高中数学学考复习优化练习12三角恒等变换含答案

这是一份高中数学学考复习优化练习12三角恒等变换含答案，共9页。试卷主要包含了函数f=1-2sin22x是，下列各式中值为1的是等内容，欢迎下载使用。

1.设函数f(x)=sin xcs x,x∈R,则函数f(x)的最小值是( )
A.-14B.-12
C.-32D.-1
2.函数f(x)=1-2sin22x是( )
A.偶函数且最小正周期为π2
B.奇函数且最小正周期为π2
C.偶函数且最小正周期为π
D.奇函数且最小正周期为π
3.(2023浙江嘉兴)已知α∈(0,2π),且cs α=csπ6,则α=( )
A.π6B.π6或5π6
C.π6或7π6D.π6或11π6
4.(2023浙江湖州)已知角α的顶点与坐标原点O重合,始边与x轴正半轴重合,它的终边经过点P(-4,3),则sinπ2+α·csπ2-α=( )
A.-1225B.1225
C.-925D.925
5.已知θ为锐角,且sin θ=35,则sinθ+π4=( )
A.7210B.-7210
C.±210D.-210
6.(2023浙江丽水)设a=12cs 7°-32sin 7°,b=2tan12°1+tan212°,c=1-cs44°2,则有( )
A.cC.a7.若cs(30°-α)-sin α=13,则sin(30°-2α)=( )
A.13B.-13C.79D.-79
8.函数f(x)=cs 2x-6csπ2+x的最大值为( )
A.4B.5C.6D.112
9.已知tanα+π12=-2,则tanα+π3=( )
A.-13B.13C.-3D.3
10.(多选)下列各式中值为1的是( )
A.tan12°+tan33°1-tan12°tan33°
B.sinπ12csπ12
C.sin 72°cs 18°+cs 72°sin 18°
D.2cs2π8-sin2π8
11.(多选)(2023浙江杭州)已知函数f(x)=sin x-cs x,则( )
A.f(x)的值域为[-2,2]
B.点π4,0是函数y=f(x)图象的一个对称中心
C.f(x)在区间π4,5π4上是增函数
D.若f(x)在区间[-a,a]上是增函数,则a的最大值为π4
12.已知csπ6-θ=a,则cs5π6+θ+sin2π3-θ的值是 .
13.若α∈π2,π,sinα+π4=13,则sin α= .
14.如图,点A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x轴正半轴的交点是C,点B的坐标为45,-35,∠AOC=α,若|AB|=1,则sin α= .
15.(2023浙江丽水)若α,β∈0,π2且cs α=513,sin β=35,则sin(α+β)= .
16.已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,它的终边过点P-35,-45.
(1)求sin(α+π)的值;
(2)若角β满足sin(α+β)=513,求cs β的值.
17.(2023浙江杭州八县区)在平面直角坐标系中,角α与角β的顶点均为坐标原点O,始边均为x轴的正半轴.若点P35,45在角α的终边上,将OP绕原点O按逆时针方向旋转π4后与角β的终边OQ重合.
(1)直接写出β与α的关系式;
(2)求cs(α+β)的值.
能力提升
18.sin57°-sin27°cs30°sin63°=( )
A.12B.32C.-12D.-32
19.(2023新课程全国Ⅰ)已知sin(α-β)=13,cs α·sin β=16,则cs(2α+2β)=( )
A.79B.19C.-19D.-79
20.(多选)(2023浙江嘉兴)如图,已知A(cs α,sin α),B(cs β,sin β)两点在单位圆O上,且都在第一象限,点M(xM,yM)是线段AB的中点,点C(xC,yC)是射线OM与单位圆O的交点,则( )
A.xM=csα+β2csα-β2
B.yM=12(sin α+sin β)
C.yC=csα+β2
D.sinα+β2>12(sin α+sin β)
21.(2023浙江温州A卷)若cs(x-20°)=2cs xsin 10°,则tan x= .
22.(2023浙江镇海中学)已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则cs(2α+2β)= .
