2=
1 2 2 2 2 2 2
-[(17 18 )2 + (15 18 )2 + (21 18 )2 + (28 18 )2 + (12 18 )2 + (19 18 )2 ]
6 3 3 3 3 3 3
5
= 25 -
9
5
故答案为： 25 - .
9
【点睛】
本题考查方差： 一般地设 n 个数据， x1 ，x2 ，…xn 的平均数为x ，则方差
S2= EQ \* jc3 \* hps35 \\al(\s\up 11(1),n)(x1 - x )2 + (x2 - x )2 +…+ (xn - x )2 ,它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立.
15、b（a+b）（a﹣b）
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次因式分解．平方差公式： a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）.
【详解】解： a2b﹣b3，
=b（a2﹣b2 ）=b（a+b）（a﹣b）.
故答案为 b（a+b）（a﹣b）.
1
16、-
8
1
【分析】先根据矩形的性质求出矩形对角线所分的四个三角形面积相等，再根据 E 为AD 中点得出 S△ODE = 2 S△OAD，
进而求解即可.
【详解】∵ABCD 是矩形，
1
∴S△AOD=S△AOB=S△BOC=S△COD = 4 S 矩形纸板ABCD .
又∵E 为AD 中点，
1
∴S△ODE = 2 S△OAD，
1
∴S△ODE = 8 S 矩形纸板ABCD，
1
∴纸团击中阴影区域的概率是- .
8
1
故答案为： -
8 .
【点睛】
本题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比.
17、 y = x2 + 3 （答案不唯一）
【分析】设二次函数的表达式为 y=x2+x+c，将（0，3）代入得出 c=3，即可得出二次函数表达式.
【详解】解：设二次函数的表达式为 y=ax2+bx+c（a≠0），
∵图象为开口向上，且经过（0，3），
∴a＞0，c=3，
∴二次函数表达式可以为： y=x2+3（答案不唯一）.
故答案为： y=x2+3（答案不唯一）.
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，得出 c=3 是解题关键，属开放性题目，答案不唯一.
18、 (－3，4)
【详解】在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是 (－3，4).
故答案为(－3，4).
【点睛】
本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.
三、解答题（共 78 分）
19、（1）PA 的长为 13 ，⊙O 的半径为 39 ；（2）见解析； （3）⊙O 的半径为 2 或 —47 或 7 3 5
【分析】（1）过点 A 作 BP 的垂线，作直径AM，先在 Rt△ABH 中求出 BH，AH 的长，再在 Rt△AHP 中用勾股定理
求出AP 的长，在 Rt△AMP 中通过锐角三角函数求出直径AM 的长，即求出半径的值；
（2）证∠APB=∠PAD ＝2∠PAE，即可推出结论；
（3）分三种情况：当 AE⊥BD 时， AB 是⊙O 的直径，可直接求出半径；当AE⊥AD 时，连接 OB，OE，延长 AE 交 BC 于 F，通过证△BFE∽△DAE，求出 BE 的长，再证△OBE 是等边三角形，即得到半径的值；当AE⊥AB 时，过 点 D 作 BC 的垂线，通过证△BPE∽△BND，求出 PE，AE 的长，再利用勾股定理求出直径 BE 的长，即可得到半径
的值.
【详解】（1）如图 1，过点 A 作 BP 的垂线，垂足为 H，作直径 AM，连接 MP，
在 RtΔ ABH 中，∠ABH＝60° ,
∴∠BAH＝30° ,
1
∴BH＝ -AB ＝2，AH＝AB•sin60° =2 3 ，
2
∴HP ＝BP﹣BH＝1，
∴在 RtΔ AHP 中，
AP ＝ AH2 + HP2 ＝ 13 ，
∵AB 是直径，
∴∠APM＝90° ,
在 RtΔ AMP 中，∠M=∠ABP ＝60° ,
13
AP 2 39
∴AM＝ ＝ 3 = ,
sin 60。 \l "bkmark4" 3
39
∴⊙O 的半径为 ，
3
39
即 PA 的长为 13 ，⊙O 的半径为 ；
3
（2）当∠APB ＝2∠PBE 时，
∵∠PBE=∠PAE，
∴∠APB ＝2∠PAE，
在平行四边形 ABCD 中， AD∥BC，
∴∠APB=∠PAD，
∴∠PAD ＝2∠PAE，
∴∠PAE=∠DAE，
∴AE 平分∠PAD；
（3）①如图 3﹣1，当 AE⊥BD 时，∠AEB ＝90° ,
∴AB 是⊙O 的直径，
1
∴r ＝-AB ＝2；
2
②如图 3﹣2，当 AE⊥AD 时，连接 OB，OE，延长 AE 交 BC 于 F，
∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，Δ BFE∽△DAE，
BF EF
∴ ─ = — ,
AD AE
在 RtΔ ABF 中，∠ABF ＝60° ,
1
∴AF＝AB•sin60° =2 3 ，BF ＝-AB ＝2，
2
2 EF
∴ - = ,
8 2 3 - EF
2 3
∴EF = ,
5
在 RtΔ BFE 中，
( 2 3)2 4 7
BE ＝ BF2 + EF2 ＝ 22 + |（ 5 )|| ＝ 5 ，
∵∠BOE ＝2∠BAE ＝60° , OB ＝OE，
∴△OBE 是等边三角形，
4 7
∴r = ;
5
③当AE⊥AB 时，∠BAE ＝90° ,
∴AE 为⊙O 的直径，
∴∠BPE ＝90° ,
如图 3﹣3，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 N，延开 PE 交AD 于点 Q，
在 RtΔ DCN 中，∠DCN＝60° , DC ＝4，
1
∴DN＝DC•sin60° =2 3 ，CN＝- CD ＝2，
2
∴PQ＝DN＝2 3 ，
设 QE＝x，则 PE ＝2 3 ﹣x，
在 RtΔ AEQ 中，∠QAE=∠BAD﹣BAE ＝30° ,
∴AE ＝2QE ＝2x，
∵PE∥DN，
∴△BPE∽△BND，
PE BP
∴ ─ = ─ ,
DN BN
2 3 x BP
∴ = — ,
2 3 10
5 3
∴BP ＝10﹣ ─ x，
3
在 RtΔ ABE 与 RtΔ BPE 中，
AB2+AE2 ＝BP2+PE2，
5 3
∴16+4x2 ＝（10﹣ x）2+（2 3 ﹣x）2，
3
解得， x1 ＝6 3 （舍），x2 ＝ 3 ，
∴AE ＝2 3 ，
∴BE ＝ AB2 + AE2 ＝ 42 + (2 3)2 ＝2 7 ，
∴r ＝ 7 ，
4 7
或 7 .
