高中数学学考复习优化练习17正弦定理、余弦定理含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习17正弦定理、余弦定理含答案，共10页。

1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bsin A=3a,则B=( )
A.π6B.π6或5π6
C.π3D.π3或2π3
2.在△ABC中,若sin2A=sin B·sin C且(b+c+a)(b+c-a)=3bc,则该三角形的形状是( )
A.直角三角形B.钝角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
3.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c,若A∶B∶C=1∶1∶4,则a∶b∶c=( )
A.1∶1∶4B.1∶1∶2
C.1∶1∶3D.1∶1∶3
4.设a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=3,则“A=30°”是“B=60°”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.在△ABC中,a=3,b=1,A=60°,则B=( )
A.30°B.60°
C.30°或150°D.60°或120°
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin C-(2a+b)sin B=(a-b)sin A,则C=( )
A.π6B.π3或2π3C.2π3D.π6或5π6
7.(2023浙江浙北G2联盟)在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则cs C的值为( )
A.-12B.0C.23D.12
8.(2023浙江温州新力量联盟)已知△ABC的三边分别为a,b,c,且a2+b2=c2,则△ABC是( )
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不确定
9.(多选)(2023浙江杭州六县九校)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若A>B,则cs AB.若A=30°,b=5,a=2,则△ABC有两解
C.若cs Acs Bcs C>0,则△ABC为锐角三角形
D.若a-c·cs B=a·cs C,则△ABC为等腰三角形或直角三角形
10.(多选)(2023浙江钱塘联盟)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的有( )
A.若A=60°,a=3,则△ABC外接圆的半径等于1
B.若cs2A2=b+c2c,则此三角形为直角三角形
C.若a=3,b=4,B=π6,则此三角形必有两解
D.若△ABC是锐角三角形,则sin A+sin B>cs A+cs B
11.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=5,sin A=13,则sin B= ,其外接圆的半径为 .
12.若满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,则边AB的取值范围是 .
13.在△ABC中,若sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,则cs C= ;当BC=1时,△ABC的面积等于 .
14.(2023浙江余姚中学)在锐角三角形ABC中,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积S=312(a2+b2-c2).若24(bc-a)=btan B,则c的最小值是 .
15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若B=π3,且(a-b+c)(a+b-c)=37bc.
(1)求cs A的值;
(2)若a=5,求b的值.
16.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csBcsC+b2a+c=0.
(1)求角B的大小;
(2)若b=13,a+c=5,求△ABC的面积.
能力提升
17.在锐角三角形ABC中,A=2B,B,C的对边分别是b,c,则bb+c的取值范围是( )
A.14,13B.13,12
C.12,23D.23,34
18.(2023浙江奉化)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c-b=2bcs A.若λsin A-cs(C-B)<2恒成立,则实数λ的取值范围为( )
A.-∞,533B.-∞,533
C.(-∞,22)D.(-∞,22]
19.(多选)(2023浙江强基联盟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cs C=b2a-12,则下列选项正确的有( )
A.b>aB.ca∈(1,2)
C.C=2AD.tan C>3
20.在等腰三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,AB=AC,D为AC的中点,BD=1,则△ABC面积的最大值为 .
21.在△ABC中,已知tan A=14,tan B=35,且△ABC最长边的长为17,则△ABC的最短边的长为 .
22.(2023浙江丽水)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,AD=2DC,BD=2,且(a-c)sin(A+B)=(a-b)(sin A+sin B).
(1)求B;
(2)当2a+c取最大值时,求△ABC的周长.
优化集训17 正弦定理、余弦定理
基础巩固
1.D
2.D 解析 由正弦定理知,若sin2A=sin B·sin C,则a2=bc.
又(b+c+a)(b+c-a)=3bc,
所以(b+c)2=4bc,即b=c=a,所以该三角形是等边三角形.故选D.
3.D 解析 设A=x,则B=x,C=4x,所以x+x+4x=180°,解得x=30°,则A=30°,B=30°,C=120°,则a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=sin 30°∶sin 30°∶sin 120°=1∶1∶3.
4.B 解析 当a=1,b=3,A=30°时,由正弦定理得,sin B=bsinAa=3sin30°1=32,所以B=60°或120°,反之,当a=1,b=3,B=60°时,由正弦定理得,A=30°,故若a=1,b=3,则“A=30°”是“B=60°”的必要不充分条件,故选B.
