高中数学学考复习优化练习16向量与几何含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习16向量与几何含答案，共7页。

1.已知向量a,b的夹角为π3,|a|=2,|b|=1,则|a-2b|=( )
A.2B.23C.4D.43
2.在△ABC中,A=90°,AB=(2-k,2),AC=(2,3),则k的值是( )
A.5B.-5C.32D.-32
3.(2023浙江金华)如图,四边形ABCD为直角梯形,∠D=90°,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论错误的是( )
A.AC=AD+12ABB.MC=12AC+12BC
C.BC=AD-12ABD.MN=AD+14AB
4.已知向量m,n的夹角为π3,且|m+2n|=3,|m|=1,则|n|=( )
A.13B.1C.12D.2
5.已知向量a=(3,-1),b=(1,0),则a在b上的投影向量是( )
A.bB.0C.-bD.3b
6.已知a,b是单位向量,且a+b=(1,-1).若向量c=a-b,则a与c的夹角为( )
A.π6B.π4C.π3D.2π3
7.若平面向量a与b满足|a|=2,|b|=1,|a+b|=7,则a与b的夹角为( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
8.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|2a+b|=7,则b与b-a的夹角为( )
A.30°B.60°C.120°D.150°
9.(多选)(2023浙江丽水)已知a,b是单位向量,则下列说法正确的有( )
A.若a=-32,t,则t=12
B.若a,b不共线,则(a+b)⊥(a-b)
C.若|a-b|≥3,则a,b夹角的最小值是2π3
D.若a,b的夹角是3π4,则b在a上的投影向量是22a
10.(多选)(2023浙江浙南名校联盟)已知e1,e2是单位向量,且e1·e2=12,若该平面内的向量a满足a·e1=a·e2=1,则下列说法正确的有( )
A.=π6B.a⊥(e1-e2)
C.a=23(e1+e2)D.|a|=233
11.(2021浙江学考)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a·b=-1,则|a+b|= .
12.(2023浙江杭州)若向量a=12,32,b=(-1,3),则a在b上的投影向量的坐标为 .
13.若平面向量a,b满足|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,则a·(a-b)= .
14.若四边形ABCD是边长为2的菱形,且∠BAD=π3,则AB·AD= ,|AB-CB|= .
15.(2023浙江A9协作体)已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=ta+b(t∈R).
(1)若向量a,b的夹角为π3,且b⊥c,求t的值;
(2)若|c|的最小值为3,求向量a,b的夹角.
16.在平面四边形ABCD中,向量a=AB=(4,1),b=BC=(3,-1),c=CD=(-1,-2).
(1)若向量a+2b与向量b-kc垂直,求实数k的值;
(2)若DB=mDA+nDC,求实数m,n.
能力提升
17.已知单位向量e1,e2满足|e1|=|e1-e2|,则(e1-e2)与e2的夹角是( )
A.60°B.90°C.120°D.150°
18.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,满足AO=12(AB+AC),且|AB|=1.设与BC方向相同的单位向量为e,则向量BA在向量BC上的投影向量为( )
A.12eB.-12eC.32eD.-32e
19.(多选)(2023浙江杭州六县九校)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(λ,-1),λ∈R,μ∈R,则下列说法正确的有( )
A.若λ=1,则a+2b在c上的投影向量为-32c
B.与b共线的单位向量的坐标为255,55
C.若a=tb+c,t∈R,则λ+t=-4
D.|a+μb|的最小值为755
20.(2023浙江精诚联盟)已知向量b在单位向量a上的投影向量为-2a,则(a-b)·a= .
21.已知△ABC内接于圆O,且AB=4,AC=2,则AO·BC= ;若AO=AB+AC,则圆O的半径等于 .
22.(2023浙江温州A卷)在菱形ABCD中,AE=13AD,BF=23BC,记AB=a,AD=b.
(1)用a,b表示EF;
(2)若BD·EF=AB·DA,求cs A的值.
优化集训16 向量与几何
基础巩固
1.A 解析 ∵|a-2b|2=|a|2-4a·b+4|b|2=4-4×2×1×12+4=4,∴|a-2b|=2.故选A.
2.A 解析 ∵A=90°,即AB⊥AC,∴AB·AC=4-2k+6=0,解得k=5.故选A.
3.D 解析 由AC=AD+DC=AD+12AB,知A正确;由CM=12(CA+CB),得MC=12(AC+BC),知B正确;由BC=MD=AD-AM=AD-12AB,知C正确;由N为线段DC的中点,得MN=12MA+AD=AD-14AB,知D错误.
4.C 解析 因为向量m,n的夹角为π3,|m|=1,所以|m+2n|2=|m|2+4|m||n|csπ3+4|n|2=4|n|2+2|n|+1=3,解得|n|=12或|n|=-1(舍去).故选C.
5.D 解析 a在b上的投影向量为a·b|b|2b=31b=3b,故选D.
6.B 解析 由a+b=(1,-1),得a2+b2+2a·b=12+(-1)2=2.因为a,b是单位向量,所以1+1+2a·b=2,得a·b=0,则|a-b|2=a2+b2-2a·b=2,所以|a-b|=2.设a,c的夹角为θ,a,a-b的夹角为φ,所以cs θ=cs φ=a·(a-b)|a||a-b|=a2-a·b1×2=12=22,所以a与a-b的夹角为π4.
7.C 解析 |a+b|=(a+b)2=a2+b2+2a·b=|a|2+|b|2+2|a||b|cs=1+4+4cs=7,解得cs=12,=60°.故选C.
