广西壮族自治区防城港市防城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．）
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，学会如何化简二次根式是解题的关键．利用最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A． 是最简二次根式，符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，，不符合题意；
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的混合运算法则，首先化简二次根式再合并同类项是解决问题的关键．根据二次根式的运算法则，分别进行运算即可得出答案．
【详解】解：A、无法计算，故此选项错误，不符合题意；
B、，故此选项错误，不符合题意；
C、，故此选项正确，符合题意；
D、，故此选项错误，不符合题意；
故选∶C．
3. 能与合并的是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：，
A、，能与合并，符合题意；
B、，不能与合并，不符合题意；
C、2不能与合并，不符合题意；
D、不能与合并，不符合题意；
故选：A．
4. 以下列各组线段为边作三角形，能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 6，8，C. 5，8，D. 1，2，3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，判断三角形是否为直角三角形只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，能构成直角三角形，故本选项正确；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
5. 如图，四边形中，对角线与相交于点O，不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项A符合题意，
B、∵,
∴四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、∵，
∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：A．
6. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D. 0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
7. 如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=12，
∴2S1=12，
∴S1=6，
故选：C．
【点睛】题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
8. 如图，在中，，为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；先根据勾股定理可得，根据为斜边上的中线，即可求解．
【详解】∵，
∴，
∵点D为的中点，
∴为斜边上的中线，
∴，
故选：B．
9. 如图，在中，，的平分线交边于点，则的长是（ ）
A. 6B. 5C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可．
【详解】解∶ ∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
又∵的平分线交边于点E，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，，矩形的顶点B在直线a上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，过点作是解题的关键．
过点作，利用矩形的性质和平行线的判定与性质解答即可．
【详解】解：过点作，如图，
．
四边形为矩形，
，
，，
，
，
故选：C．
11. 《九章算术》是中国古代的数学著作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺寸），则的长是（ ）
A. 26寸B. 寸C. 52寸D. 101寸
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据，勾股定理列式计算即可．
【详解】如图，取的中点为O，则的中点也为O，
根据题意可知：寸，
∴寸，
设寸，则寸，
∵，寸，
∴，
解得：，
∴（寸）．
故选D．
12. 如图，正方形的边长为12，点M在上，且，N是上一动点，则的最小值为（ ）
A. 12B. 15C. D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，用一条线段的长表示出两线段和的最小值是解题的关键．连接，，先由对称性得出的最小值为的长，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解∶连接，，
对角线所在直线是正方形的一条对称轴，
．
的最小值为的长
四边形是边长为12的正方形，，
在中，
的最小值为15．
故选∶B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 式子有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 比较大小：__________（填“>”或“<”或“=”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键．
【详解】解：∵，而，
∴，
故答案为：．
15. 在平行四边形中，，则__________．
【答案】##100度
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．根据平行四边形的对角相等，即可求得答案
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
．
故答案为：．
16. 如图，D、E分别是边上的中点，如果的周长是14．则的周长是__________．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据线段中点的定义、三角形中位线定理得到，，，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：D、E分别是的边上的中点，
是的中位线，
，，，
的周长是14，
，
的周长，
故答案为：7．
17. 如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为_______度．
【答案】30
【解析】
【分析】
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=∠ADC=90°，AD=BC=DC，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=∠DEC=60°，DE=DC=CE，
∴∠ADE=∠BCE=90°+60°=150°，AD=DE=BC=CE，
∴∠DEA=∠CEB=（180°﹣150°）=15°，
∴∠AEB=60°﹣15°﹣15°=30°；
