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2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年北京市朝阳区日坛中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若二次根式 x−8有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠8B. x≥8C. x≤8D. x=8
2.下列各式中，化简后能与 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 23D. 0.2
3.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 7，3，5C. 6，8，10D. 5，12，12
4.平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为( )
A. 120°
B. 60°
C. 30°
D. 15°
5.若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为( )
A. 60B. 30C. 24D. 15
6.下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是( )
A. AC=BDB. AB⊥CDC. AD=BDD. AC⊥BD
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，∠ABO=60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE=60°时，EF的长为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
8.已知O为数轴原点，如图，
(1)在数轴上截取线段OA=2；
(2)过点A作直线n垂直于OA；
(3)在直线n上截取线段AB=3；
(4)以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC=5；②OB= 13；③3A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知x= 5+ 3，y= 5− 3，则xy=______．
10.写出“菱形的四条边都相等”的逆命题______，并判断你写出的命题的真假______(填“真”或“假”)．
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，则S3=______．
12.在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为______ 米．
13.在平行四边形ABCD中，若增加条件______，则可得四边形ABCD为矩形．
14.如图，在Rt△ABC中，点D是边AB的中点，若AB=4，则CD=______．
15.如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角∠DAB也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠DAB是______度时，两条对角线长度相等．
16.“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、 10、 13，求这个三角形的面积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中△ABC的面积______；
(2)若△DEF中有两边的长分别为 5a、 17a(a>0)，且△DEF的面积为3a2，写出它的第三条边长______(试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为a的网格中画出符合题意的△DEF)．
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(2 6+ 23)× 3− 32．
18.(本小题5分)
已知x= 3+1，求代数式x2−2x的值．
19.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF．
求证：AE//CF．
20.(本小题5分)
如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．
(1)写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
(2)求CF的长．
21.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长．
22.(本小题5分)
阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
方法一
已知：如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
∵AE=CE，EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形(依据a)．
∴CF−//DA．
∴CF−//BD．
∴四边形DBCF是平行四边形(依据b)．
∴DF−//BC．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
方法二
已知：如图②，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
证明：过点C作CF//AB，与DE的延长线交于点F．
∴∠A=∠FCE．
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(依据c)．
∴AD=CF(依据d)．
又AD=BD，
∴CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF−//BC(依据e)．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据a：______；
依据b：______；
依据c：______；
依据d：______；
依据e：______．
23.(本小题5分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE=CD，连接AE，OE．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)若AD=DE=4，求OE的长．
24.(本小题5分)
下面是小明设计的作菱形ABEF的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF(点E在BC上，点F在AD上)．
作法：如图，
①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF，所以四边形ABEF为所求的菱形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴ ______= ______，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，即AF//BE，
