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高中数学学考复习优化练习6指数与指数函数含答案
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这是一份高中数学学考复习优化练习6指数与指数函数含答案，共10页。试卷主要包含了已知a=0等内容，欢迎下载使用。
1.函数f(x)=ab-x的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0B.a>1,b>0
C.00
2.已知x23+x-23=5,那么x13+x-13等于( )
A.7B.-7C.±7D.7
3.化简a3b2·3ab2(a14b12)4·3ba(a>0,b>0)的结果为( )
A.abB.abC.baD.ab2
4.若函数f(x)=13ax2-4x+1有最大值3,则实数a的值为( )
A.-2B.-1
C.1D.2
5.已知a=0.20.3,b=0.20.5,c=0.30.3,则以下关系不正确的是( )
A.bC.1c<1a<1bD.ab6.函数f(x)=x2-1ex+1的图象大致为( )
7.(多选)函数f(x)=2x,对任意的x1,x2,其中x1≠x2,则下列结论中正确的是( )
A.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
B.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
C.f(-x1)=1f(x1)
D.f(x1)-1x1<0(x1≠0)
8.(多选)已知函数f(x)=2x-12x+1,下列说法正确的有( )
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2>0
9.223×2-(2-5)2+15+2= .
(-17)-2+(279)12-(2-1)0= .
11.若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在区间[0,+∞)上单调递减,f(x)的部分图象如图所示,则不等式f(x)≥|2x-1|的解集为 .
12.若a=2.50.4,b=2.50.3,c5=5,则a,b,c的大小关系为 .
13.若函数y=4x+a·2x+1的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是 .
14.若f(x)=ax,x>1,(4-a2)x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .
15.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=4x+a·2x+3,a∈R.
(1)当a=-4时,x∈[0,2],求函数f(x)的值域;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
17.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
能力提升
18.(多选)关于函数f(x)=4x-14x+1-a·2x,下列结论中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)是增函数
B.当a=0时,f(x)的值域为(-1,+∞)
C.当a=1时,f(x)是奇函数
D.若f(x)的定义域为R,则a<2
19.(多选)已知a,b分别是方程2x+x=0,3x+x=0的两个实数根,则下列选项中正确的是( )
A.-1C.b·3a20.函数f(x)为定义域在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=12x-x-12,则满足f(x-2)≤-1的x的取值范围是 .
21.已知a>0,函数f(x)=2 023x+1+2 0242 023x+1,x∈[-a,a]的最大值、最小值分别为M,N,则M+N= .
22.设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是 .
23.(2023浙江温州)已知函数f(x)=4x+a2x为偶函数.
(1)求出a的值,并写出单调区间;
(2)若存在x∈[0,1]使得不等式bf(2x)+1≥f(x)成立,求实数b的取值范围.
优化集训6 指数与指数函数
基础巩固
1.A
2.C 解析 当x>0时,x13>0,x-13>0,此时x13+x-13>0;当x<0时,x13<0,x-13<0,此时x13+x-13<0.
∵(x13+x-13)2=x23+x-23+2=5+2=7,
∴x13+x-13=±7.故选C.
3.A 解析 原式=a32b·a16b13ab2·a-13b13=a32+16-1+13b1+13-2-13=ab-1.故选A.
4.D 解析 由于函数f(x)=13ax2-4x+1有最大值3,所以a>0,且当x=--42a=2a时,f(x)取得最大值为f2a=13a·2a2-4·2a+1=13-4a+1=34a-1=3,故4a-1=1,4a=2,a=2.故选D.
5.D 解析 ∵指数函数y=0.2x为减函数,∴0.20.3>0.20.5,即a>b,∵幂函数y=x0.3是增函数,∴0.30.3>0.20.3,即c>a,a,b,c的大小关系为00,∴ab0,∴bc6.A 解析 函数f(x)为非奇非偶函数,关于y轴不对称,排除C,D,当x→+∞时,f(x)→0,排除B,故选A.
7.BC
8.ACD 解析 f(x)=2x-12x+1的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=2-x-12-x+1=(2-x-1)2x(2-x+1)2x=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故选项A正确,选项B不正确;f(x)=2x-12x+1=2x+1-22x+1=1-22x+1,因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<12x+1<1,-2<-22x+1<0,所以-1<1-22x+1<1,可得f(x)的值域为(-1,1),故选项C正确;设任意的x10,2x2+1>0,2x1-2x2<0,所以2(2x1-2x2)(2x1+1)(2x2+1)<0,即f(x1)-f(x2)<0,所以f(x1)-f(x2)x1-x2>0,故选项D正确.故选ACD.