5.A
6.C 解析 依题意,由正弦定理得c2-(2a+b)b=(a-b)a,c2-2ab-b2=a2-ab,a2+b2-c2=-ab,a2+b2-c22ab=-12,即cs C=-12.
因为07.A 解析 ∵a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,
∴cs C=32+52-722×3×5=-12.故选A.
8.A 解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由a2+b2=c2可知,c>a且c>b,角C为最大角.
因为a2+b2=c2,所以a2+b2+2ab>c2,即(a+b)2>c2,得a+b>c.
在△ABC中,由余弦定理得cs C=a+b-c2a·b>0,所以角C是锐角,故△ABC是锐角三角形.故选A.
9.ACD 解析 对于A,∵π>A>B>0,函数y=cs x在(0,π)上单调递减,
∴cs A对于B,由正弦定理可得asinA=bsinB,∴sin B=bsinAa=5×122=54>1,此时△ABC无解,故B错误.
对于C,∵cs Acs Bcs C>0,角A,B,C为三角形的内角,
∴csA>0,csB>0,csC>0,可知A,B,C均为锐角,故△ABC为锐角三角形,故C正确.
对于D,∵a-c·cs B=a·cs C,∴由正弦定理可得sin A=sin Acs C+sin Ccs B,又sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+sin Ccs B,
因此sin Bcs C+sin Ccs B=sin Acs C+sin Ccs B⇒sin Bcs C=sin Acs C,
∴bcs C=acs C,
∴(b-a)cs C=0,
∴b=a或cs C=0,即三角形为等腰三角形或直角三角形,故D正确.
故选ACD.
10.ABD 解析 设△ABC外接圆的半径为R,
根据正弦定理,2R=asinA=332=2,所以R=1,
则△ABC外接圆的半径等于1,故A正确.
cs2A2=1+csA2=b+c2c=2R·sinB+2R·sinC2·2R·sinC=sinB+sinC2sinC,
所以2sin C+2cs Asin C=2sin B+2sin C,
所以cs Asin C=sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,所以sin Acs C=0,
在三角形中,sin A>0,所以cs C=0,所以C=π2,则此三角形为直角三角形,故B正确.
因为a=3,b=4,B=π6,所以asin B=32,所以asin B因为△ABC是锐角三角形,所以0所以0<π2-Bcs A+cs B,故D正确.故选ABD.
11.59 92 解析 设△ABC的外接圆的半径为R,由asinA=bsinB=2R,
∴313=5sinB=2R,
∴sin B=59,R=92.
12.{1}∪[2,+∞) 解析 ∵满足∠ACB=30°,BC=2的△ABC有且只有一个,
∴如图,AB⊥AC,或AB≥2,
∴AB=1或AB≥2,
∴边AB的取值范围是{1}∪[2,+∞).
13.-14 31516 解析 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
∵在△ABC中,sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶4,
∴a∶b∶c=2∶3∶4,设a=2k,则b=3k,c=4k,k>0,
∴cs C=a2+b2-c22ab=4k2+9k2-16k22×2k×3k=-14.
当BC=1时,AC=32,∴△ABC的面积S=12×1×32sin C=34×1-116=31516.
14.233 解析 由面积公式得12absin C=312(a2+b2-c2),
即sin C=33·a2+b2-c22ab,
所以sin C=33cs C,tan C=33.
因为C∈0,π2,所以C=π6.
24(bc-a)=btan B变形得到c=tanB24+ab=tanB24+sinAsinB=tanB24+sin(B+π6)sinB=tanB24+32sinB+12csBsinB=tanB24+12tanB+32.
因为B∈0,π2,所以tan B>0.
由基本不等式得c=tanB24+12tanB+32≥2tanB24·12tanB+32=233,当且仅当tanB24=12tanB且tan B>0,即tan B=23时,等号成立.
15.解 (1)由(a-b+c)(a+b-c)=37bc,
可得a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=37bc,
即a2=b2+c2-117bc,即b2+c2-a2=117bc,
由余弦定理可得cs A=b2+c2-a22bc=1114.