∴四边形ABEF为______形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．
25.(本小题6分)
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
M=a+b2称为a，b这两个数的算术平均数，
N= ab称为a，b这两个数的几何平均数，
P= a2+b22称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整；
(1)若a=−1，b=−2，则M=______；N=______；P=______；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知，当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：______(把M、N、P从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接)．
26.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．
(1)依题意补全图1；
(2)猜想AG和DH的数量关系并证明；
(3)若∠DAB=70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：二次根式 x−8有意义，则x−8≥0，
解得：x≥8．
故选：B．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 12=2 3，不能与 2合并；
B、 8=2 2，能与 2合并；
C、 23= 63，不能与 2合并；
D、 0.2= 55，不能与 2合并；
故选：B．
先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
3.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵( 7)2+32≠52，
∴以 7，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵62+82=102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵52+122≠122，
∴以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边
a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=∠C=60°．
故选：B．
先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠B=2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．
本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S=12×10×6=30．
故选：B．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
6.【答案】D
【解析】解：A、AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、AB⊥CD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C、AD=BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、AC⊥BD，对角线垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形ABCD是菱形，符合题意；
故选：D．
根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可．
本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°，
又∵∠ABO=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAE=30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE=60°，
∴∠AEO=180°−60°−30°=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB=EF=2．
故选：C．
证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO=60°，由三角形内角和求出∠AEO=90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得，OA=2，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB= 22+32= 13，
故②正确；
∵OC=OB，
∴OC= 13，
∴③正确，①错误；
∴AC=OC−OA= 13−2≠1，
故④错误；
故选：C．
由勾股定理求得OB，进而得OC，AC，再判断结论的正误．
本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，关键是由勾股定理求得OB．
9.【答案】2
【解析】解：因为x= 5+ 3，y= 5− 3，
所以xy=( 5+ 3)( 5− 3)
=( 5)2−(( 3)2
=5−3
=2，
故答案为：2．
根据平方差公式和二次根式的运算法则计算即可．
此题考查了平方差公式和二次根式．解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的运算法则．
10.【答案】四条边都相等的四边形是菱形 真
【解析】解：逆命题为：四条边都相等的四边形是菱形，是真命题；
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，真．
写出逆命题，判断命题的真假．将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据菱形的判定方法，判定命题的真假即可．
本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定是解题的关键．
11.【答案】14
【解析】解：∵∠ACB=90°，S1=6，S2=8，
∴AC2=6，BC2=8，
∴AB2=14，
∴S3=14，
故答案为：14．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
12.【答案】32
【解析】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，且AB=2DE，
∵DE=16米，
∴AB=32米．
故答案为：32．
可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE//AB，且AB=2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离．
此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13.【答案】∠A=90°或AC=BD