9.433 解析 223×2-(2-5)2+15+2=2×233-(5-2)+5-25-4=433-5+2+5-2=433.
10.-45 解析 0.027-13-(-17)-2+(279)12-(2-1)0=130.027-49+259-1=103-49+53-1=-45.
11.[-2,1] 解析 由图可知f(-2)=f(2)=0.75,f(1)=1,
所以f(x)≥|2x-1|的解集为[-2,1].
12.b0),则f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a>c>b.
13.(-∞,-2] 解析 设g(x)=4x+a·2x+1,若函数y=4x+a·2x+1的值域为[0,+∞),则等价于[0,+∞)是g(x)值域的子集,y=g(x)=4x+a·2x+1=(2x)2+a·2x+1,设t=2x,则t>0,则y=h(t)=t2+at+1.∵h(0)=1>0,∴当图象的对称轴t=-a2≤0,即a≥0时,不满足条件.当t=-a2>0,即a<0时,判别式Δ=a2-4≥0,即a<0,a≥2或a≤-2,则a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2].
14.[4,8) 解析 ∵当x>1时,f(x)=ax单调递增,∴a>1,
∵一次函数在(-∞,1]上单调递增,∴4-a2>0,a<8,
且当x=1时应有(4-a2)×1+2≤a1,解得a≥4.
综上可得,实数a的取值范围是[4,8).
15.(0,12) 解析 当00,a≠1)的图象有两个公共点时,0<2a<1,01时,得a>1,0<2a<1无解.综上,a的取值范围为(0,12).
16.解 (1)当a=-4时,令t=2x,由x∈[0,2],得t∈[1,4],
y=t2-4t+3=(t-2)2-1,
当t=2时,ymin=-1;
当t=4时,ymax=3.
∴函数f(x)的值域为[-1,3].
(2)设t=2x,则t>1,f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价于t2+at+3>0对任意的t∈(1,+∞)恒成立,
∴a>-(t+3t)在(1,+∞)内恒成立,
∴a>[-(t+3t)]max.
设g(t)=-( t+3t),t>1,函数g(t)在(1,3)内单调递增,在(3,+∞)上单调递减,
∴g(t)max=g(3)=-23,
∴a>-23,即a的取值范围为(-23,+∞).
17.解 (1)因为f(x)=2x+k·2-x,k∈R是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),x∈R,
即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),
所以k=-1.
(2)因为对任意的x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,
即2x+k·2-x>2-x成立,
所以1-k<22x对x≥0恒成立,所以1-k<(22x)min.
因为y=22x在[0,+∞)上单调递增,所以(22x)min=1,
所以k>0,即k的取值范围为(0,+∞).
能力提升
18.ACD 解析 当a=0时,f(x)=4x-14x+1=1-24x+1,u=4x+1,由函数u=4x+1单调递增,知函数y=1-2u在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=1-24x+1在R上单调递增,A符合题意;因为4x+1>1,0<14x+1<1,-2<-24x+1<0,所以f(x)=4x-14x+1=1-24x+1∈(-1,1),B不符合题意;当a=1时,f(x)=4x-14x+1-2x定义域为R,而f(-x)=4-x-14-x+1-2-x=1-4x1+4x-2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,C符合题意;若f(x)的定义域为R,则4x+1-a·2x≠0恒成立,即a≠4x+12x,因为4x+12x=2x+12x≥2,当且仅当2x=12x,即x=0时,等号成立,所以a<2,D符合题意.故选ACD.
19.BD 解析 函数y=2x,y=3x,y=-x在同一坐标系中的图象如下,
所以-1a·3b.
20.(-∞,1]∪[3,+∞) 解析 当x≥0时,函数f(x)=12x-x-12是减函数,且f(1)=-1,∴不等式f(x-2)≤-1⇔f(x-2)≤f(1),又函数是偶函数,∴|x-2|≥1,故x的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞).
