广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

广西壮族自治区南宁市青秀区三美学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．神奇的自然界处处蕴含着数学知识．动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的（    ）

A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．黄金分割
2．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．卢塞尔体育场是卡塔尔世界杯的主体育场，由中国建造，是卡塔尔规模最大的体育场．世界杯之后，将有约170000个座位将捐赠给需要体育基础设施的国家，其中大部分来自世界杯决赛场地卢塞尔体育场，170000这个数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．圆圆想了解某地某天的天气情况，在某气象网站查询到该地这天的最低气温为－6℃，最高气温为2℃，则该地这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（    ）

A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃
5．不等式组的解集里（    ）
A． B．
C．或 D．
6．如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ）

A． B． C． D．
7．化简的结果是（    ）
A．1 B． C． D．
8．如图，将矩形纸条折叠，折痕为，折叠后点，分别落在点，处，与交于点，已知，则的度数是（　　）

A．77° B．64° C．26° D．87°
9．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走步，走路慢的人只走步．若走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走步才能追上，根据题意可列出的方程是（    ）
A． B．
C． D．
10．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．
11．如图，在Rt△ABC中，，，点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点，点B是的中点，则∠ABE的度数是（      ）

A． B． C． D．
12．有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
13．计算：________．
14．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，当时，该物体承受的压强p的值为_________ Pa．

15．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．

16．已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 _____．
17．在直角坐标系中，点A1从原点出发，沿如图所示的方向运动，到达位置的坐标依次为：A2（1，0），A3（1，1），A4（﹣1，1），A5（﹣1，﹣1），A6（2，﹣1），A7（2，2），…．若到达终点An（506，﹣505），则n的值为 _______．

18．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且，连接EF交边AD于点G．过点A作，垂足为点M，交边CD于点N．若，，则线段AN的长为_________


三、解答题
19．计算：．
20．解方程：．
21．如图，线段AC是矩形ABCD的对角线，

（1）请你作出线段AC的垂直平分线，交AC于点O，交AB于点E，交DC于点F（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：AE=AF．
22．公司生产、两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的、型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：），并进行整理、描述和分析（除尘量用表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10台型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的、型扫地机器人除尘量统计表
型号
平均数
中位数
众数
方差
“优秀”等级所占百分比

90
89

26.6


90

90
30



根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：_________，_________，_________；
(2)这个月公司可生产型扫地机器人共3000台，估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数；
(3)根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
23．随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．

24．教材呈现
以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容．
如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．

概念理解
(1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：______；
(2)如图1，在中，，垂足为，与关于所在的直线对称，与关于所在的直线对称，延长，相交于点．请写出图中的“筝形”： ______；（写出一个即可）
应用拓展
(3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接．
①求证：；
②求证：．
25．北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为米，以起跳点正下方跳台底端为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点的坐标为，着陆坡顶端与落地点的距离为米，若斜坡的坡度（即．求：

(1)点的坐标；
(2)该抛物线的函数表达式；
(3)起跳点与着陆坡顶端之间的水平距离的长．（精确到米）（参考数据：）
26．如图，在矩形中，，点是边上一动点（点不与，重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点．

(1)【尝试初探】在点的运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由．
(2)【深入探究】若，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当是线段中点时，求的值．
(3)【拓展延伸】连接，，当是以为腰的等腰三角形时，求的值（用含的代数式表示）．

参考答案：
1．D
【分析】根据黄金分割的定义即可求解．
【详解】解：动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其每圈螺纹的直径与相邻螺纹直径的比约为0.618．这体现了数学中的黄金分割．
故选：D
【点睛】本题考查了黄金分割的定义，黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约等于0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．熟知黄金分割的定义是解题关键．
2．B
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键．
4．D
【分析】这天的温差就是最高气温减去最低气温的差，由此列式得出答案即可．
【详解】解：这天最高温度与最低温度的温差为2-（-6）=8．
故选：D．
【点睛】本题主要考查有理数的减法法则，关键是根据减去一个数等于加上这个数的相反数解答．
5．A
【分析】分别解出不等式的值，在根据“同大取大，同小取小，小大大小取中间，大大小小无解”即可求解．
【详解】解：由得，；由得，，
∴原不等式组的解集为：，
故选：．
【点睛】本题主要考查求不等式组的解集，掌握解不等式组的方法，取值的方法，不等式的性质是解题的关键．
6．B
【分析】根据三角形全等的判定做出选择即可．
【详解】A、，不能判断，选项不符合题意；
B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意；
C、，不能判断，选项不符合题意；
D、，不能判断，选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，根据SSS、SAS、ASA、AAS判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．
7．B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：