【解析】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以在平行四边形ABCD中，增加AC=BD即可判定四边形ABCD为矩形；
因为有一个内角是直角的平行四边形是矩形，
所以在平行四边形ABCD中，增加∠C=90°即可判定四边形ABCD为矩形．
故答案为：∠A=90°，AC=BD (答案不唯一)
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可得出答案．
此题主要考查学生对矩形的判定，平行四边形的性质的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放题目．
14.【答案】2
【解析】解：∵在Rt△ABC中，点D是边AB的中点，若AB=4，
∴CD=12AB=2，
故答案为：2．
根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握此性质是解题的关键．
15.【答案】90
【解析】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠DAB=90°．
故答案为：90．
分析题意，可知变化后的平行四边形的对角线长度；根据上述分析，可联想到对角线相等的平行四边形是矩形；接下来想一想矩形关于角的性质，相信你能直接得到答案．
本题侧重考查平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
16.【答案】72 2 2a
【解析】解：(1)由图可知：△ABC的面积=12(2+3)×3−12×2×1−12×2×3=72；
故答案为：72．
(2)如图：
此时：DE= (2a)2+a2= 5a,EF= (4a)2+a2= 17a，
S△DEF=4a⋅2a−12⋅2a⋅a−12⋅4a⋅a−12⋅2a⋅2a=3a2，满足题意，
∴DF= (2a)2+(2a)2=2 2a；
故答案为：2 2a．
(1)利用分割法求三角形的面积即可；
(2)根据题意，画出△DEF，求解即可．
本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2 6× 3+ 23×3−4 2
=6 2+ 2−4 2
=3 2．
【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：x2−2x=x(x−2)，
当x= 3+1时，
原式=( 3+1)( 3−1)
=2．
【解析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∵AD//BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．
【解析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，进而证得AF=CE，从而证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．
20.【答案】△ACF
【解析】解：(1)由折叠可得，∠BAC=∠EAC，
由AB//CD可得，∠BAC=∠DCA，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形，
故答案为：△ACF；
(2)设CF=x，则AF=x，DF=4−x，
∵∠D=90°，
∴Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
即32+(4−x)2=x2，
解得x=258，
∴CF=258．
(1)依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF=CF，进而得出△ACF是等腰三角形；
(2)设CF=x，则AF=x，DF=4−x，依据勾股定理即可得到x的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，CF=3，BF=4，
∴BC=5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB//DC，
∴∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=5．
【解析】(1)先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定即可得到证明；
(2)根据勾股定理求出BC长，求出AD=DF，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等 平行四边形的对边平行且相等
【解析】解：方法一
延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
∵AE=CE，EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
∴CF−//DA．
∴CF−//BD．
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴DF−//BC．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
方法二
过点C作CF//AB，与DE的延长线交于点F．
∴∠A=∠FCE．
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等)．
∴AD=CF(全等三角形的对应边相等)．
又AD=BD，
∴CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF−//BC(平行四边形的对边平行且相等)．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；平行四边形的对边平行且相等．
方法一：证出四边形ADCF是平行四边形，得出CF−//DA.则CF−//BD.证出四边形DBCF是平行四边形，得出DF−//BC，进而得出结论．
方法二：证△ADE≌△CFE，得出AD=CF，则CF=BD.证出四边形DBCF是平行四边形．得出DF−//BC，进而得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
(2)∵AD=DE=4，∠ADE=90°，
∴AE=4 2，
∴BD=AE=4 2．
在Rt△BAD中，O为BD中点，
∴AO=12BD=2 2．
∵AD=DE=CD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠EAO=∠OAD+∠DAE=45°+45°=90°，
∴OE= AE2+AO2=2 10．
【解析】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．
(1)根据平行四边形的判定即可求出答案．
(2)先证明矩形ABCD是正方形，然后根据正方形的性质即可求出答案．
24.【答案】AF BE 平行四边
【解析】(1)解：如图即为所求，
(2)证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，即AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．
故答案为：AF，BE，平行四边．