21.4 047 解析 f(x)=2 023x+1+2 0242 023x+1=2 023+12 023x+1,
∴f(x)+f(-x)=4 047,
∴函数y=f(x)的图象关于点0,4 0472中心对称,
又M,N为函数f(x)=2 023x+1+2 0242 023x+1在[-a,a]上的最大值、最小值,故M+N=4 047.
22.-14,+∞ 解析 (方法1)令F(x)=f(x)+fx-12=2x+2x-12,x>12,2x+x+12,012时,F(x)>212+20=1+2>1;当0F(0)=32>1;当x≤0时,由F(x)=2x+32>1,解得-141的x的取值范围是-14,+∞.
(方法2)当x-12≤0且x≤0时,由f(x)+fx-12>1得x+1+x-12+1>1,得-141的x的取值范围是-14,+∞.
23.解 (1)因为f(x)=4x+a2x,
所以f(-x)=4-x+a2-x=1+a·4x2x.
由偶函数知f(-x)=f(x),解得a=1,
即f(x)=4x+12x=2x+12x,由对勾函数的性质知,当2x∈(0,1),即x∈(-∞,0)时函数单调递减,当2x∈(1,+∞),即x∈(0,+∞)时函数单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)由题意可得b22x+122x+1≥2x+12x,
即b2x+12x2-2+1≥2x+12x,
令t=2x+12x∈2,52,b(t2-2)+1≥t,
(方法1)g(t)=bt2-t+1-2b,若g(t)≥0在2,52上有解,即g(t)max≥0.
若b<0,则g(t)max=g(2)=2b-1≥0,解得b≥12,此时无解.
若b=0,则g(t)max=g(2)=-1,不符合题意.
若12b≤94,即b≥29,此时g(t)max=g52=174b-32≥0,解得b≥617,
若12b>94,即0综上,b的取值范围是617,+∞.
(方法2)由b(t2-2)+1≥t得b≥t-1t2-2,
令g(t)=t-1t2-2,则b≥g(t)min.
g(t)=t-1t2-2=t-1(t-1)2+2(t-1)-1=1(t-1)-1(t-1)+2≥617,所以b的取值范围是617,+∞.
(方法3)由b(t2-2)+1≥t得1b≤t2-2t-1,
令g(t)=t2-2t-1,则1b≤g(t)max,g(t)=t2-2t-1=(t-1)2+2(t-1)-1t-1=(t-1)-1(t-1)+2≤176,所以b≥617.
故b的取值范围是617,+∞.
1.函数f(x)=ab-x的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>1,b<0B.a>1,b>0
C.0
2.已知x23+x-23=5,那么x13+x-13等于( )
A.7B.-7C.±7D.7
3.化简a3b2·3ab2(a14b12)4·3ba(a>0,b>0)的结果为( )
A.abB.abC.baD.ab2
4.若函数f(x)=13ax2-4x+1有最大值3,则实数a的值为( )
A.-2B.-1
C.1D.2
5.已知a=0.20.3,b=0.20.5,c=0.30.3,则以下关系不正确的是( )
A.b
7.(多选)函数f(x)=2x,对任意的x1,x2,其中x1≠x2,则下列结论中正确的是( )
A.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
B.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
C.f(-x1)=1f(x1)
D.f(x1)-1x1<0(x1≠0)
8.(多选)已知函数f(x)=2x-12x+1,下列说法正确的有( )
A.f(x)的图象关于原点对称
B.f(x)的图象关于y轴对称
C.f(x)的值域为(-1,1)
D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2>0
9.223×2-(2-5)2+15+2= .
(-17)-2+(279)12-(2-1)0= .
11.若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x)且在区间[0,+∞)上单调递减,f(x)的部分图象如图所示,则不等式f(x)≥|2x-1|的解集为 .
12.若a=2.50.4,b=2.50.3,c5=5,则a,b,c的大小关系为 .
13.若函数y=4x+a·2x+1的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是 .
14.若f(x)=ax,x>1,(4-a2)x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为 .
15.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=4x+a·2x+3,a∈R.
(1)当a=-4时,x∈[0,2],求函数f(x)的值域;
(2)若对任意的x∈(0,+∞),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.
17.已知函数f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函数f(x)为奇函数,求实数k的值;
(2)若对任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求实数k的取值范围.
