广东省佛山市南海区桂城街道映月中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. π0的值是（ ）
A. πB. 0C. 1D. 3.14
【答案】C
【解析】
【分析】根据任何非零数的零次幂都等于1，即可求解.
【详解】解：，
故选C
【点睛】本题主要考查零指数幂，掌握任何非零数的零次幂都等于1是关键.
2. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
故选：B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
3. 根据测试，华为首款5G手机传输1M的文件只需0.0025秒，其中0.0025用科学记数法表示为
A. 2.5×10－3B. 2.5×10－4C. 25×10－4D. 0.25×10－2
【答案】A
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，其中，n为负整数；指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
【详解】由科学记数法的定义得：
故选：A.
【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键.
4. 如图，和是同位角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．
【详解】解：选项A中，∠1和∠2不是同位角；
选项B中，∠1和∠2不是同位角；
选项C中，∠1和∠2是同位角；
选项D中，∠1和∠2不同位角．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同位角的概念，解题时注意：同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形．
5. 已知与互余，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据互余的定义，即可进行解答．如果两个角相加等于，那么这两个角互余．
【详解】解：∵与互余，若，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了互余的定义，解题的关键是掌握如果两个角相加等于，那么这两个角互余．
6. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行对各选项进行判断即可．
【详解】解：A.当时，，故选项A不符合题意；
B.当时，无法判断a与b平行，故选项B符合题意；
C.当时，，故选项C不符合题意；
D.当时，，故选项D不符合题意；
故选：B．
7. 下列各式中，不能使用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A．(x+y)(−x-y)=-（x+y）（x+y），不能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
B．(x−y)(−x−y)= -(x−y)(x+y)，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C．(x−y)(y+x)= (x−y)(x+y)，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D．(−y+x) (x+y) =( x−y) (x+y)，能用平方差公式计算．故本选项不符合题意．
故选：A.
【点睛】本题考查了平方差公式，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，用字母表示为：(a+b)(a−b)=a2−b2.
8. 如果是一个完全平方式，那么的值为
A. 2B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据完全平方公式的定义，即可得到答案．
【详解】，
，
∴．
故选：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式，掌握完全平方公式的形式(a±b)2=a2±2ab+b2，是解题的关键．
9. 如图，下列推理正确的个数有 （ ）
①若，则
②若，则
③若，则
④若，则．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了对平行线的性质和判定的应用．根据平行线的判定（内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行）和平行线的性质（两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补）判断即可．
【详解】解：，
，
①正确；
，
，，
②错误；
，
，③正确；
由才能推出，而由不能推出，
④错误；
正确的个数有2个，
故选：B
10. 某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，先证明，然后根据平行线的性质求出，，最后利用角的和差关系求解即可．
【详解】解：过点作，

∵，
∴，
，，
又，，
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，添加合适的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. =_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：=．
故答案为：．
12. ______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，根据积的乘方，幂的乘方法则，计算即可．
【详解】解：．
故答案为：
13. 要从小河a引水到村庄A，且距离最短，如图所示设计并作出的是最短路线，理由是_____．
【答案】垂线段最短
【解析】
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【详解】解：连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
因此过点A作河岸的垂线段，理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点睛】本题主要考查了垂线段最短，解题关键是熟练掌握直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短．
14. 已知的补角是它的3倍，则为______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查了补角的有关计算，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握补角定义，和为的两个角互为补角．
【详解】解：设的度数为x，补角为，根据题意得：
，
解得：，
即为．
故答案为：45．
15. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了的展开式的系规律按的次数由大到小的顺序．

