广东省佛山市南海区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟．
一．选择题（每题只有唯一答案，每小题3分，共30分）
1. 下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形因式分解不彻底，故本选项不符合题意；
故选：B．
2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可．
【详解】解：
系数化为1得：，
在数轴上表示为：
故选：C．
【点睛】题目主要考查求不等式的解集及在数轴上表示，熟练掌握解集在数轴上的表示方法是解题关键．
3. 已知实数满足，则下列选项错误的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐项判断即可．
【详解】A、两边同减去2得，此项正确
B、两边同减去1得，此项正确
C、先两边同减去2得，再两边同乘以得，此项正确
D、先两边同减去2得，再两边同乘以2得，但与的大小关系不能确定，此项错误
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟记性质是解题关键．
4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度后的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中的点的平移，坐标系中点的平移遵循：上加下减，左减右加的规律，据此解答即可．
【详解】解：将点向左平移3个单位长度后的坐标是，即，
故选A．
5. 下列不等式变形正确的是（ ）
A. 由4x﹣1≥0得4x＞1B. 由5x＞3得x＞15
C. 由﹣2x＜4得x＜﹣2D. 由＞0得y＞0
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质：两边同时加上或减去一个数，不等式不改变方向；两边同时乘以或除以一个正数不等式不改变方向；两边同时乘以或除以一个负数，不等式改变方向，对各个选项进行分析判断即可得到答案．
【详解】解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、由5x＞3得，原变形错误，故此选项不符合题意；
C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、由得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
6. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的概念．如果一个图形绕着某点旋转180°后，能与原来图形完全重合，则这个图形叫中心对称图形，这点叫对称中心．
根据中心对称图形的概念逐项判定即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：B．
7. 下列命题是假命题的是（）
A. 对顶角相等B. 直角三角形的两个锐角互余
C. 同位角相等D. 如果，那么
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查真假命题的判定，熟练掌握对顶角性质、直角三角形现锐角互余的性质、平行线的性质、等式的性质是银题的关键．
根据对顶角性质判定A；根据直角三角形的性质判定B，根据两直线平行，同位角相等．没有平行这个条件，同位角相等是不成立的，判定C；根据等式性质判定D．
【详解】解：A、对顶角相等是真命题，故此选项不符合题意；
B、直角三角形的两个锐角互余是真命题，故此选项不符合题意；
C、因为两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故此选项符合题意；
D、如果，那么是真命题，故此选项不符合题意；
故选：C．
8. 如图，平分于点D，点E是射线上的一个动点，若，则的最小值（ ）
A. 大于3B. 等于3C. 小于3D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质，含30度角的直角三角形，垂线段最短，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到，由垂线段最短得到当时，的值最小，由角平分线的性质得到．
由角平分线定义得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，当时，的值最小，由角平分线的性质得到，于是得到的最小值是3．
【详解】解：平分，，
，
于点，
，
，
当时，的值最小，
平分，，
，
的最小值是3．
故选：B．
9. 如图将绕点A顺时针旋转到，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得，，进而可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：将绕点A顺时针旋转到，且，
，，
，
故选B．
10. 如图是由若干个相同的小正三角形组成的图形，小明在该图形中建立了平面直角坐标系，并测得点A的坐标是，点B的坐标是，由此可知、点C的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了点的平移、正三角形的性质、勾股定理等知识， 求出等边三角形的边长，再根据平移方式即可求出点C的坐标．
【详解】解：由点B的坐标是可知， 每个小正三角的高是3，如图，小正三角形边长为a，
在中，，
∴，
∴，即，
解得，
即每个小正三角形的边长为，
∵点C是由点A向右平移个单位，向上平移3个单位得到的，
∴点C的坐标是，
故选：A
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式：，分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 命题“对顶角相等”的逆命题是 _____________．
【答案】相等的角为对顶角
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．
所以此题可根据交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．
【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”．
故答案为：相等角为对顶角．
13. 如果，，那么代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14. 等腰三角形有一个角是，则这个等腰三角形的一个底角为_____________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】未指明已知的角是顶角还是底角，故应该分情况进行分析，从而求解．
【详解】解：①当这个角是顶角时，底角= ；
②当这个角是底角时，另一个底角为，因为，不符合三角形内角和定理．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用，解题的关键是能够进行分类讨论．
15. 如图，四边形，，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，证明是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得，即可求出最大值．
【详解】解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，
由翻折可知：，，
，，
∵E是中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
当D，M，N，C共线时，取得最大值为，
故答案：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明是等边三角形是解题的关键．
三．解答题（一）（第16题~第20题，每小题5分，共25分）
16. 解不等式组
【答案】
【解析】
【分析】首先解每一个不等式，可求得每一个不等式的解集，据此再求得不等式组的解集即可．
【详解】解：
由①得，
解得，
由②得，
解得，
所以，原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握和运用一元一次不等式组的解法是解决本题的关键．
17. 已知二次三项式可以分解为为常数，求m、n的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查根据因式分解的结果求参，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．
先计算，再比较即可得到答案
【详解】解：∵
∴
解得：．
18. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为．求的长是多少厘米？
【答案】厘米
【解析】
【分析】根据角平分线的性质定理可得厘米，从而得到，进而得到厘米，再由勾股定理可得 厘米，即可求解．
【详解】解：，
，
是角平分线，，
厘米，，
，
厘米，
在中，由勾股定理得：厘米，
，
厘米．