能力提升
18.(多选)关于函数f(x)=4x-14x+1-a·2x,下列结论中正确的是( )
A.当a=0时,f(x)是增函数
B.当a=0时,f(x)的值域为(-1,+∞)
C.当a=1时,f(x)是奇函数
D.若f(x)的定义域为R,则a<2
19.(多选)已知a,b分别是方程2x+x=0,3x+x=0的两个实数根,则下列选项中正确的是( )
A.-1
21.已知a>0,函数f(x)=2 023x+1+2 0242 023x+1,x∈[-a,a]的最大值、最小值分别为M,N,则M+N= .
22.设函数f(x)=x+1,x≤0,2x,x>0,则满足f(x)+f(x-12)>1的x的取值范围是 .
23.(2023浙江温州)已知函数f(x)=4x+a2x为偶函数.
(1)求出a的值,并写出单调区间;
(2)若存在x∈[0,1]使得不等式bf(2x)+1≥f(x)成立,求实数b的取值范围.
优化集训6 指数与指数函数
基础巩固
1.A
2.C 解析 当x>0时,x13>0,x-13>0,此时x13+x-13>0;当x<0时,x13<0,x-13<0,此时x13+x-13<0.
∵(x13+x-13)2=x23+x-23+2=5+2=7,
∴x13+x-13=±7.故选C.
3.A 解析 原式=a32b·a16b13ab2·a-13b13=a32+16-1+13b1+13-2-13=ab-1.故选A.
4.D 解析 由于函数f(x)=13ax2-4x+1有最大值3,所以a>0,且当x=--42a=2a时,f(x)取得最大值为f2a=13a·2a2-4·2a+1=13-4a+1=34a-1=3,故4a-1=1,4a=2,a=2.故选D.
5.D 解析 ∵指数函数y=0.2x为减函数,∴0.20.3>0.20.5,即a>b,∵幂函数y=x0.3是增函数,∴0.30.3>0.20.3,即c>a,a,b,c的大小关系为0
7.BC
8.ACD 解析 f(x)=2x-12x+1的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=2-x-12-x+1=(2-x-1)2x(2-x+1)2x=1-2x1+2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,图象关于原点对称,故选项A正确,选项B不正确;f(x)=2x-12x+1=2x+1-22x+1=1-22x+1,因为2x>0,所以2x+1>1,所以0<12x+1<1,-2<-22x+1<0,所以-1<1-22x+1<1,可得f(x)的值域为(-1,1),故选项C正确;设任意的x1
9.433 解析 223×2-(2-5)2+15+2=2×233-(5-2)+5-25-4=433-5+2+5-2=433.
10.-45 解析 0.027-13-(-17)-2+(279)12-(2-1)0=130.027-49+259-1=103-49+53-1=-45.
11.[-2,1] 解析 由图可知f(-2)=f(2)=0.75,f(1)=1,
所以f(x)≥|2x-1|的解集为[-2,1].
12.b
13.(-∞,-2] 解析 设g(x)=4x+a·2x+1,若函数y=4x+a·2x+1的值域为[0,+∞),则等价于[0,+∞)是g(x)值域的子集,y=g(x)=4x+a·2x+1=(2x)2+a·2x+1,设t=2x,则t>0,则y=h(t)=t2+at+1.∵h(0)=1>0,∴当图象的对称轴t=-a2≤0,即a≥0时,不满足条件.当t=-a2>0,即a<0时,判别式Δ=a2-4≥0,即a<0,a≥2或a≤-2,则a≤-2,即实数a的取值范围是(-∞,-2].
14.[4,8) 解析 ∵当x>1时,f(x)=ax单调递增,∴a>1,
∵一次函数在(-∞,1]上单调递增,∴4-a2>0,a<8,
且当x=1时应有(4-a2)×1+2≤a1,解得a≥4.
综上可得,实数a的取值范围是[4,8).
15.(0,12) 解析 当0
16.解 (1)当a=-4时,令t=2x,由x∈[0,2],得t∈[1,4],
y=t2-4t+3=(t-2)2-1,
当t=2时,ymin=-1;
当t=4时,ymax=3.
∴函数f(x)的值域为[-1,3].
(2)设t=2x,则t>1,f(x)>0对任意的x∈(0,+∞)恒成立,等价于t2+at+3>0对任意的t∈(1,+∞)恒成立,
∴a>-(t+3t)在(1,+∞)内恒成立,
∴a>[-(t+3t)]max.