8.A 解析 由|2a+b|=7,得4|a|2+4a·b+|b|2=7,∵|a|=1,|b|=3,∴解得a·b=0,∴|b-a|=2.cs=b·(b-a)|b||b-a|=323=32,∴=30°.
9.BC 解析 对于A,因为向量a是单位向量,所以|a|=(-32) 2+t2=1,得t=±12,故A错误;对于B,(a+b)·(a-b)=a2-b2=1-1=0,所以(a+b)⊥(a-b),故B正确;对于C,|a-b|=(a-b)2=a2-2a·b+b2=2-2cs≥3,得cs≤-12,则∈2π3,π,所以a,b夹角的最小值是2π3,故C正确;对于D,b在a上的投影向量是|b|csa=-22a,故D错误.故选BC.
10.BCD 解析 因为e1,e2是单位向量,且e1·e2=12,所以e1·e2=|e1||e2|cs=cs=12,因为∈[0,π],所以=π3,故A错误;因为a·e1=a·e2,所以a·(e1-e2)=0,即a⊥(e1-e2),故B正确;设a=me1+ne2,m,n∈R,因为a·e1=a·e2=1,所以a·e1=(me1+ne2)·e1=m+12n=1,a·e2=(me1+ne2)·e2=12m+n=1,解得m=n=23,所以a=23(e1+e2),故C正确;因为|e1+e2|=e12+e22+2e1·e2=12+12+2×12=3,所以|a|=23|e1+e2|=233,故D正确.故选BCD.
11.3 解析 ∵|a+b|2=4+2×(-1)+1=3,∴|a+b|=3.
12.-14,34 解析 向量a=12,32,b=(-1,3),
则a在b上的投影向量的坐标为a·b|b|·b|b|=12·b2=14(-1,3)=-14,34.
13.24 解析 a·(a-b)=a2-a·b=36-24×12=24.
14.2 23 解析 由题意AB·AD=|AB||AD|csπ3=2×2×12=2,|AB-CB|=|AB+BC|=|AB+AD|=(AB+AD)2=AB2+2AB·AD+AD2=22+2×2+22=23.
15.解 (1)因为b⊥c,所以b·c=b·(ta+b)=0,
即ta·b+b2=0,所以t|a||b|csπ3+|b|2=0,
代入|a|=1,|b|=2得t+4=0,故t=-4.
(2)设a,b的夹角为θ,由c=ta+b得|c|2=(ta+b)2=t2a2+2ta·b+b2=t2+4cs θ·t+4=(t+2cs θ)2+4-4cs2θ,
故当t=-2cs θ时,|c|2有最小值4-4cs2θ.
由题意4-4cs2θ=3,解得cs θ=±12,
又θ∈[0,π],所以θ=π3或2π3.
16.解 (1)∵向量a+2b与向量b-kc垂直,
∴(a+2b)·(b-kc)=0.
∴(10,-1)·(3+k,-1+2k)=0.
∴30+10k+1-2k=0,∴k=-318.
(2)∵BD=BC+CD=(2,-3),∴DB=(-2,3).
∵AD=AB+BC+CD=(6,-2),
∴DA=(-6,2),DC=(1,2).
∵DB=mDA+nDC,∴(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2),
∴-2=-6m+n,3=2m+2n,解得m=12,n=1.
能力提升
17.C 解析 因为单位向量e1,e2满足|e1|=|e1-e2|,所以(e1-e2)2=e12-2e1·e2+e22=1,解得e1·e2=12,所以(e1-e2)·e2=e1·e2-e22=-12,cs<(e1-e2),e2>=(e1-e2)·e2|e1-e2||e2|=-12.因为0°≤<(e1-e2),e2>≤180°,所以<(e1-e2),e2>=120°.故选C.
18.A 解析 由AO=12(AB+AC)可知O为BC中点,所以△ABC为直角三角形,∠BAC=90°.因为|AB|=1,|BC|=2,所以∠ABC=60°,即向量BA与BC的夹角为60°.因此向量BA在向量BC上的投影向量为|BA|cs 60°·e=1×12e=12e.故选A.
19.AD 解析 对于A,当λ=1时,c=(1,-1),a+2b=(1,4),(a+2b)·c=1-4=-3,|c|=12+(-1)2=2,∴a+2b在c上的投影向量为(a+2b)·c|c|·c|c|=-32c,故A正确;对于B,与b共线的单位向量的坐标为b|b|=255,55和-b|b|=-255,-55,故B错误;对于C,∵a=tb+c,∴(-3,2)=(2t+λ,t-1),∴2t+λ=-3,t-1=2,解得t=3,λ=-9,∴λ+t=-6,故C错误;对于D,∵a+μb=(2μ-3,μ+2),∴|a+μb|=(2μ-3)2+(μ+2)2=5μ2-8μ+13=5(μ-45) 2+495≥495=755,∴|a+μb|的最小值为755,故D正确.故选AD.
20.3 解析 由向量b在单位向量a上的投影向量为-2a,可得a·b=-2a2=-2,所以(a-b)·a=a2-a·b=1-(-2)=3.
21.-6 2 解析 AO·BC=AO·(AC-AB)=12(AC2-AB2)=12(4-16)=-6.由AO=AB+AC得,OA=OB+OC,两边平方得,cs∠BOC=-12,∴∠BOC=2π3,∴∠BAC=π3,∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形,∴圆O的半径等于2.
22.解 (1)因为AE=13AD,BF=23BC,
所以EF=EA+AB+BF=-13AD+AB+23AD=13AD+AB=13b+a.
(2)设菱形ABCD的边长为t.
因为BD=AD-AB=b-a,所以(b-a)·13b+a=a·(-b),即13b2-a2=-53a·b,13t2-t2=-53t2cs A,解得cs A=25.