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广东省佛山市顺德区顺峰中学、梁开中学、凤城中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份广东省佛山市顺德区顺峰中学、梁开中学、凤城中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含广东省佛山市顺德区顺峰中学梁开中学凤城中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、广东省佛山市顺德区顺峰中学梁开中学凤城中学等2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
注意事项
1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，若写在试卷上不计成绩．
2．作图（含辅助线）用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰．
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是（ ）
A. 4.5B. 5.5C. 6D. 6.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据标志内容为限高可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过．
【详解】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过．
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的应用能力，关键是能根据标志牌内容准确获得通过车辆高度的范围．
3. 若，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次进行判断即可得，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意；
B、，则，选项说法错误，不符合题意；
C、，则，选项说法错误，不符合题意；
D、，则，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的平移变换，判断点所在的象限．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，
得到点，则点的坐标为，即，
点在第二象限，
故选：B．
5. 如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据等边对等角，以及三线合一，进行判断即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，，，
无法确定，
∴不一定成立；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
6. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确理解在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．由图可知不等式解集表示的范围是大于等于-2而小于3的所有实数，即得答案．
【详解】该数轴表示的不等式的解集为．
故答案为：．
7. 在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边上高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
所以凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
8. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A. 6米;B. 9米;C. 12米;D. 15米.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
详解】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故选：C．
10. 如图，在中，，将绕点B旋转得到，使点D落在边上，，相交于点E．设，．则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．理解旋转性质是解答的关键．
【详解】解：由旋转性质，得，，
∴，则，
∵在中，，
∴，又，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（5个题，每题3分，共15分）
11. 一辆匀速行驶的汽车需在2小时内到达距离50千米的A地，设车速，则可列出关于x的一元一次不等式为__．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键．
【详解】解：根据题意需在2小时内到达距离50千米的A地，车速，
∴，
故答案为：．
12. 已知点，将线段平移后A对应点是，B的对应点是，则的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质即可求解．
【详解】解：∵将线段平移至，且，，，，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，线段的垂直平分线交AC于点D，则的周长为__．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：6．
14. 写出一个解集为的一元一次不等式：_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可得．
【详解】解：将两边同乘以2可得一元一次不等式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
15. 如图，，，通过观察尺规作图的痕迹，请写出图中所有的等腰三角形__．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查等腰三角形的判定及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形；，
∵，
∴，，
根据作图得出为的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰三角形，
综上可得：均为等腰三角形，
故答案为：．
三、选择题（8个题，共75分）
16. 解不等式组．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】分别求出各个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可求解．
【详解】解：，
由①得：x+1＞2，即：x＞1，
由②得：-2x＜8，即：x＞-4，
∴不等式组的解集为：x＞1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．
17. 如图， 是等边三角形，，分别交， 于点，，求证：是等边三角形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由 是等边三角形，得到三个角都是，由，得到，，根据三个角都是的三角形是等边三角形，即可求证，
本题考查了等边三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键是：熟练掌握等边三角形的性质与判定．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形．
18. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的一次函数关系如表所示：
（1）直接写出甲、乙两种消费卡y关于x的关系式；
（2）选择哪种卡消费比较合算？
【答案】（1）；；
（2）当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的应用．
（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【小问1详解】
解：设，根据题意得，
解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：①，即，解得，
当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，
当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，