设g(t)=-( t+3t),t>1,函数g(t)在(1,3)内单调递增,在(3,+∞)上单调递减,
∴g(t)max=g(3)=-23,
∴a>-23,即a的取值范围为(-23,+∞).
17.解 (1)因为f(x)=2x+k·2-x,k∈R是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),x∈R,
即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),
所以k=-1.
(2)因为对任意的x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,
即2x+k·2-x>2-x成立,
所以1-k<22x对x≥0恒成立,所以1-k<(22x)min.
因为y=22x在[0,+∞)上单调递增,所以(22x)min=1,
所以k>0,即k的取值范围为(0,+∞).
能力提升
18.ACD 解析 当a=0时,f(x)=4x-14x+1=1-24x+1,u=4x+1,由函数u=4x+1单调递增,知函数y=1-2u在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=1-24x+1在R上单调递增,A符合题意;因为4x+1>1,0<14x+1<1,-2<-24x+1<0,所以f(x)=4x-14x+1=1-24x+1∈(-1,1),B不符合题意;当a=1时,f(x)=4x-14x+1-2x定义域为R,而f(-x)=4-x-14-x+1-2-x=1-4x1+4x-2x=-f(x),所以f(x)是奇函数,C符合题意;若f(x)的定义域为R,则4x+1-a·2x≠0恒成立,即a≠4x+12x,因为4x+12x=2x+12x≥2,当且仅当2x=12x,即x=0时,等号成立,所以a<2,D符合题意.故选ACD.
19.BD 解析 函数y=2x,y=3x,y=-x在同一坐标系中的图象如下,
所以-1
20.(-∞,1]∪[3,+∞) 解析 当x≥0时,函数f(x)=12x-x-12是减函数,且f(1)=-1,∴不等式f(x-2)≤-1⇔f(x-2)≤f(1),又函数是偶函数,∴|x-2|≥1,故x的取值范围是(-∞,1]∪[3,+∞).
21.4 047 解析 f(x)=2 023x+1+2 0242 023x+1=2 023+12 023x+1,
∴f(x)+f(-x)=4 047,
∴函数y=f(x)的图象关于点0,4 0472中心对称,
又M,N为函数f(x)=2 023x+1+2 0242 023x+1在[-a,a]上的最大值、最小值,故M+N=4 047.
22.-14,+∞ 解析 (方法1)令F(x)=f(x)+fx-12=2x+2x-12,x>12,2x+x+12,0
(方法2)当x-12≤0且x≤0时,由f(x)+fx-12>1得x+1+x-12+1>1,得-14
23.解 (1)因为f(x)=4x+a2x,
所以f(-x)=4-x+a2-x=1+a·4x2x.
由偶函数知f(-x)=f(x),解得a=1,
即f(x)=4x+12x=2x+12x,由对勾函数的性质知,当2x∈(0,1),即x∈(-∞,0)时函数单调递减,当2x∈(1,+∞),即x∈(0,+∞)时函数单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
(2)由题意可得b22x+122x+1≥2x+12x,
即b2x+12x2-2+1≥2x+12x,
令t=2x+12x∈2,52,b(t2-2)+1≥t,
(方法1)g(t)=bt2-t+1-2b,若g(t)≥0在2,52上有解,即g(t)max≥0.
若b<0,则g(t)max=g(2)=2b-1≥0,解得b≥12,此时无解.
若b=0,则g(t)max=g(2)=-1,不符合题意.
若12b≤94,即b≥29,此时g(t)max=g52=174b-32≥0,解得b≥617,
若12b>94,即0
(方法2)由b(t2-2)+1≥t得b≥t-1t2-2,
令g(t)=t-1t2-2,则b≥g(t)min.
g(t)=t-1t2-2=t-1(t-1)2+2(t-1)-1=1(t-1)-1(t-1)+2≥617,所以b的取值范围是617,+∞.
(方法3)由b(t2-2)+1≥t得1b≤t2-2t-1,
令g(t)=t2-2t-1,则1b≤g(t)max,g(t)=t2-2t-1=(t-1)2+2(t-1)-1t-1=(t-1)-1(t-1)+2≤176,所以b≥617.
故b的取值范围是617,+∞.
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