(2)由(1)及三角函数的基本关系式,可得sin A=1-cs2A=5143,在△ABC中,由正弦定理可得bsinB=asinA,所以b=asinBsinA=5×325143=7.
16.解 (1)由题意及正弦定理得,csBcsC=-sinB2sinA+sinC,
即2sin Acs B+cs Bsin C=-sin Bcs C,
则2sin Acs B=-(sin Bcs C+cs Bsin C)=-sin(B+C)=-sin A.
∵A∈(0,π),
∴sin A≠0,
∴cs B=-12,
∵B∈(0,π),
∴B=2π3.
(2)由余弦定理得,b2=a2+c2-2accs B,
即13=(a+c)2-2ac-2accs2π3=25-2ac+ac=25-ac,解得ac=12.
∴S△ABC=12acsin B=6sin2π3=33.
能力提升
17.B 解析 ∵0sin C=sin(π-A-B)=sin(π-3B)=sin 3B=sin(B+2B)=sin Bcs 2B+cs Bsin 2B=sin B(2cs2B-1)+2sin Bcs2B=4cs2Bsin B-sin B=4(1-sin2B)sin B-sin B=3sin B-4sin3B,
所以由正弦定理可知bb+c=sinBsinB+sinC=sinBsinB+3sinB-4sin3B=14cs2B∈13,12.故选B.
18.B 解析 因为c-b=2bcs A,所以sin C-sin B=2sin Bcs A,
即sin Acs B+cs Asin B-sin B=2sin Bcs A,sin Acs B-sin B=sin Bcs A,sin Acs B-sin Bcs A=sin B,sin(A-B)=sin B.
又因为A,B,C均为锐角,所以A-B∈-π2,π2,所以A-B=B,A=2B.
C=π-A-B=π-3B,所以cs(C-B)=cs(π-4B)=-cs 4B=-(1-2sin22B)=2sin22B-1.
因为0λsin A-cs(C-B)<2恒成立,
即λsin 2B-(2sin22B-1)<2⇔-2sin22B+λsin 2B+1<2⇔2sin22B-λsin 2B+1>0恒成立,其中B∈π6,π4.
因为B∈π6,π4,所以2B∈π3,π2,sin 2B∈32,1.
设t=sin 2B,t∈32,1,则有2t2-λt+1>0在32,1内恒成立,则有λ<2t+1t对t∈32,1恒成立.
又当t∈32,1时,2t+1t>533,所以λ≤533.
故选B.
19.ACD 解析 ∵△ABC为锐角三角形,∴cs C=b2a-12>0,即b2a>12,可得b>a,故A正确.
由正弦定理可知,2cs C=sinBsinA-1,即2sin Acs C+sin A=sin B=sin(A+C)=sin Acs C+cs Asin C,
∴sin A=sin(C-A),又三角形为锐角三角形,
∴C-A=A,即C=2A,故C正确.
由C知,0π2,解得π6∴π3∴3∵ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cs A,而π6∴2cs A∈(2,3),故B错误.故选ACD.
20.23 解析 由题意易知23∴△ABC的面积S=12b2sin A=12b2·1-(54-1b2) 2=18·-9(b2-209) 2+2569≤18·2569=23,当且仅当b2=209,即b=253时,等号成立.
21.2 解析 在△ABC中,tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=14+351-14×35=1,即tan C=-1,所以C=135°,所以c=17.
因为tan B>tan A,所以角A所对的边最小.
由tan A=14可知sin A=1717.
由正弦定理可知asinA=csinC,所以a=sin A·csinC=1717×1722=2.
22.解 (1)因为A+B+C=π,所以(a-c)sin(A+B)=(a-c)sin C=(a-b)(sin A+sin B),
由正弦定理可得(a-c)c=(a-b)(a+b),整理得到a2+c2-b2=ac,所以cs B=a2+c2-b22ac=12.
而B∈(0,π),故B=π3.
(2)因为AD=2DC,所以BD-BA=2(BC-BD),所以BD=13BA+23BC,所以BD2=4=19BA2+49BC2+49BA·BC,
故36=c2+4a2+4accsπ3=c2+4a2+2ac,
整理得到(2a+c)2=36+2ac≤36+(2a+c)24,
故2a+c≤43,当且仅当a=3,c=23时,等号成立.
故此时b=3+12-3×23=3,对应的△ABC的周长为3+33.