当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
所以，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
19. 如图，在中，是边上的高．
（1）若，请证明：；
（2）若，，点E是边上的中点，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】题目主要考查三角形外角的性质及含30度角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
（1）根据等边对等角及含30度角的性质，即可证明；
（2）延长到，使，连接，根据垂直平分线的判定和性质得出，再由题意得出的最小值为，利用全等三角形的判定和性质得出，结合勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，是边上的高．
∴，
∴；
【小问2详解】
延长到，使，连接，如图：
∵是边上的高，
∴是的垂直平分线，
∴，
即的最小值为，
，
，
∵ 点E是边上的中点，
，
，，
，
，
，
，
即最小值为．
20. 已知．
（1）当时，若，求x的取值范围；
（2）若关于x的不等式组的解集为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的的综合问题，解一元一次方程，根据不等式组的解集求参数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，得出，求解即可；
（2）根据题意得到关于，的不等式组，根据不等式组的解集求得的值，进而即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
即，
解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的不等式组的解集为，
∴的解集为，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴
∴
解得：
∴．
21. 综合与实践
图①、图②均是的正方形网格，图③是网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上．
（1）在图①中，仅用无刻度的直尺找出点C（点C在格点上），使得的面积为6；
（2）在图②中，仅用无刻度的直尺找出点D（点D在格点上），使得的面积为5；
（3）在图③中，仅用无刻度的直尺在AC上找出点E，使得平分．
【答案】（1）见解析（答案不唯一）
（2）见解析（答案不唯一） （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为4个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转即可；
（3）根据网格确定点G的中点，找到格点F，连接，使得四边形是正方形，然后利用正方形的判定和性质即可找到角平分线．
小问1详解】
解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为4个单位的线段上的格点即可（答案不唯一）；
【小问2详解】
由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，然后连接即可（答案不唯一）；
【小问3详解】
如图所示，根据网格确定点G，找到格点F，连接，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵为对角线，
∴平分．
22. 综合应用
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：按照以下思路研究不等式组的解集：首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究，列表：
描点与连线：
（1）在列表的空格处填对应的y值，在如图给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．
（2）若为该函数图象上不同的两点，则x与y的数量关系是_______；
（3）观察图象，当时，自变量x的取值范围是_______；
（4）【拓展运用】运用以上的探究过程，求出函数与的图象所围成的图形面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
（4）12
【解析】
【分析】本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键．
（1）把对应的x的取值代入解析式，即可完成表格，然后描点，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象的性质，即可求解；
（3）观察图象，当时，，即可求解．
（4）先画出函数的图象，再求出两图象的交点坐标，然后根据所求图形面积等于，即可求解．
【小问1详解】
解：填表如下：
描出各点，画出函数图象如下：
【小问2详解】
由图象得：函数关于y轴对称，
∵纵坐标相同，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
观察图象，当或时，，
即当时，自变量的取值范围是或；
故答案为：或；
【小问4详解】
设两图象交于点A，B，直线交x轴于点C，
对于，
当时，，解得：，
∴点，即，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，
画出函数的图象草图如下：
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴它与函数的图象所围成的图形面积等于
．
23. 综合探究
平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化的三种常见形式，如图，直角三角形，．
（1）尺规作图：作出直角三角形关于直线翻折后的图形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，分别延长交于点M（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，试探究线段存在什么数量关系？请说明理由；
（3）在（1）的条件下，当，时，将三角形沿着直线平移，当A、E、F为顶点的三角形是等腰三角形时，求出的长；
（4）将直角三角形绕着点C逆时针旋转后点A的对应点为点，点B的对应点为点，若，且，求点到直线的距离．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）或
（4）
【解析】
【分析】题目主要考查基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）以点B为圆心，长为半径画弧，交以点A为圆心，长为半径的弧线于点F，延长交于点M即可；
（2）设，，根据勾股定理及三角形等面积法求解即可得出结果；
（3）令，则，得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，即可求解；
（4）延长交于点N，根据题意得出，再由勾股定理确定，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
解：以点B为圆心，长为半径画弧，交以点A为圆心，长为半径弧线于点F，延长交于点M，如图所示即为所作；
【小问2详解】
若，则是等腰直角三角形，
设，
∴，
根据题意得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴；
【小问3详解】
如图所示：令，则，
∵，，
∴，,
∴，
分三种情况：当时，
则，
∴，即；
当时，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴即，
解得：，即，
当时，
∵，
∴，
∴（不符合题意）；
综上可得：或；
【小问4详解】
如图所示，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即为点到的距离，
∵，
∴，
∴即，
∴．x（次）
y（元）
0
5
20
甲消费卡
0
100
400
乙消费卡
100
150
300
x
…
0
1
3
4
…
y
…
…
…
0
1
2
3
4
…
…
0
1
2
3
2
1
0
…
注意事项
1．选择题、填空题和解答题的答案写在答题卡上，若写在试卷上不计成绩．
2．作图（含辅助线）用铅笔（如2B铅笔），要求痕迹清晰．
一、选择题（10个题，每题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行分析即可．