故答案为：30．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．正方形的性质；4．综合题．
18. 张老师和“数学小分队”的队员们在学习数学史时，发现了一个著名的“希波克拉蒂月牙问题（）”：如图在中，，分别以的各边为直径作半圆，则图中两个“月牙”即阴影部分面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理、根据圆的面积公式和直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∴图中两个“月牙”即阴影部分面积为
，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握相关运算法则，正确的计算．
（1）先化简各式，再进行计算即可；
（2）利用除法法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：

．
20 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算法则掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则是解题的关键．先利用平方差公式计算，再根据二次根式的混合计算法则，即可求解．
【详解】解：原式
故答案为：．
21. 已知：如图，在中，点分别在上，．
（1）请判断的位置关系，并说明理由；
（2）求证：．
【答案】（1），理由见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质，结合平行线的判定与性质即可得到的位置关系；
（2）由平行四边形性质得到，再由两个三角形全等的判定定理求证即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
理由如下：
在中，，
，
，
．
；
【小问2详解】
证明：在中，，
在和中，
．
【点睛】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的性质、平行线的判定与性质、两个三角形全等的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质、两个三角形全等的判定是解决问题的关键．
22. 如图，四边形中，对角线相交于点O，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等：
（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，结合可证四边形是矩形；
（2）由矩形的性质可得，结合可证是等边三角形，推出，再利用勾股定理解即可．
【小问1详解】
证明：，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
．
，
是等边三角形，
，
，
在中，．
23. 如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且BE＝CF．
求证：
（1）AE＝BF；
（2）AE⊥BF．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等，即可得出结论；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF．
【详解】证明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF；
（2）∵△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，
∴AE⊥BF．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，确定出AE与BF所在的三角形并证明三角形全等是解题的关键．
24. 如图，在中，对角线与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质与判定；
（1）根据已知条件得出，即可证明平行四边形是菱形，根据菱形的性质，即可得证；
（2）在中，勾股定理求得，进而根据菱形的性质即可求解．
【小问1详解】
证明：，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，是菱形，，
，
，
在中，，
，
，
，
．
25. 【综合实践】
【问题情境】消防云梯的作用是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层救援现场，如图，已知一架云梯长斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙角的距离，．
【独立思考】（1）求这架云梯顶部距离地面的长度．
【深入探究】（2）消防员接到命令，按要求将云梯从顶部A下滑到位置上（云梯长度不改变），则底部B沿水平方向向前滑动到位置上，若，求的长度．
【问题解决】（3）在演练中，墙边距地面的窗口有求数声，消防员需调整云梯去救援被困人员．经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的窗口去救援被因人员？
【答案】（1）长为；（2）的长度为；（3）在相对安全的前提下，云梯的项端能到达高的窗口去救援被困人员
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
（1）根据勾股定理即可求出；
（2）先求出，根据勾股定理求出，进一步即可求出；
（2）当云梯的顶端到达24m高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为，根据，即可得到在相对安全的前提下，云梯的顶端能到达高的窗口去救援被困人员．
【详解】解：（1）在中，
，
答：OA长为；
（2），
，
在中，
，
答：的长度为 ；
（3）当云梯的顶端到达高的窗口时，根据勾股定理得云梯的底端距离墙的距离为：，
， ，
∴在相对安全的前提下，云梯的项端能到达高的窗口去救援被困人员．
26. 【探究与证明】
数学课上，老师让同学们以小组为单位，翻折矩形纸片进行探究活动．同学们经过动手操作探究，发展空间观念，积累数学活动经验．
【问题情境】如图，在矩形中，，将矩形纸片进行折叠．
【动手操作】（）如图，奋斗小组将该矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，则与的关系为：
（）在（）的条件下，求的值．
【类比操作】（）如图，希望小组将矩形沿着（点分别在边，边上）所在的直线折叠，点的对应点为点，连接，求证：四边形是菱形．
【答案】（）；（）；（）证明见解析．
【解析】
【分析】（）由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，进而得，，由即可得；
（）由得，设，则，
在中，由勾股定理可得，解方程即可求解；
（）证明即可求证；
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，菱形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：（）∵四边形为矩形，
∴，，
由折叠可得，，，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；
（），
，
设，则，
在中，，
即 ，
，
即；
（）四边形为矩形，
，
，
由折叠性质可得，，
，
，
，
四边形为菱形．