．
故选：B
【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
8．A
【分析】依据平行线的性质，即可得到的度数，再根据折叠的性质，即可得出的度数．
【详解】解：矩形纸条中，，
，
，
由折叠可得，，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记性质并灵活运用，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
9．B
【分析】相同时间内，走路快的人走步，走路慢的人只走步，可求出各自的速度，由此即可求解．
【详解】解：相同时间内，走路快的人走步，走路慢的人只走步，设时间为，
∴走路快的人的速度是，走路慢的人的速度是，
∵走路慢的人先走步，走路块的人开始追，
∴走路快的人走的步数是走路慢的人先走步加上后面追的步数，
设时追到，
∴，
∵设走路快的人要走步才能追上，即，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查运用方程思想解路程的追击问题，理解题目的数量关系列方程是解题的关键．
10．C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）


由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
11．A
【分析】根据点B是的中点，可得∠BDC=∠BCD=45°，再根据圆周角定理可得∠BEC=45°，然后根据三角形外角性质，即可求解．
【详解】∵点B是的中点，
∴，
∴∠BDC=∠BCD，
∵∠ABC=90°，
∴∠BDC=∠BCD=45°，
∵∠BEC=∠BDC，
∴∠BEC=45°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE，∠A=32°，
∴∠ABE=∠BEC-∠A=13°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键．
12．C
【分析】根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠DAC=30°，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为120°，再根据锐角三角函数求出△ODF的底和高，最后根据S阴影部分=S扇形ODFS△ODF进行计算即可．
【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，作OM⊥AD于点M，

∵AD=4，CD=2，
∴∠DAC=30°，
∵OD∥BC，OD=OF=2，
∴∠ODF=∠OFD=∠DAC=30°，
∴∠DOF=180°-30°-30°=120°，
在Rt△DOM中，
OM=OD•sin30°=2×=1，
DM=OD•cos30°=2×=，
∴DF=2DM=2，
∴S阴影部分=S扇形ODF-S△ODF
=，
故选：C．
【点睛】本题考查折叠，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
13．
【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行计算．
【详解】解：原式．
故答案是：．
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则．
14．400
【分析】先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把S=0.25代入，问题得解．
【详解】解：设反比例函数的解析式为，
由图象得反比例函数经过点（0.1,1000），
∴，
∴反比例函数的解析式为，
当S=0.25时，．
故答案为：400
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．
15．32
【分析】设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
16．1
【分析】把代入ax+by＝3可得，而2a+4b﹣5，再整体代入求值即可．
【详解】解：把代入ax+by＝3可得：
，
2a+4b﹣5

．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．
17．2022
【分析】终点在第四象限，寻找序号与坐标之间的关系可求n的值．
【详解】解：∵是第四象限的点，
∴落在第四象限．
∴在第四象限的点为
∵
∴
故答案为：2022
【点睛】本题考查了点坐标的位置及坐标变化规律的知识点，善于观察并寻找题目中蕴含的规律是解题的关键．
18．
【分析】连接AE、AF、EN，首先可证得，AE=AF，可证得垂直平分EF，可得EN=FN，再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得AN的长．
【详解】解：如图：连接AE、AF、EN，

四边形ABCD是正方形
设AB=BC=CD=AD=a，，
在与中，

，
，
是等腰三角形，
又，
垂直平分EF，
，
又，
，
在中，，
，
解得a=20，
，，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，证得垂直平分EF是解决本题的关键．
19．6
【分析】根据有理数的乘方，绝对值的意义，二次根式的乘法，零指数幂分别计算，再进行有理数的加减混合运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】此题考查了实数的混合运算，根据有理数的乘方，绝对值的意义，二次根式的乘法，零指数幂，计算出各个项的值是本题的关键．
20．，
【分析】根据十字相乘法可以将方程转化为：，进而得到方程的解．
【详解】解：
左边分解因式可得：
解得：，
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练运用因式分解化简一元二次方程是解题的关键．
21．（1）作图见解析；（2）证明见解析．
【详解】试题分析：（1）分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，然后连接即可；
（2）首先证得△COF≌△AOE，然后由线段垂直平分线的性质，证得AF=CF，即可证得结论．
试题解析：（1）解：如图：分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径画弧，然后连接即可；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
在△OCF和△OAE中，
，
∴△COF≌△AOE（ASA），
∴AE=CF，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AF=CF，
∴AE=AF．
考点：1．矩形的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．作图—基本作图．
22．(1)95；90；20
(2)900台
(3)型号更好，在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90