【详解】解：选项A、C、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行．如图所示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆能通过此桥洞的是（ ）
A. 4.5B. 5.5C. 6D. 6.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据标志内容为限高可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过．
【详解】解：由标志内容可得，能通过此桥洞的车辆高度必须不能超过．
故选：A．
【点睛】此题考查了不等式的应用能力，关键是能根据标志牌内容准确获得通过车辆高度的范围．
3. 若，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质依次进行判断即可得，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、，则，选项说法错误，不符合题意；
B、，则，选项说法错误，不符合题意；
C、，则，选项说法错误，不符合题意；
D、，则，选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到点，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查点的平移变换，判断点所在的象限．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．
【详解】解：将点先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，
得到点，则点的坐标为，即，
点在第二象限，
故选：B．
5. 如图，中，，于点D，则下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】根据等边对等角，以及三线合一，进行判断即可．
【详解】解：∵中，，，
∴，，，
无法确定，
∴不一定成立；
故选C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，以及等腰三角形三线合一，是解题的关键．
6. 如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，正确理解在数轴上表示不等式的解集是解题的关键．由图可知不等式解集表示的范围是大于等于-2而小于3的所有实数，即得答案．
【详解】该数轴表示的不等式的解集为．
故答案为：．
7. 在联欢会上，有、、三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（ ）
A. 三边中线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三边上高的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．根据垂直平分线的性质求解即可．
【详解】解：为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．
所以凳子应放在的三条垂直平分线的交点最适当．
故选：B．
8. 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）．
A. 6米;B. 9米;C. 12米;D. 15米.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．
详解】解：如图，根据题意BC=3米，
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴AB=2BC=2×3=6米，
∴BC+AB=3+6=9（米）．
故选B
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．
9. 如图，平分，于点C，点D在上，若，则的面积为（ ）
A. 3B. 6C. 9D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答．
【详解】解：如图，过点P作于E，
∵平分，，，
，
，
∴的面积为：，
故选：C．
10. 如图，在中，，将绕点B旋转得到，使点D落在边上，，相交于点E．设，．则下列关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，先根据旋转性质得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后利用三角形的内角和定理求解即可．理解旋转性质是解答的关键．
【详解】解：由旋转性质，得，，
∴，则，
∵在中，，
∴，又，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
二、填空题（5个题，每题3分，共15分）
11. 一辆匀速行驶的汽车需在2小时内到达距离50千米的A地，设车速，则可列出关于x的一元一次不等式为__．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查不等式的应用，理解题意，列出不等式是解题关键．
【详解】解：根据题意需在2小时内到达距离50千米的A地，车速，
∴，
故答案为：．
12. 已知点，将线段平移后A对应点是，B的对应点是，则的值为___．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质即可求解．
【详解】解：∵将线段平移至，且，，，，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在中，，线段的垂直平分线交AC于点D，则的周长为__．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，
∴的周长为，
故答案为：6．
14. 写出一个解集为的一元一次不等式：_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可得．
【详解】解：将两边同乘以2可得一元一次不等式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键．
15. 如图，，，通过观察尺规作图的痕迹，请写出图中所有的等腰三角形__．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查等腰三角形的判定及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．
【详解】解：∵，
∴为等腰三角形；，
∵，
∴，，
根据作图得出为的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴为等腰三角形，
综上可得：均为等腰三角形，
故答案为：．
三、选择题（8个题，共75分）
16. 解不等式组．
【答案】x＞1
【解析】
【分析】分别求出各个不等式的解集，再取它们的公共部分，即可求解．
【详解】解：，
由①得：x+1＞2，即：x＞1，
由②得：-2x＜8，即：x＞-4，
∴不等式组的解集为：x＞1．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握“大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解”，是解题的关键．
17. 如图， 是等边三角形，，分别交， 于点，，求证：是等边三角形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由 是等边三角形，得到三个角都是，由，得到，，根据三个角都是的三角形是等边三角形，即可求证，
本题考查了等边三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键是：熟练掌握等边三角形的性质与判定．
【详解】解： 是等边三角形，
，
，
，，
，
是等边三角形．
18. 某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的一次函数关系如表所示：
（1）直接写出甲、乙两种消费卡y关于x的关系式；
（2）选择哪种卡消费比较合算？
【答案】（1）；；
（2）当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的应用．
（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）解方程或不等式即可解决问题，分三种情形回答即可．
【小问1详解】
