广西壮族自治区柳州市柳江区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：90分钟 满分100分）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的班别、姓名、考号填写在试卷及答题卡指定位置，将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题卡区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的。）
1. 二次根式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【详解】由题意得，，
∴，
故选：B．
2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1，2，3B. 3，4，5C. 4，5，6D. 7，8，9
【答案】B
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、因为12+22≠32，故不是勾股数；故此选项错误；
B、因为32+42=52，故是勾股数．故此选项正确；
C、因为42+52≠62，故不是勾股数；故此选项错误；
D、因为72+82≠92，故不是勾股数．故此选项错误；
故选B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的计算．根据题意，逐项计算判断即可．
【详解】解：A.，此项不正确；
B.，此项正确；
C.不能再化简，此项不正确；
D.不能再化简，此项不正确．
故选：B．
4. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、＝＝3，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，依据定义准确判断是解题关键．
5. 如图，正方形的面积是（ ）
A. 5B. 25C. 7D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先由勾股定理求出AD的长，再根据正方形的面积公式计算出面积即可．
【详解】在Rt△AED中，AE=3，DE=4，
∴，
∴正方形的面积=，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用以及正方形面积的求法，运用勾股定理求出AD=5是解答本题的关键．
6. 小军不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店配成了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的定义以及性质，解题的关键是理解如何确定平行四边形的四个顶点，四个顶点的位置确定了，平行四边形的大小就确定了．确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题．
【详解】解：只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点，
∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小．
故选B．
7. 估计的值应在（ ）
A. 3和4之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的大小估算．根据题意，先化简，再对化简后的式子进行估算即可．
【详解】解：
．
故选：C．
8. 已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次根式的定义．根据题意是整数，则被开方数是一个平方数即可．
【详解】解：是整数
是一个平方数
是正整数
的最小值是3．
故选：B．
9. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如．如果大正方形的面积是16，直角三角形的直角边长分别为a，b，且，那么图中小正方形的面积是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据大正方形的面积即可求得，利用勾股定理可以得到，然后根据求得即可求得的值，结合即可求解．
【详解】解：∵大正方形的面积是16，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵小正方形的边长为：，
∴．
故选C
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理的应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解本题的关键．
10. 平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为，，，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，判定点所在象限，画出图形是解题的关键，注意分类讨论．
根据题意画出图形，即可求解．
【详解】解：根据题意画出图形：
、、三点位置如图所示，要使四边形为平行四边形，
则点有三种可能，
即分别以、、为对角线的平行四边形，
第四个顶点不可能在第一象限．
故选：A．
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11. 化简：______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念求解即可．
【详解】解：因为32=9，
所以=3．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的意义，关键是确定被开方数是哪个正数的平方．
12. 在平行四边形中，若，则______度．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等即可求解．
【详解】解：在平行四边形中，
．
故答案为：．
13. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查同类二次根式．根据题意，先化简，后被开方数相等即可．
【详解】解：和最简二次根式是同类二次根式
．
故答案为：．
14. 如图，一棵大树（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面6米的处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为8米，则这棵大树在折断前的高度为______米．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用．先计算,再算即可．
【详解】解：
即这棵大树在折断前的高度为16米．
故答案为：16．
15. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____．

【答案】3
【解析】
【分析】只要证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明得出．
16. 如图，，过点作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得______．
【答案】45
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．根据题意，先算出，再找规律即可．
【详解】解：由勾股定理得
……
．
故答案为：45．
三、解答题（本大题共7题，共52分．解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的运算．根据题意，先算算术平方根，再算除法，最后算减法即可．
【详解】解：原式=
．
18. 计算：下面是李红同学在解答某个题目时的计算过程，请认真阅读并完成任务．
解：
…………第一步
…………第二步
…………第三步
任务一：以上步骤中，从第______步开始出现错误，这一步错误原因是______．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】任务一：一， 完全平方公式运用错误
任务二：，详见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算等知识点， 任务一：根据二次根式的混合运算法则逐步判断即可，任务二：根据二次根式的混合运算法则逐步计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】任务一：以上步骤中，从第 一 步开始出现错误，这一步错误的原因是 完全平方公式运用错误 ．
故答案为：一，完全平方公式运用错误；
任务二：正确解法如下：
．
19. 如图，在中，已知，，于点D，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质确定D点为中点，再根据勾股定理在中即可解答；
【详解】∵
在 中
边上的高的长为
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，解答该题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质
20. 上有天堂，下有苏杭，中间还有个周庄，周庄是一座江南小镇，有“中国第一水乡”之美誉，其平面图如①所示，小明据此构造出该庄的一个数学模型如图②所示，其中，求该庄的面积．
【答案】该庄的面积为234
【解析】
【分析】根据勾股定理求出线段长度，根据勾股定理的逆定理求出，分别求出和的面积即可．
【详解】解：在中，，
由勾股定理得：
，
，
，
，
∴四边形的面积：
，
答：该庄的面积为234．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积，能熟记勾股定理的逆定理和勾股定理的内容是解此题的关键．
21. 在中，平分交于点E．

（1）尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：作平分，交于点F；
（2）证明：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）由平行四边形的性质得到，，根据角平分线及平行线的性质推出，得到，由此利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形解答．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，作角平分线，正确掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
22. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度，将它往前推送2m（水平距离）时，秋千踏板离地的垂直高度，秋干的绳索始终拉得很直，

（1）求绳索的长
（2）直接写出将它往前推送1.5m（水平距离时，秋千踏板离地的垂直高度___________m，
【答案】（1）25m
（2）1m
【解析】
【分析】（1）由题意得，，在Rt中根据勾股定理求解；
（2）在Rt中,根据勾股定理求解得，进而求得，．
【小问1详解】
解：由题意得，
∵
∴
设 则
∵
∴
Rt中根据勾股定理得
∴
解得
答：绳索的长是2.5米
【小问2详解】
在Rt中,根据勾股定理得
∴，解得
∴
∴．
【点睛】本题考查解直角三角形，理解直角三角形、扇形、矩形的组合图形中线段的数量关系解题的关键．
23. 【三角形中位线定理】已知：在中，点D、E分别是边的中点．直接写出和的关系；
【应用】如图②，在四边形中，点E、F分别是边的中点，若，，，．求的度数；
【拓展】如图③，在四边形中，与相交于点E，点M，N分别为中点，分别交于点F、G，．求证：．

【答案】[三角形中位线定理]见解析；[应用]；[拓展]见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键．
[三角形中位线定理]根据三角形中位线定理即可得到结论；
[应用]连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理逆定理得到，计算即可；
[拓展]取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论．
【详解】解：[三角形中位线定理]，；
理由：点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，；
[应用]连接，如图所示，

、分别是边、的中点，
，，
，
，，
，，
，
，
；
[拓展]证明：取的中点，连接、．

、分别是、的中点，
是的中位线，
且，
同理可得且．
，
，
，，
，，
，
，
．