(1)根据题意作图即可；
(2)根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可．
本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定以及菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．
25.【答案】解：(1)−32； 2 ； 102 ；
(2)①图形如下：
②N≤M≤P．
【解析】解：(1)将a=−1，b=−2代入M，N，P的定义式，
得：M=−1−22=−32，N= −1×(−2)= 2，P= (−1)2+(−2)22= 102，
故答案为−32， 2， 102；
(2)①见答案；
②根据M2，P2，N2所表示的面积大小可得：
当a≠b时，N当a=b时，N=M=P，
∴N≤M≤P，
故答案为N≤M≤P．
(1)将a，b的值直接导入M，P，N的定义式即可；
(2)①根据M2，P2所表示的面积大小找到对应的区域即可；
②根据图象上所表示的面积大小及a，b的取值情况即可得出结论．
本题主要考查完全平方公式在图形中的应用，关键是要能根据N，P，M的定义，在图中找到它所表示的图形，找到图形后根据图形面积大小就可以比较了，但要注意a=b时的情况．
26.【答案】J解：(1)补全的图形，如图所示．
(2)AG=DH．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=CB，AB//DC，∠ADC=∠ABC．
∵点F为点B关于CE的对称点，
∴CE垂直平分BF．
∴CB=CF，∠CBF=∠CFB．
∴CD=CF．
又∵FH=CG，
∴DG=CH．
∵∠ABC+∠CBF=180°，∠DCF+∠CFB=180°，
∴∠ADC=∠DCF．
∴△ADG≌△DCH(AAS)，
∴AG=DH．
(3)不存在．理由如下：
由(2)可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
∴∠DPA=∠PDG+∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．
∴△ADP不可能是等边三角形．
【解析】(1)根据题意补全图形；
(2)AG=DH.根据全等三角形：△ADG≌△DCH(AAS)的对应边相等证得：AG=DH．
(3)不存在．由(2)可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，根据△ADP的一内角大于60°，即∠DPA=∠PDG+∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，推知△ADP不可能是等边三角形．
考查了四边形综合题．涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，关于点的对称的性质，等边三角形的判定与性质以及平行线的性质，难度较大，综合性比较强．
1.若二次根式 x−8有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≠8B. x≥8C. x≤8D. x=8
2.下列各式中，化简后能与 2合并的是( )
A. 12B. 8C. 23D. 0.2
3.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 7，3，5C. 6，8，10D. 5，12，12
4.平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为( )
A. 120°
B. 60°
C. 30°
D. 15°
5.若菱形的两条对角线的长分别为6和10，则菱形的面积为( )
A. 60B. 30C. 24D. 15
6.下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是( )
A. AC=BDB. AB⊥CDC. AD=BDD. AC⊥BD
7.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=2，∠ABO=60°，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE=60°时，EF的长为( )
A. 1B. 3C. 2D. 4
8.已知O为数轴原点，如图，
(1)在数轴上截取线段OA=2；
(2)过点A作直线n垂直于OA；
(3)在直线n上截取线段AB=3；
(4)以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．
根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC=5；②OB= 13；③3
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.已知x= 5+ 3，y= 5− 3，则xy=______．
10.写出“菱形的四条边都相等”的逆命题______，并判断你写出的命题的真假______(填“真”或“假”)．
11.如图，△ABC中，∠ACB=90°，以它的各边为边向外作三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1=6，S2=8，则S3=______．
12.在湖的两侧有A，B两个消防栓，为测定它们之间的距离，小明在岸上任选一点C，并量取了AC中点D和BC中点E之间的距离为16米，则A，B之间的距离应为______ 米．
13.在平行四边形ABCD中，若增加条件______，则可得四边形ABCD为矩形．
14.如图，在Rt△ABC中，点D是边AB的中点，若AB=4，则CD=______．
15.如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋，若改变框架的形状，则平行四边形内角∠DAB也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠DAB是______度时，两条对角线长度相等．
16.“在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 5、 10、 13，求这个三角形的面积.”小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积，我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．
(1)直接写出图1中△ABC的面积______；
(2)若△DEF中有两边的长分别为 5a、 17a(a>0)，且△DEF的面积为3a2，写出它的第三条边长______(试运用构图法在图2的每个小正方形的边长为a的网格中画出符合题意的△DEF)．
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(2 6+ 23)× 3− 32．
18.(本小题5分)
已知x= 3+1，求代数式x2−2x的值．
19.(本小题5分)
如图，在▱ABCD中，点E、F分别在BC，AD上，且BE=DF，连接AE，CF．
求证：AE//CF．
20.(本小题5分)
如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．
(1)写出折叠后的图形中的等腰三角形：______；