解：设，根据题意得，
解得，
∴；
设，根据题意得：
，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：①，即，解得，
当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②，即，解得，
当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③，即，解得，
当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
所以，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
19. 如图，在中，是边上的高．
（1）若，请证明：；
（2）若，，点E是边上的中点，求的最小值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】题目主要考查三角形外角的性质及含30度角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
（1）根据等边对等角及含30度角的性质，即可证明；
（2）延长到，使，连接，根据垂直平分线的判定和性质得出，再由题意得出的最小值为，利用全等三角形的判定和性质得出，结合勾股定理即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，是边上的高．
∴，
∴；
【小问2详解】
延长到，使，连接，如图：
∵是边上的高，
∴是的垂直平分线，
∴，
即的最小值为，
，
，
∵ 点E是边上的中点，
，
，，
，
，
，
，
即最小值为．
20. 已知．
（1）当时，若，求x的取值范围；
（2）若关于x的不等式组的解集为，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的的综合问题，解一元一次方程，根据不等式组的解集求参数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意，得出，求解即可；
（2）根据题意得到关于，的不等式组，根据不等式组的解集求得的值，进而即可求解．
【小问1详解】
解：当时，，
即，
解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的不等式组的解集为，
∴的解集为，
解不等式①得：
解不等式②得：，
∴
∴
解得：
∴．
21. 综合与实践
图①、图②均是的正方形网格，图③是网格．每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上．
（1）在图①中，仅用无刻度的直尺找出点C（点C在格点上），使得的面积为6；
（2）在图②中，仅用无刻度的直尺找出点D（点D在格点上），使得的面积为5；
（3）在图③中，仅用无刻度的直尺在AC上找出点E，使得平分．
【答案】（1）见解析（答案不唯一）
（2）见解析（答案不唯一） （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直．
（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为4个单位的线段上的格点即可；
（2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转即可；
（3）根据网格确定点G的中点，找到格点F，连接，使得四边形是正方形，然后利用正方形的判定和性质即可找到角平分线．
小问1详解】
解：如图所示，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
即点在上方且到距离为4个单位的线段上的格点即可（答案不唯一）；
【小问2详解】
由网格可知，
以为底，设边上的高为，
依题意得：
解得：
将绕或旋转，然后连接即可（答案不唯一）；
【小问3详解】
如图所示，根据网格确定点G，找到格点F，连接，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∵为对角线，
∴平分．
22. 综合应用
探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究：按照以下思路研究不等式组的解集：首先令，通过列表、描点、连线的方法作出该函数的图象并对其性质进行探究，列表：
描点与连线：
（1）在列表的空格处填对应的y值，在如图给出的平面直角坐标系中描出以表中各对应值为坐标的点，并根据描出的点，画出该函数的图象．
（2）若为该函数图象上不同的两点，则x与y的数量关系是_______；
（3）观察图象，当时，自变量x的取值范围是_______；
（4）【拓展运用】运用以上的探究过程，求出函数与的图象所围成的图形面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
（4）12
【解析】
【分析】本题考查作函数图象，利用图象法求解问题，新定义问题，熟练掌握用描点法作函数图象和利用图象法解决问题是解题的关键．
（1）把对应的x的取值代入解析式，即可完成表格，然后描点，画出函数图象即可；
（2）根据函数图象的性质，即可求解；
（3）观察图象，当时，，即可求解．
（4）先画出函数的图象，再求出两图象的交点坐标，然后根据所求图形面积等于，即可求解．
【小问1详解】
解：填表如下：
描出各点，画出函数图象如下：
【小问2详解】
由图象得：函数关于y轴对称，
∵纵坐标相同，
∴，
故答案为：；
【小问3详解】
观察图象，当或时，，
即当时，自变量的取值范围是或；
故答案为：或；
【小问4详解】
设两图象交于点A，B，直线交x轴于点C，
对于，
当时，，解得：，
∴点，即，
当时，，
∴直线与y轴的交点为，
画出函数的图象草图如下：
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴它与函数的图象所围成的图形面积等于
．
23. 综合探究
平移、旋转、轴对称是现实世界运动变化的三种常见形式，如图，直角三角形，．
（1）尺规作图：作出直角三角形关于直线翻折后的图形，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F，分别延长交于点M（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，试探究线段存在什么数量关系？请说明理由；
（3）在（1）的条件下，当，时，将三角形沿着直线平移，当A、E、F为顶点的三角形是等腰三角形时，求出的长；
（4）将直角三角形绕着点C逆时针旋转后点A的对应点为点，点B的对应点为点，若，且，求点到直线的距离．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）或
（4）
【解析】
【分析】题目主要考查基本作图，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）以点B为圆心，长为半径画弧，交以点A为圆心，长为半径的弧线于点F，延长交于点M即可；
（2）设，，根据勾股定理及三角形等面积法求解即可得出结果；
（3）令，则，得出，然后分三种情况分析：当时，当时，当时，即可求解；
（4）延长交于点N，根据题意得出，再由勾股定理确定，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
解：以点B为圆心，长为半径画弧，交以点A为圆心，长为半径弧线于点F，延长交于点M，如图所示即为所作；
【小问2详解】
若，则是等腰直角三角形，
设，
∴，
根据题意得：，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即，
∵，
∴；
【小问3详解】
如图所示：令，则，
∵，，
∴，,
∴，
分三种情况：当时，
则，
∴，即；
当时，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴即，
解得：，即，
当时，
∵，
∴，
∴（不符合题意）；
综上可得：或；
【小问4详解】
如图所示，延长交于点N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即为点到的距离，
∵，
∴，
∴即，
∴．x（次）
y（元）
0
5
20
甲消费卡
0
100
400
乙消费卡
100
150
300
x
…
0
1
3
4
…
y
…
…
…
0
1
2
3
4
…
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0
1
2
3
2
1
0
…
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