答：的长是厘米．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，勾股定理是解题的关键．
19. 如图，在中，，点D从点A出发以的速度向点运动，同时点E从点C出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，问当为何值时，为等边三角形．
【答案】当为2时，为等边三角形
【解析】
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质．熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键．
根据等边三角形的性质列出方程求出的值．
【详解】解：根据题意可得，，
，
，
，为等边三角形，
，
，
，
当为2时，为等边三角形．
20. 如图①所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出了，
（1）直接写出的面积______；
（2）请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
I．图②中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形；
II．图③中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形．
【答案】（1）3 （2）见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了作轴对称图形，作中心对称图形，三角形面积．
（1）根据三角形面积公式计算即可．
（2）I．根据轴对称的性质作图即可；
Ⅱ．根据中心对称图形的性质作图即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：Ⅰ．如图②所示，即为所求；
Ⅱ．如图③所示，即为所求．
四、解答题（二）（第21题、第22题每小题8分，第23题10分，共26分）
21. 如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点，两直线交于点，已知点坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题：
（1）关于的方程的解是______；关于的不等式的解集是______；
（2）直接写出关于不等式组解集是______；
（3）若点坐标为，关于的不等式的解集是______．
【答案】（1）；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程，数形结合思想是解题的关键．
（1）利用直线与轴的交点即为时，对应的的值，进而得出答案；
（2）利用两直线与轴的交点坐标，结合图象即可得出答案；
（3）利用图象即可求出答案．
【小问1详解】
解： 一次函数和的图象，分别与轴交于点、点，
关于的方程的解是，
关于的不等式的解集是；
【小问2详解】
解：根据图象可得关于的不等式组解集为；
【小问3详解】
解：点，
结合图象可知，不等式的解集是．
22. 已知：在中，．
（1）实践与操作：用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点D，连接；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）分别以点，为圆心，大于为半径画弧，过两弧的两个交点作直线即可得出结论；
（2）先利用等腰三角形的性质求出，进而利用线段的垂直平分线的性质求出，即可求出，结论得证．
【小问1详解】
解：如图，
是线段的垂直平分线，
【小问2详解】
证明：，，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，解本题的关键是求出．
23. 小明用练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是每本1元，甲商店的优惠条件是，购买10本以内（包括10本）按标价出售，购买10本以上，从第11本开始按标价的出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的出售．
（1）若设小明重购买本练习本，则当小明到甲商店购买时，需付款______元，当小明到乙商店购买时，需付款______元；
（2）小明在甲、乙两家商店中任意选一家购买练习本，为了节约开支，应怎样选择更划算？
【答案】（1）；
（2）买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用以及列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量与不等量关系列出方程与不等式，再求解．
（1）根据题中的收费标准表示出到甲乙两商店的费用即可；
（2）根据小明所购买的练习本的本数分类讨论即可．
【小问1详解】
解：根据题意得，当小明到甲商店购买时，须付款：，
当到乙商店购买时，须付款：．
故答案为：；.
【小问2详解】
解：当时，解得：，则买30本练习本时，两家商店付款相同；
当时，解得：，买少于30本练习本时去乙商店买更划算；
当时，解得：，买多于30本练习本去甲商店买更划算．
答：买30本练习本时，两家商店付款相同；买少于30本练习本时去乙商店买更划算；买多于30本练习本去甲商店买更划算．
五、解答题（三）（每小题12分，共24分）
24. 解答下列问题．
（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点A坐标为，的坐标为，则点坐标为 ．
（2）问题探究：如图，平面直角坐标系中，已知，，若，点在第一象限，且，试求出点坐标．
（3）问题解决：如图，直线分别于轴轴交于点、点，，的顶点，分别在线段，上，且，，试求出的面积．
【答案】（1）
（2）点的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）过点B作轴，根据题意得出，结合全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可得出点的坐标；
（2）过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，利用（1）中方法得出，结合图形确定线段长度即可得出点的坐标；
（3）过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，同理得出，，，设点的坐标为，根据一次函数的性质得出点，结合图形利用求解即可．
【小问1详解】
解：过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A坐标为，的坐标为，
∴,
∵等腰直角三角板，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，
同理，
，，，
点的横坐标为：，
点的纵坐标为：，
故点的坐标为；
【小问3详解】
过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，
同理，
，，设点的坐标为，
即：，则：，
解得：，则点，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形等，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
25. （1）如图①，△ABC是等边三角形，M为边BC的中点，连接AM，将线段AM顺时针旋转120°，得到线段AD，连接BD；点N在BC的延长线上，且CN＝MC，连接AN．求证：BD＝AN．
（2）若将问题（1）中的条件“M为边BC的中点”改为“M为边BC上的任意一点”，其他条件不变，结论还成立吗？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请举反例．
【答案】（1）证明过程见解析；（2）成立，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据中点得到，，，再根据旋转的性质得到，证明，即可得解；
（2）当，过点A、点D作，，再证明，得到，，再根据等边三角形的性质得到，证明即可得解；当，根据相同的方法证明即可；
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴，，
又∵M为边BC的中点，
∴，，，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）结论成立，理由如下：
如图，当时，过点A、点D作，，
∴，
∵，，
∴，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵△ABC是等边三角形，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∵，，，
在和中，
，
∴，
∴；
当时，过点A、点D作，，
∴，
∵，，
∴，
∵AM顺时针旋转120°得到线段AD，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵△ABC是等边三角形，，
∴，
∴，
又∵，，，
∴，
∵，，，
在和中，
，
∴，
∴；
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．