∴⊙O 的半径为 2 或
5
【点睛】
此题主要考查圆与几何综合，解题的关键是熟知圆的基本性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.
1
2 = .
20、（1）- ；（2） P （至少一张红色卡片）
【分析】（1）根据 A 盒中红色卡片的数量除以 A 盒中卡片总数计算即可；
（2）画出树状图得出所有可能的情况数与至少有一张红色卡片的情况数，再根据概率公式计算即可.
【详解】解： （1）从 A 盒中摸出红色卡片的概率=
（2）画出树状图如下：
1
3 ；
共有 6 种等可能的情况，其中至少有一张红色卡片的情况有 4 种，
∴ P （至少一张红色卡片）
4 2
= = -
.
6 3
【点睛】
本题考查的是求两次事件的概率，属于常考题型，熟练掌握画树状图或列表的方法是解题的关键.
21、（1）y=﹣10x+740（44≤x≤52）；（2）当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元；（3）将足球
纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元.
【分析】（1）售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，则售单价每上涨（x﹣44）元，每天销售量减少 10（x﹣44）
本，所以 y=300﹣10（x﹣44），然后利用销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%确定 x 的范围；
（2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x﹣40）(﹣10x+740）=2400，然后解方程后利用 x 的范围确定销
售单价；
（3）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到 w=（x﹣40）(﹣10x+740），再把它变形为顶点式， 然后利用二次函
数的性质得到 x=52 时 w 最大，从而计算出 x=52 时对应的 w 的值即可.
【详解】（1）y=300﹣10（x﹣44），
即 y=﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得（x﹣40）(﹣10x+740）=2400，
解得 x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元；
（3）w=（x﹣40）(﹣10x+740）
=﹣10x2+1140x﹣29600
=﹣10（x﹣57）2+2890，
当 x＜57 时， w 随 x 的增大而增大，
而 44≤x≤52，
所以当 x=52 时， w 有最大值，最大值为﹣10（52﹣57）2+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元.
【点睛】
本题考查了二次函数的应用， 一元二次方程的应用，解决二次函数应用类问题时关键是通过题意，确定出二次函数的
解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时， 一定要注意自变量 x 的取值范围.
22、BF2=FG·EF.
【解析】由题意根据 BE∥AC，可得∠1=∠E，然后有∠1=∠2，可得∠2=∠E，又由∠GFB=∠BFE，可得出
△BFG∽△EFB，最后可得出 BF2=FG•FE .
【详解】解： BF2=FG·EF.
证明：∵ BE∥AC，
∴∠1=∠E.
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠E.
又∵∠BFG=∠EFB，
∴△BFG∽△EFB.
∴ BF = FG ， EF BF
∴BF2=FG·EF.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据 BE∥AC，得出∠1=∠E，进而判定△BFG∽△EFB .
1
23、（1）2、45、20；（2）72；（3）-
6
【解析】分析：（1）根据 A 等次人数及其百分比求得总人数，总人数乘以 D 等次百分比可得 a 的值，再用 B、C 等
次人数除以总人数可得 b、c 的值；
（2）用 360°乘以 C 等次百分比可得；
（3）画出树状图，由概率公式即可得出答案.
详解：（1）本次调查的总人数为 12÷30%=40 人，
18 8
∴a=40×5%=2，b= - ×100=45，c= - ×100=20，
40 40
（2）扇形统计图中表示 C 等次的扇形所对的圆心角的度数为 360°×20%=72° ,
（3）画树状图， 如图所示：
共有 12 个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、乙的结果有 2 个，
2 1
故 P（选中的两名同学恰好是甲、乙） = -=- .
12 6
点睛：此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握.
1
24、（1）见解析； （2）-
3
【分析】 (1)首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果；
12
(2)由(1)中的列表求得点(x ，y)落在反比例函数 y= 的图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案.
x
【详解】 (1)列表如下
2
3
4
6
2
(3，2)
(4，2)
(6，2)
3
(2，3)
(4，3)
(6，4)
4
(2，4)
(3，4)
(6，4)
6
(2，6)
(3，6)
(4，6)
则共有 12 种可能的结果；
12
(2)各取一个小球所确定的点(x，y)落在反比例函数 y= 的图象上的有(6，2)， (4 ，3)，
x
(3，4)， (2，6)四种情况，
12 4 1
∴点(x，y)落在反比例函数 y= — 的图象上的概率为- =- .
x 12 3
【点睛】
本题考查了列表法或树状图法求概率， 反比例函数图象上点的坐标特征．用到的知识点为： 概率=所求情况数与总情况
数之比.
25、（1） (k , k 2 k + 1) ；（2） k