(2)求CF的长．
21.(本小题5分)
如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AF平分∠DAB，CF=3，BF=4，求DF长．
22.(本小题5分)
阅读下面材料，并回答问题．
在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题．以下给出的“三角形中位线定理”的两种不同证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化．
方法一
已知：如图①，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
证明：延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
∵AE=CE，EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形(依据a)．
∴CF−//DA．
∴CF−//BD．
∴四边形DBCF是平行四边形(依据b)．
∴DF−//BC．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
方法二
已知：如图②，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE．
求证：DE//BC，且DE=12BC．
证明：过点C作CF//AB，与DE的延长线交于点F．
∴∠A=∠FCE．
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(依据c)．
∴AD=CF(依据d)．
又AD=BD，
∴CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF−//BC(依据e)．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
写出上述证明过程中所标注的推理依据的具体内容：
依据a：______；
依据b：______；
依据c：______；
依据d：______；
依据e：______．
23.(本小题5分)
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE=CD，连接AE，OE．
(1)求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)若AD=DE=4，求OE的长．
24.(本小题5分)
下面是小明设计的作菱形ABEF的尺规作图过程．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求作：菱形ABEF(点E在BC上，点F在AD上)．
作法：如图，
①以A为圆心，AB长为半径作弧，交AD于点F；
②以B为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点E；
③连接EF，所以四边形ABEF为所求的菱形．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴ ______= ______，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，即AF//BE，
∴四边形ABEF为______形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．
25.(本小题6分)
在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，
M=a+b2称为a，b这两个数的算术平均数，
N= ab称为a，b这两个数的几何平均数，
P= a2+b22称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整；
(1)若a=−1，b=−2，则M=______；N=______；P=______；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为a+b的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示N2．
①分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为M2，P2的图形；
②借助图形可知，当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是：______(把M、N、P从小到大排列，并用“<”或“≤”号连接)．
26.(本小题6分)
如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB交AB延长线于点E，点F为点B关于CE的对称点，连接CF，分别延长DC，CF至点G，H，使FH=CG，连接AG，DH交于点P．
(1)依题意补全图1；
(2)猜想AG和DH的数量关系并证明；
(3)若∠DAB=70°，是否存在点G，使得△ADP为等边三角形？若存在，求出CG的长；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：二次根式 x−8有意义，则x−8≥0，
解得：x≥8．
故选：B．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、 12=2 3，不能与 2合并；
B、 8=2 2，能与 2合并；
C、 23= 63，不能与 2合并；
D、 0.2= 55，不能与 2合并；
故选：B．
先化成最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可．
本题考查了同类二次根式的应用，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式．
3.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵( 7)2+32≠52，
∴以 7，3，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵62+82=102，
∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵52+122≠122，
∴以5，12，12为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边
a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+2∠A=180°，
∴∠A=∠C=60°．
故选：B．
先根据平行四边形的性质得出∠A+∠B=180°，∠A=∠C，再由∠B=2∠A可求出∠A的度数，进而可求出∠C的度数．
本题考查的是平行四边形的性质，熟知平行四边形的对角相等是解答此题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：S=12×10×6=30．
故选：B．
根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．
本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．