请根据规律，写出的展开式中含项的系数是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算、杨辉三角中展开式系数的规律等知识，根据前四个展开式的系规律可知，含的项是的展开式中的第二项，从而得出的展开式中含项的系数，熟练掌握以上知识点的综合应用及找出规律是解题的关键．
【详解】解：∵展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
展开式中的第二项系数为，
∴展开式中的第二项系数为，
由图中规律可知：
含的项是的展开式中的第二项，
∴的展开式中的第二项系数为，
故答案为：．
三、解答题一（16-18题每题8分，共24分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先算乘方，负指数幂，利用同底数幂的除法法则计算，再算乘除，最后算加减．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握乘方，负指数幂的运算法则，注意整式运算法则的灵活运用．
17. 先化简，再求值：，其中，
【答案】-4.
【解析】
【分析】先运用完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，然后代入x，y得值即可完成解答.
【详解】解：原式
将，代入得.
原式
【点睛】本题主要考查了代数式化简求值，解题的关键在于对原式的化简；切勿直接代入计算.
18. 已知：如图，在中，于点D，点E在的延长线上，于点F，．试说明：是的平分线．请你完成下列说理过程：
∵，（已知），
∴（ ），
∴（ ），
∴ （ ）， （ ），
∵（已知），
∴ （ ），
∴是的平分线．

【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换
【解析】
【分析】先根据平行线的判定定理得出，由平新线的性质得出，，再由可得出，故可得出结论．
【详解】证明：∵，（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
∴是的平分线．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
四、解答题二（19-21题每题9分，共27分）
19. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）15 （2）675
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据同底数幂的乘法进行变形，再代入求出即可；
（2）先根据幂的乘方进行变形，再代入求出即可；
（3）先根据同底数幂的除法进行计算，再根据幂的乘方进行变形，最后代入求出即可．
【小问1详解】
【小问2详解】
4m×8n=（22）m×（23）n
=（2m）2×（2n）3
=25×27
=675
【小问3详解】
2m-2n=2m÷22n
=2m÷（2n）2
=
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法等知识点，能熟记法则的内容是解此题的关键．
20. 已知：如图，点E、F分别在上，分别交于点G、H，，．求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
（1）对顶角相等，得到，进而得到，即可得证；
（2），得到，进而得到，推出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21. 如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．
（1）用含，的代数式表示“T”型图形的面积并化简；
（2）若米，米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【答案】（1）
（2）11000元
【解析】
【分析】（1）利用大长方形的面积减去两个小正方形的面积可得“”型图形的面积，再根据整式的乘法与加减法法则进行化简即可得；
（2）将，代入（1）中结论可得“”型图形的面积，再根据草坪每平方米20元即可求出造价．
【小问1详解】
解：“”型图形的面积
，
答：“”型图形的面积为．
【小问2详解】
解：若米，米，
则“”型图形的面积=（平方米），
所以草坪的造价为（元），
答：草坪的造价为11000元．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的应用，根据图形正确列出代数式是解题的关键．
五、解答题三（22-23题每题12分，共24分）
22. 将完全平方公式作适当变形，可以用来解决很多数学问题．
（1）观察图1，写出代数式，，之间的等量关系：______；
（2）若，，则 _____；
（3）如图2，边长为5的正方形中放置两个长和宽分别为，（，）的长方形，若长方形的周长为12，面积为，求图中阴影部分的面积的值．
【答案】（1）
（2）28，20 （3）
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值及其在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．
（1）根据图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，也可以表示为大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积进行求解即可；
（2）先根据完全平方公式求出，再代入，即可求出的值，再根据（1）的结论求出的值即可；
（3）由题意得，，根据长方形面积和周长得到，进而得到，再根据正方形面积公式求出，代值计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：图1中左边一幅图空白部分面积可以表示为4个小长方形面积，即；
图1中右边一幅图空白部分面积可以表示大正方形面积减去中间阴影部分正方形面积，即；
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：28，20；
【小问3详解】
解：如图所示，
由题意得，，
∵长方形的周长为12，面积为，
∴，
∴，
∴
．
23. 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动．
（1）如图1，三角尺的角的顶点G在上．若，则的度数为 ．
（2）如图2，小颖把三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在和上，请你探索与之间的数量关系．
（3）如图3，小亮把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，请直接写出与的数量关系（用含α，β的式子表示）．
【答案】（1）
（2），见解析
（3），见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质求得，根据，列式计算即可求解；
（2）过点F作，证明，据此即可求解；
（3）利用平行线的性质求得，再根据，，据此即可求解.
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
解：，理由如下：
如图，过点F作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键.