湖北省武汉市硚口区2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

硚口区2023~2024学年度上学期九年级10月质量检测数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．将一元二次方程5x2－1＝4x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是（    ）

A．5、－4 B．－1、－4 C．5、－1 D．5x2、－4x

2．用配方法解方程x2－6x＋4＝0时，配方后正确的是（    ）

A．(x－3)2＝－5 B．(x－3)2＝5 C．(x＋3)2＝5 D．(x－3)2＝13

3．一元二次方程x2＝3x的解是（    ）

A．x＝0 B．x＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3

4．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91．设主干长出x个支干，则下列方程正确的是（    ）

A．(1＋x)2＝91 B．1＋x＋x2＝91 C．1＋x2＝91 D．x＋x2＝91

5．将抛物线y＝2x2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的抛物线是（    ）

A．y＝2(x＋2)2＋1 B．y＝2(x＋2)2－1 C．y＝2(x－2)2＋1 D．y＝2(x＋1)2－2

6．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O点竖直安装一根水管，在水管的顶端A处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O点的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心O点3 m，则水管OA的高是（    ）

A．2 m B．2.25 m C．2.5 m D．2.8 m

7．抛物线y＝ax2－2ax＋c（a≠0）过点(3，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的解是（    ）

A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝－3，x2＝1 C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝1，x2＝3

8．如图，在矩形场地ABCD上修建3条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．已知AB＝9 m，AD＝16 m，草坪部分的总面积为112 m2．设小路宽为x m，则x满足的方程是（    ）

A．2x2－25x＋16＝0  B．x2－25x＋32＝0

C．x2－17x＋16＝0  D．x2－17x－16＝0

9．一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别是x1、x2，则x12＋x2＝（    ）

A．1 B． C． D．3

10．已知二次函数y＝(x－x1)2＋(x－x2)2＋(x－x3)2＋……＋(x－xn)2，其中x1、x2、x3、……、xn是常数，当x＝2023时，该二次函数有最小值．若m＝x1＋x2＋x3＋……＋xn，则m与n的数量关系是（    ）

A．m＋n＝2023 B．m－n＝2023 C．mn＝2023 D．m＝2023n

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

11．若x＝2是一元二次方程x2＋mx＋8＝0的一个根，则m＝________

12．一元二次方程2x2－8＝0的解是___________________

13．向阳村2010年的人均收入为12000元，2012年的人均收入为14520元．设人均收入的年平均增长率为x，根据题意所列方程是________________________

14．一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝，则铅球推出的水平距离是________m

15．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，且a＜0）经过点(n，0)，其中－4＜n＜－3，且对称轴是直线x＝－2，下列结论：① abc＜0；② c－3a＞0；③ 当t为全体实数时，4a2－2ab≥at(at＋b)总成立；④ 若m＜x1＜x2＜m＋3，该抛物线上存在A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，满足y1＝y2，则m的取值范围是－5＜m＜－2，其中正确的有____________

16．如图，在钝角△ABC中，AB＝8，AC＝4．分别以AB、AC为直角边作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACD，连接DE，G、F分别是BC、DE的中点，连接AG、AF、FG，则S△AGF＝________

三、解答题（共8题，共72分）

17．（本题8分）解方程：x2－4x－7＝0

18．（本题8分）如图，用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长18 m，菜园的面积为100 m2，求矩形菜园AB边的长

19．（本题8分）已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2

(1) 求实数m的取值范围

(2) 是否存在实数m，使2x1x2－x1－x2＝6成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由

20．（本题8分）如图是二次函数y＝x2－2x－3的大致图象

(1) 直接写出开口方向和顶点坐标

(2) 已知A(－2，y1)、B(4，y2)、C(π，y3)三点都在该二次函数的图象上，直接写出y1、y2、y3之间的大小关系

(3) 若函数值小于0，直接写出x的取值范围

21．（本题8分）某无人飞机在一条直跑道着陆后相对于着陆点的滑行距离y（单位：m）、滑行速度v（单位：m/s）随滑行时间t（单位：s）变化的数据如下表：

已知滑行速度v与滑行时间t之间满足一次函数关系，滑行距离y与滑行时间t之间满足二次函数关系

(1) 直接写出v关于t的函数解析式和y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）

(2) ① 当该无人飞机着陆点滑行至滑行速度为20 m/s，求一共滑行了多少米？

② 在该无人飞机着陆后的滑行过程中，求小于20 m/s的速度一共滑行了多少米？

22．（本题10分）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部注满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用

(1) 若每个房间定价增加20元，直接写出该宾馆当天的利润

(2) 若该宾馆某天的利润为8510元，求房价定为多少元？

(3) 房价定为多少元时，该宾馆每天的利润最大？并求出这个最大利润是多少元？

23．（本题10分）(1) 如图1，O是正方形ABCD对角线的交点，点E在OC上（端点除外），点F在边BC的延长线上，DE＝EF，连接BE

① 求证：BE＝EF

② 探究CF与OE的数量关系

(2) 如图2，在菱形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC的延长线上，DE＝EF，连接AF．若∠ABC＝60°，AF＝7，CE＝2，则AE＝________

24．（本题12分）如图1，抛物线y＝－x2＋bx－3与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC

(1) 求抛物线的解析式

(2) 连接BC，点D在抛物线上，且点D到直线BC的距离为，直接写出点D的横坐标

(3) 如图2，向上平移直线BC交抛物线于P、Q两点，直接AQ、AP分别与y轴的负半轴交于M、N两点，求OM＋ON的值

2023－2024学年度九年级10月质量检测数学参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．A  2．B  3．C  4．B  5．A  6．B  7．A  8．C  9．D  10．D