6.【答案】D
【解析】解：A、AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
B、AB⊥CD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C、AD=BD，不能判定平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
D、AC⊥BD，对角线垂直的平行四边形是菱形，能判定平行四边形ABCD是菱形，符合题意；
故选：D．
根据邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的平行四边形是菱形，进行判断即可．
本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，∠ABC=∠BAD=90°，
又∵∠ABO=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴∠BAO=60°，
∴∠OAE=30°，
∵线段EF绕点O转动，∠AOE=60°，
∴∠AEO=180°−60°−30°=90°，
∴四边形ABFE为矩形，
∴AB=EF=2．
故选：C．
证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO=60°，由三角形内角和求出∠AEO=90°，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．
本题考查了矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：根据题意得，OA=2，AB=3，∠OAB=90°，
∴OB= 22+32= 13，
故②正确；
∵OC=OB，
∴OC= 13，
∴③正确，①错误；
∴AC=OC−OA= 13−2≠1，
故④错误；
故选：C．
由勾股定理求得OB，进而得OC，AC，再判断结论的正误．
本题主要考查了勾股定理，数轴与实数的对应关系，关键是由勾股定理求得OB．
9.【答案】2
【解析】解：因为x= 5+ 3，y= 5− 3，
所以xy=( 5+ 3)( 5− 3)
=( 5)2−(( 3)2
=5−3
=2，
故答案为：2．
根据平方差公式和二次根式的运算法则计算即可．
此题考查了平方差公式和二次根式．解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的运算法则．
10.【答案】四条边都相等的四边形是菱形 真
【解析】解：逆命题为：四条边都相等的四边形是菱形，是真命题；
故答案为：四条边都相等的四边形是菱形，真．
写出逆命题，判断命题的真假．将原命题的条件和结论互换，写出逆命题，根据菱形的判定方法，判定命题的真假即可．
本题考查菱形的判定，掌握菱形的判定是解题的关键．
11.【答案】14
【解析】解：∵∠ACB=90°，S1=6，S2=8，
∴AC2=6，BC2=8，
∴AB2=14，
∴S3=14，
故答案为：14．
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的识别图形是解题的关键．
12.【答案】32
【解析】解：∵D、E分别是CA，CB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，且AB=2DE，
∵DE=16米，
∴AB=32米．
故答案为：32．
可得DE是△ABC的中位线，然后根据三角形的中位线定理，可得DE//AB，且AB=2DE，再根据DE的长度为16米，即可求出A、B两地之间的距离．
此题主要考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
13.【答案】∠A=90°或AC=BD
【解析】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以在平行四边形ABCD中，增加AC=BD即可判定四边形ABCD为矩形；
因为有一个内角是直角的平行四边形是矩形，
所以在平行四边形ABCD中，增加∠C=90°即可判定四边形ABCD为矩形．
故答案为：∠A=90°，AC=BD (答案不唯一)
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个内角是直角的平行四边形是矩形，即可得出答案．
此题主要考查学生对矩形的判定，平行四边形的性质的理解和掌握，此题答案不唯一，属于开放题目．
14.【答案】2
【解析】解：∵在Rt△ABC中，点D是边AB的中点，若AB=4，
∴CD=12AB=2，
故答案为：2．
根据直角三角形的性质解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握此性质是解题的关键．
15.【答案】90
【解析】解：根据对角线相等的平行四边形是矩形，可以得到∠DAB=90°．
故答案为：90．
分析题意，可知变化后的平行四边形的对角线长度；根据上述分析，可联想到对角线相等的平行四边形是矩形；接下来想一想矩形关于角的性质，相信你能直接得到答案．
本题侧重考查平行四边形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
16.【答案】72 2 2a
【解析】解：(1)由图可知：△ABC的面积=12(2+3)×3−12×2×1−12×2×3=72；
故答案为：72．
(2)如图：
此时：DE= (2a)2+a2= 5a,EF= (4a)2+a2= 17a，
S△DEF=4a⋅2a−12⋅2a⋅a−12⋅4a⋅a−12⋅2a⋅2a=3a2，满足题意，
∴DF= (2a)2+(2a)2=2 2a；
故答案为：2 2a．
(1)利用分割法求三角形的面积即可；
(2)根据题意，画出△DEF，求解即可．
本题考查勾股定理与无理数，借助网格计算三角形的面积是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2 6× 3+ 23×3−4 2
=6 2+ 2−4 2
=3 2．
【解析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．
本题主要考查了二次根式的乘法运算、二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：x2−2x=x(x−2)，
当x= 3+1时，
原式=( 3+1)( 3−1)
=2．
【解析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的化简求值，正确运用乘法公式是解题关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∵BE=DF，
∴AD−DF=BC−BE，
即AF=CE，
∵AD//BC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE//CF．
【解析】根据平行四边形的性质可得AD//BC，AD=BC，进而证得AF=CE，从而证明四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，能够根据图形判定四边形的特殊形状进而求得与所证相关的结论是解答问题的关键．
20.【答案】△ACF
【解析】解：(1)由折叠可得，∠BAC=∠EAC，