23.已知0<α<π2,-π2<β<0,tan α=7,sin β=-55.
(1)求cs(α-β)的值;
(2)求tan(α-2β)的值,并确定α-2β的大小.
优化集训12 三角恒等变换
基础巩固
1.B 解析 因为f(x)=sin xcs x=12sin 2x,故选B.
2.A 解析 f(x)=1-2sin22x=cs 4x,故f(x)是偶函数且最小正周期为T=2π4=π2,故选A.
3.D 解析 由cs α=csπ6得,α=2kπ±π6,∵α∈(0,2π),∴α=π6,11π6,故选D.
4.A 解析 sinπ2+α·csπ2-α=sin α·cs α=35×-45=-1225,故选A.
5.A 解析 θ为锐角,且sin θ=35,由同角三角函数关系式可得cs θ=1-sin2θ=1-(35) 2=45,则sinθ+π4=sin θcsπ4+sinπ4cs θ=35×22+45×22=7210,故选A.
6.A 解析 a=12cs 7°-32sin 7°=sin 23°,b=2tan12°1+tan212°=tan 24°,c=1-cs44°2=sin 22°,∴c7.D 解析 由cs(30°-α)-sin α=13,得32cs α-12sin α=13,即cs(30°+α)=13,所以sin(30°-2α)=cs(60°+2α)=2cs2(30°+α)-1=2×19-1=-79.故选D.
8.B 解析 ∵f(x)=cs 2x-6csπ2+x=1-2sin2x+6sin x=-2sin x-322+112,∴当sin x=1时,f(x)max=5,故选B.
9.A 解析 tanα+π3=tanα+π12+π4=tan(α+π12)+tanπ41-tan(α+π12)·tanπ4=-2+11-(-2)×1=-13,故选A.
10.ACD 解析 选项A,tan12°+tan33°1-tan12°tan33°=tan(12°+33°)=tan 45°=1,符合题意;选项B,sinπ12csπ12=12sin2×π12=14,不符合题意;选项C,sin 72°cs 18°+cs 72°sin 18°=sin(72°+18°)=sin 90°=1,符合题意;选项D,2cs2π8-sin2π8=2cs2×π8=2csπ4=1,符合题意.故选ACD.
11.ABD 解析 因为f(x)=sin x-cs x=2sinx-π4,所以函数的值域为[-2,2],故A正确;又因为fπ4=2sinπ4-π4=0,所以点π4,0是函数y=f(x)图象的一个对称中心,故B正确;当x∈π4,5π4时,x-π4∈[0,π],由正弦函数的性质可知函数在[0,π]不单调,故C错误;由-π2≤x-π4≤π2,可得-π4≤x≤3π4,即函数f(x)=2sinx-π4在-π4,3π4上单调递增,又因为f(x)在区间[-a,a]上是增函数,所以a≤π4,即a的最大值为π4,故D正确.故选ABD.
12.0 解析 ∵cs5π6+θ=csπ-π6-θ=-csπ6-θ=-a,sin2π3-θ=sinπ2+π6-θ=csπ6-θ=a,∴cs5π6+θ+sin2π3-θ=0.
13.2+46 解析 由α∈π2,π,α+π4∈3π4,5π4,又因为sinα+π4=13,所以α+π4∈3π4,π,得csα+π4=-1-19=-223,所以sin α=sinα+π4-π4=sinα+π4csπ4-csα+π4sinπ4=13×22+223×22=2+46.
14.-3+4310 解析 ∵点A,B在圆O上,且点A位于第一象限,圆O与x轴正半轴的交点是C,点B的坐标为45,-35,故圆的半径为1.∵∠AOC=α,|AB|=1,故△AOB为等边三角形,∠BOC=60°-α,cs∠BOC=cs(60°-α)=45,sin∠BOC=sin(60°-α)=35.则sin α=sin[60°-(60°-α)]=sin 60°cs(60°-α)-cs 60°sin(60°-α)=32×45-12×35=43-310.
15.6365 解析 因为α∈0,π2且cs α=513,所以sin α=1-cs2α=1-(513) 2=1213,又因为β∈0,π2且sin β=35,所以sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=1213×45+513×35=6365.