10．解析由题意，

当时，y有最小值；

又，则m＝2023n．

二．填空题（共3小题，每小题3分，共18分）

11．－6     12．x1＝2，x2＝－2．      13．1200（1＋x）2＝14520      14．10

15．①②④（在不出现③的情形下，每对一个给1分．）

16．6．解析：如图，延长AF至H，使得HF＝FA，连接EH，延长FA交BC于I．

易证△ABC≌△EAH，可得BC＝AH，BC＝2AF，∠ABC＝∠EAH，导角可得AI⊥BC；

设AF＝BG＝GC＝a，GI＝b，由勾股定理可得：82－（a＋b）2＝42－（a－b）2，即ab＝12，

又．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．解：∵x2－4x－7＝0，∴a＝1，b＝－4，c＝－7．

∴△＝b2－4ac＝（－4）2－4×1×（－7）＝44＞0，

∴原方程有两个不相等的实数根．

，

．

18．解：设矩形菜园的边AB的长为xm，依题意，得（30－2x）x＝100

解得x1＝10，x2＝5．

∵0＜（30－2x）≤18，∴6≤x＜15，∴x＝10．

答：设矩形菜园的边AB的长为10m．

19．解：（1）∵关于x的一元二次方程（m－1）x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0且m－1≠0，∴16－4（m－1）＞0且m－1≠0，

解得m＜5且m≠1；

（2）存在，理由如下：根据根与系数的关系可知：

,

∵2x1x2＝x1＝x2＝3．，解得m＝2．

经检验m＝2是分式方程的解，∴m＝2．

20．（1）向上，（1，－4）；    （2）y1＝y2＞y3；   （3）－1＜x＜3．

21．解：（1）x＝－4t＋60，y＝－2t2＋60t．（每个解析式2分）

（2）①当x＝20时，－4t＋60＝20，解得t＝10．

∴t＝10时，y＝－2×102＋60×10＝400米，

∴该无人飞机从着陆点滑行至滑行速度为20m/s，一共滑行了400米．

②当x＝0时，－4t＋60＝0，解得t＝15．

当t＝15时，y＝－2×152＋60×15＝450米，450－400＝50米．

∴在该无人飞机着陆后的滑行过程中，小于20m/s的速度一共滑行了50米．

（也可以用最值来求解）

22．解：（1）8360元；

（2）设每个房间房价增加10x元，根据题意，得：（220＋10x－20）（40－x）＝8510，

化简，得－10（x＋20）·（x－40）＝8510解得：x1＝3，x2＝17．

答：若宾馆某一天获利8510元，则房价定为250元或390元；

（3）设每个房间房价增加10x元时，利润为w元，

则w＝（220＋10x－20）（40－x）＝－10（x＋20）·（x－40）＝－10（x－10）2＋9000．

∵－10＜0∴抛物线开口向下，∵对称轴为x＝10，

∴x＝10时，w有最大值9000．

∴房价定为320元时，利润最大，利润最大为9000元．

23．（1）解：（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝CB，∠ACB＝∠ACD＝45°，

∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE，∴BE＝DE．

（也可用AC是BD的垂直平分线解决）

②如图1，过E作GE⊥EC交CD于G；

∵AC平分∠BCD，∴∠ACB＝45°；∴△CEG是等腰直角三角形；

∴∠EGC＝∠ECG＝45°，故∠EGB＝∠ECF＝135°；

由（1）可知DE＝BE，又DE＝EF，∴BE＝EF，∠EFB＝∠EBF；

∴△ECF≌△EGB，∴BG＝CF．

过G作GH⊥BD于H；∵四边形ABCD是正方形，BD对角线，

∴AC⊥BD，∠ABC＝45°，∴∠BOC＝∠GHO＝∠GEO＝90°；

∴四边形OEGH是矩形，即HG＝OE；

又∵△BHG是等腰直角三角形，

，从而

         图1                         图2

另解：如图2，过F作FH⊥EC于H，可得△CHF为等腰直角三角形，由

∠CDE＝∠CBE＝∠EFB，可得∠DEF＝90°，再证△DOE≌△EHF得OE＝FH．从而．

（3）3

（其它方法，酌情给分）

提示：解法1如图3，连接BE，过E作，过A作AM⊥BC于M；可得AE＝BN易证△ECF≌△ENB，

从而CF＝BN＝AE；设AE＝CF＝x，AB＝x＋2，BF＝2x＋2，由勾股定理可求得x＝3．

解法2如图4，连接BE，证明△ECB≌△ECD，可推出∠DEF＝60°；延长AC至M，使得CM＝CF，连接FM，过F作FN⊥AM于N，证明△ADE≌△MEF，AE＝MF＝CF＝CM＝x，AM＝2x＋2，由勾股定理可求得x＝3．

      图3                             图4

24．（1）∵y＝－x2＋bx－3交y轴于点C，∴C（0，3），∴OC＝3，∴OC＝OB＝3，即B（3，0），

将B（3，0）代入y＝－x2＋bx－3得b＝4．求抛物线的解析式y＝－x2＋4x－3．

（2）1或2或或

（3）由（2）得BC的解析式为y＝x－3，

∵，∴设直线PQ的解析式为y＝x＋b1，

联立抛物线得得x2－3x＋3＋b1＝0则，

设PA的解析式为y＝k2x＋b2，代入A（1，0）得，b2＝－k2，

即N（0，－k2），ON＝k2；

，得－x2＋（4－k2）x－3－b2＝0，

设QA的解析式为y＝k3x＋b3，代入A（1，0）得，by＝－k3，

即M（0，－b3），OM＝k3；

，得－x2＋（4－k3）x－3－b3＝0，

．

∴3－k2＋3－k3＝3，得k2＋k3＝3，

∴OM＋ON＝k2＋k3＝3．