由AB//CD可得，∠BAC=∠DCA，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AF=CF，
∴△ACF是等腰三角形，
故答案为：△ACF；
(2)设CF=x，则AF=x，DF=4−x，
∵∠D=90°，
∴Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
即32+(4−x)2=x2，
解得x=258，
∴CF=258．
(1)依据折叠的性质以及平行线的性质，即可得到AF=CF，进而得出△ACF是等腰三角形；
(2)设CF=x，则AF=x，DF=4−x，依据勾股定理即可得到x的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90°，
∴∠BFC=90°，
在Rt△BCF中，CF=3，BF=4，
∴BC=5，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB//DC，
∴∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=5．
【解析】(1)先证明四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定即可得到证明；
(2)根据勾股定理求出BC长，求出AD=DF，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22.【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 全等三角形的对应边相等 平行四边形的对边平行且相等
【解析】解：方法一
延长DE到点F，使EF=DE，连接FC，DC，AF．
∵AE=CE，EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
∴CF−//DA．
∴CF−//BD．
∴四边形DBCF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴DF−//BC．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
方法二
过点C作CF//AB，与DE的延长线交于点F．
∴∠A=∠FCE．
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE(两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等)．
∴AD=CF(全等三角形的对应边相等)．
又AD=BD，
∴CF=BD．
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴DF−//BC(平行四边形的对边平行且相等)．
又DE=12DF，
∴DE//BC，且DE=12BC．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等；平行四边形的对边平行且相等．
方法一：证出四边形ADCF是平行四边形，得出CF−//DA.则CF−//BD.证出四边形DBCF是平行四边形，得出DF−//BC，进而得出结论．
方法二：证△ADE≌△CFE，得出AD=CF，则CF=BD.证出四边形DBCF是平行四边形．得出DF−//BC，进而得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵DE=CD，
∴DE=AB，
∴四边形ABDE是平行四边形．
(2)∵AD=DE=4，∠ADE=90°，
∴AE=4 2，
∴BD=AE=4 2．
在Rt△BAD中，O为BD中点，
∴AO=12BD=2 2．
∵AD=DE=CD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠EAO=∠OAD+∠DAE=45°+45°=90°，
∴OE= AE2+AO2=2 10．
【解析】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于中等题型．
(1)根据平行四边形的判定即可求出答案．
(2)先证明矩形ABCD是正方形，然后根据正方形的性质即可求出答案．
24.【答案】AF BE 平行四边
【解析】(1)解：如图即为所求，
(2)证明：∵AF=AB，BE=AB，
∴AF=BE，
在平行四边形ABCD中，AD//BC，即AF//BE，
∴四边形ABEF为平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形．
故答案为：AF，BE，平行四边．
(1)根据题意作图即可；
(2)根据平行四边形的判定定理和菱形的判定定理证明即可．
本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定以及菱形的判定，准确分析证明是解题的关键．
25.【答案】解：(1)−32； 2 ； 102 ；
(2)①图形如下：
②N≤M≤P．
【解析】解：(1)将a=−1，b=−2代入M，N，P的定义式，
得：M=−1−22=−32，N= −1×(−2)= 2，P= (−1)2+(−2)22= 102，
故答案为−32， 2， 102；
(2)①见答案；
②根据M2，P2，N2所表示的面积大小可得：
当a≠b时，N
∴N≤M≤P，
故答案为N≤M≤P．
(1)将a，b的值直接导入M，P，N的定义式即可；
(2)①根据M2，P2所表示的面积大小找到对应的区域即可；
②根据图象上所表示的面积大小及a，b的取值情况即可得出结论．
本题主要考查完全平方公式在图形中的应用，关键是要能根据N，P，M的定义，在图中找到它所表示的图形，找到图形后根据图形面积大小就可以比较了，但要注意a=b时的情况．
26.【答案】J解：(1)补全的图形，如图所示．
(2)AG=DH．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=CB，AB//DC，∠ADC=∠ABC．
∵点F为点B关于CE的对称点，
∴CE垂直平分BF．
∴CB=CF，∠CBF=∠CFB．
∴CD=CF．
又∵FH=CG，
∴DG=CH．
∵∠ABC+∠CBF=180°，∠DCF+∠CFB=180°，
∴∠ADC=∠DCF．
∴△ADG≌△DCH(AAS)，
∴AG=DH．
(3)不存在．理由如下：
由(2)可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，
∴∠DPA=∠PDG+∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°．
∴△ADP不可能是等边三角形．
【解析】(1)根据题意补全图形；
(2)AG=DH.根据全等三角形：△ADG≌△DCH(AAS)的对应边相等证得：AG=DH．
(3)不存在．由(2)可知，∠DAG=∠CDH，∠G=∠GAB，根据△ADP的一内角大于60°，即∠DPA=∠PDG+∠G=∠DAG+∠GAB=70°>60°，推知△ADP不可能是等边三角形．
考查了四边形综合题．涉及到了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，关于点的对称的性质，等边三角形的判定与性质以及平行线的性质，难度较大，综合性比较强．
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