16.解 (1)由角α的终边过点P-35,-45,
得sin α=-45,所以sin(α+π)=-sin α=45.
(2)由角α的终边过点P-35,-45,得cs α=-35,
由sin(α+β)=513,得cs(α+β)=±1213.
由β=(α+β)-α,得cs β=cs(α+β)cs α+sin(α+β)sin α,
所以cs β=-5665或cs β=1665.
17.解 (1)由题意可得β=α+π4.
(2)∵P35,45,∴cs α=35,sin α=45,
∴cs 2α=2cs2α-1=2×352-1=-725,
sin 2α=2sin αcs α=2×35×45=2425.
∵β=α+π4,∴cs(α+β)=cs2α+π4=cs 2α·csπ4-sin 2α·sinπ4=-725×22-2425×22=-31250.
能力提升
18.A 解析 sin57°-sin27°cs30°sin63°
=sin27°cs30°+cs27°sin30°-sin27°cs30°cs27°
=sin 30°=12.
19.B 解析 由题意,∵sin(α-β)=13,cs αsin β=16,∴sin(α-β)=sin αcs β-cs αsin β=sin αcs β-16=13,解得sin αcs β=12.∵sin(α+β)=sin αcs β+cs αsin β=12+16=23,∴cs(2α+2β)=cs [2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×232=19.故选B.
20.AB 解析 已知A(cs α,sin α),B(cs β,sin β)两点在单位圆O上,且都在第一象限,点M(xM,yM)是线段AB的中点,对于选项A,xM=12(cs α+cs β)=12×2csα+β2·csα-β2=csα+β2csα-β2,即选项A正确;对于选项B,yM=12(sin α+sin β),即选项B正确;对于选项C,由题意可得∠COx=β-α2+α=β+α2,则yC=sinβ+α2,即选项C错误;对于选项D,取α=π6,β=7π3,则sinα+β2=sin5π4=-22,12(sin α+sin β)=12×12+32=1+34,此时sinα+β2<12(sin α+sin β),故D错误.故选AB.
21.-3 解析 (方法1)cs(x-20°)=2cs xsin 10°=2cs xsin(30°-20°),∴cs xcs 20°+sin xsin 20°=cs xcs 20°-3cs xsin 20°,
∴sin xsin 20°=-3cs xsin 20°,∴tan x=-3.
(方法2)由cs(x-20°)=cs xcs 20°+sin xsin 20°可得cs xcs 20°+sin xsin 20°=2cs xsin 10°,将等式两边同时除以cs x可得,cs 20°+tan xsin 20°=2sin 10°,所以tan x=2sin10°-cs20°sin20°.2sin10°-cs20°sin20°=2sin(30°-20°)-cs20°sin20°=2sin30°cs20°-2cs30°sin20°-cs20°sin20°=-2cs 30°=-3,所以tan x=-3.
22.-14 解析 已知α,β为锐角,且4sin2α+2sin2β=1,2sin 2α-sin 2β=0,则4×1-cs2α2+2×1-cs2β2=1,
整理得2cs 2α+cs 2β=2,
故4cs22α+4cs 2αcs 2β+cs22β=4,①
4sin22α-4sin 2αsin 2β+sin22β=0,②
①+②得4+4(cs 2αcs 2β-sin 2αsin 2β)+1=4,
故cs(2α+2β)=cs 2αcs 2β-sin 2αsin 2β=-14.
23.解 (1)∵0<α<π2,由tanα=sinαcsα=7,sin2α+cs2α=1,
∴sin α=7210,cs α=210,
又-π2<β<0,sin β=-55,∴cs β=255,
∴cs(α-β)=cs αcs β+sin αsin β=255×210-55×7210=-1010.
(2)由(1)可知,tan β=-12,∴tan 2β=2tanβ1-tan2β=-43,
∴tan(α-2β)=tanα-tan2β1+tanαtan2β=-1,
∵0<α-2β<3π2,∴α-2β=3π4.