【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出a，b，根据型扫地机器人中“优秀”等级所占百分比和“良好”等级包含的数据可求出m；
（2）用总数乘以型扫地机器人“优秀”等级所占百分比即可；
（3）可从众数的角度进行分析判断．
【详解】（1）解：型中除尘量为95的有3个，数量最多，
所以众数a＝95；
B型中“良好”等级包含的数据有5个，则所占百分比为50%，
所以m%＝1－50%－30%＝20%，即m＝20；
因为B型中“合格”等级所占百分比为20%，
所以B型中“合格”的有2个，
所以B型中中位数b＝；
故答案为：95；90；20；
（2）（台），
答：估计该月型扫地机器人“优秀”等级的台数有900台；
（3）型号更好，
理由：在平均数均为90的情况下，型号的平均除尘量众数大于B型号的平均除尘量众数90．
【点睛】本题考查了众数，中位数，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图或统计表中获取有用信息是解题的关键．
23．58m
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．

又∵，
∴四边形ACHG是矩形．
∴．
由题意，得．
在中，，
∴（m）﹒
∵是的外角，
∴．
∴．
∴m．
在中，
∴(m)．
∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
24．(1)垂直平分线段；
(2)四边形（答案不唯一）
(3)①见解析；②见解析

【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论；
（2）根据“筝形”的定义判断即可；
（3）①利用同角的余角相等证明即可；
②利用相似三角形的判定和性质证明即可．
【详解】（1）解：∵，
∴垂直平分线段．
故答案为：垂直平分线段；
（2）解：由翻折变换的性质可知，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是“筝形”，
故答案为：四边形（答案不唯一）；
（3）①证明：如图1中，

由翻折变换的性质可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②证明：如图2中，

∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
25．(1)
(2)
(3)的长约为米

【分析】（1）由抛物线的图象可直接得出结论；
（2）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论；
（3）根据勾股定理可得出CE和DE的长，进而得出点D的坐标，由OC的长为点D的横坐标减去DE的长可得出结论．
【详解】（1）解：∵，且点在轴正半轴，
∴．
（2）∵抛物线最高点的坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
∵，
∴，
解得．
∴抛物线的解析式为：．
（3）在中，，，
设CE＝3x，DE＝4x，
∴，
即，
解得x＝0.5，
∴，．
点的纵坐标为，
令，
解得，或不合题意，舍去，
∴．
∴．
∴的长约为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线上点的坐标特点、解一元二次方程等相关内容，得出点D的坐标是解题关键．
26．(1)见解析
(2)或
(3)或

【分析】（1）根据题意可得∠A=∠D=∠BEG=90°，可得∠DEH=∠ABE，即可求证；
（2）根据题意可得AB=2DH，AD=2AB，AD=4DH，设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，可得DE=4x-a，再根据△ABE∽△DEH，可得或，即可求解；
（3）根据题意可得EG=nBE，然后分两种情况：当FH=BH时，当FH=BF=nBE时，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：∠A=∠D=∠BEG=90°，
∴∠AEB+∠DEH=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEH=∠ABE，
∴△ABE∽△DEH；
（2）解：根据题意得：AB=2DH，AD=2AB，
∴AD=4DH，
设DH=x，AE=a，则AB=2x，AD=4x，
∴DE=4x-a，
∵△ABE∽△DEH，
∴，
∴，解得：或，
∴或，
∴或；
（3）解：∵矩形矩形，，
∴EG=nBE，
如图，当FH=BH时，

∵∠BEH=∠FGH=90°，BE=FG，
∴Rt△BEH≌Rt△FGH，
∴EH=GH=，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
如图，当FH=BF=nBE时，

，
∴，
∵△ABE∽△DEH，
∴，即，
∴，
∴；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识是解题的关键．