2023-2024学年北京市朝阳区清华附中望京学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】

这是一份2023-2024学年北京市朝阳区清华附中望京学校八年级（上）期中数学试卷【含解析】，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性D．垂线段最短
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3dm，5dm，8dmB．8cm，8cm，18cm
C．3dm，3dm，5dmD．3cm，4cm，8cm
5．（3分）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
7．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
8．（3分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝CDB．BE＝CDC．∠ADE＝∠AEDD．∠BAE＝∠CAD
9．（3分）如图，在正方形网格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（ ）
A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．β＜γ＜α
10．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 ．
12．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 边形．
13．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是 ．
14．（3分）如图，已知∠BAC＝∠DAC，请添加一个条件： ，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．
15．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 ．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 ．
17．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M、N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
请回答：若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为 ．
18．（3分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是 ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 ．（写出一种符合条件的排序）
三、解答题（本题共46分，第19-21、23、25题，每小题5分，22题6分，第26题7分，第24题8分）
19．（5分）如图，∠A＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．
分析：连接AD并延长至点E，
要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，
解：∵∠BDE＝∠B+ ，
∠CDE＝∠C+ ，
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+ +∠C+ ．
∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BDC＝ ．
20．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
22．（6分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用尺规作图作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如图，请你回答下列问题：
（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ；（只填序号）
①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D．
②画直线BF．
③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F．
④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，联结AC．
⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．
（2）步骤③的依据是 ；
（3）能得到∠ABC＝90°的理由是 ．
23．（5分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：∠BEF＝∠CEF．
24．（8分）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有 条对称轴，非正方形的长方形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
25．（5分）如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF．
26．（7分）△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；
（2）当点D为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF＝∠CDE；
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系．
2023-2024学年北京市朝阳区清华附中望京学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面1-10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】画ABC的高BE，即过B点作AC所在直线的垂线段，垂足为E．
【解答】解：画△ABC的高BE，即过点B作对边AC所在直线的垂线段BE，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，连接顶点与垂足之间的线段是解题的关键．
3．（3分）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短
C．三角形的稳定性D．垂线段最短
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【解答】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．
4．（3分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3dm，5dm，8dmB．8cm，8cm，18cm
C．3dm，3dm，5dmD．3cm，4cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵3+5＝8，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵8+8＝16＜18，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵3+3＝6＞5，能构成三角形，符合题意；
D、∵3+4＝7＜8，∴不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
5．（3分）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：选项A图形有3条对称轴，选项B图形有4条对称轴，选项C图形有5条对称轴，选项D图形有6条对称轴，
所以对称轴最多的是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
6．（3分）如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（ ）
A．△AEGB．△ADFC．△DFGD．△CEG
【分析】根据勾股定理和线段的和可得△ABC和△DFG三边分别相等，从而得结论．
【解答】解：设小正方形的边长为1，如图，
则AB＝DF＝3，BC＝DG＝，AC＝FG＝＝，
∴△ABC≌△FDG（SSS），
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，利用数形结合是解题的关键．
7．（3分）如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（ ）
A．△CDFB．△CDKC．△CDED．△DEF
【分析】依据尺规作图，即可得到CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，进而得出△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形．
【解答】解：由作图可得，CD，DF，CF不一定相等，故△CDF不一定是等腰三角形；
而CD＝CK，CD＝CE，DF＝EF，故△CDK，△CDE，△DEF都是等腰三角形；
故选：A．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
8．（3分）如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）
A．AC＝CDB．BE＝CDC．∠ADE＝∠AEDD．∠BAE＝∠CAD
【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∴BE＝CD，B成立，不符合题意；
∠ADB＝∠AEC，
∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意；
∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意；
AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
9．（3分）如图，在正方形网格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（ ）
A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．β＜γ＜α
【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°，∠HGF＝∠GHF∠＝45°，再根据∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出γ＝90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．
【解答】解：由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45°，
同理∠HGF＝∠GHF∠＝45°，
又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180°，
∴γ＝90°，
由图可知α＞90°，β＜90°，
∴β＜γ＜α，
故选：D．
【点评】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出γ角的度数，然后再比较大小就容易了．
10．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为（ ）
A．60°B．72°C．36°D．90°
【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，则∠ABC＝∠C＝∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，所以2∠A+2∠A+∠A＝180°，求得∠A＝36°，则∠ABC＝72°，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
由折叠得∠BED＝∠C，∠EDF＝∠A，
∴∠BED＝∠EDF+∠A＝2∠A，
∴∠ABC＝∠C＝2∠A，
∵∠ABC+∠C+∠A＝180°，
∴2∠A+2∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
∴∠ABC＝2∠A＝72°，
故选：B．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠ABC＝∠C＝2∠A是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11．（3分）六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为 360° ．
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【解答】解：正六边形的外角和是360°．
故选：360°．
【点评】本题正多边形和圆，考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．
12．（3分）若一个多边形内角和为900°，则这个多边形是 七 边形．
【分析】根据多边形的外角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故答案为：七．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13．（3分）平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是 （﹣2，1） ．
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点P（2，1）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是关键．
14．（3分）如图，已知∠BAC＝∠DAC，请添加一个条件： AB＝AD ，使△ABC≌△ADC（写出一个即可）．
【分析】添加AB＝AD，再加上条件∠BAC＝∠DAC，公共边AC，可利用SAS定理判定△ABC≌△ADC．
【解答】解：添加：AB＝AD，
在△ABC和△ADC中，，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
故答案为：AB＝AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
15．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 12 ．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于2+2＜5，则三角形不存在；
（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
16．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝1，AB＝4，则△ABD的面积是 2 ．
【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝CD＝1，根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
由尺规作图可知，AD为∠CAB的平分线，又∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝1，
∴△ABD的面积＝×AB×DE＝×4×1＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点M、N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
请回答：若CD＝AC，∠A＝50°，则∠ACB的度数为 105° ．
【分析】先利用等腰三角形的性质得到∠CDA＝∠A＝50°，再根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，所以∠DCB＝∠B，然后利用三角形内角和计算∠ACB的度数．
【解答】解：∵CD＝AC，
∴∠CDA＝∠A＝50°，
由作法得MN垂直平分BC，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠CDA＝∠DCB+∠B，
∴，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣25°＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
18．（3分）如表是某市本年度GDP前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是 C ，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是 EHI或HEI ．（写出一种符合条件的排序）
【分析】结合图表及选项对年度GDP的上升及下降情况进行分析，选出正确答案．
【解答】解：∵A的名次上升了，且最多上升了两位，同时C的名次下降了，且最多下降2位，
又∵B的名次没有变化，
∴上一年度排在前三位分别是C、B、A；
又∵E的名次下降，且前四名已经确定，
∵上一年度F排在第5名；
同理：上一年度G排在第9名；
E排在第6名，则H排在第7名；I排在第8名；
或E排在第7名，则H排在第6名；I排在第8名；
所以上一年度排在第6，7，8名的区县依次是EHI或HEI．
故答案为：C，EHI或HEI．
【点评】此题考查了推理与论证，难度稍大，锻炼了考生的逻辑思维和综合推断能力．
三、解答题（本题共46分，第19-21、23、25题，每小题5分，22题6分，第26题7分，第24题8分）
19．（5分）如图，∠A＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，求∠BDC的度数．
分析：连接AD并延长至点E，
要求∠BDC的度数，只需求∠BDE+∠CDE即可，
解：∵∠BDE＝∠B+ ∠BAD ，
∠CDE＝∠C+ ∠CAD ，
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+ ∠BAD +∠C+ ∠CAD ．
∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BDC＝ 101° ．
【分析】利用三角形的外角性质，可得出∠BDE＝∠B+∠BAD，∠CDE＝∠C+∠CAD，结合∠BDC＝∠BDE+∠CDE，即可求出∠BDC的度数．
【解答】解：∵∠BDE＝∠B+∠BAD，
∠CDE＝∠C+∠CAD，
∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC＝∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC＝51°，∠B＝20°，∠C＝30°，
∴∠BDC＝101°．
故答案为：∠BAD，∠CAD，∠BAD，∠CAD，101°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
20．（5分）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：∵C是AB的中点，
∴AC＝CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD＝∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD＝CE．
【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定．
21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE＝∠BAD．
【分析】根据三角形三线合一的性质可得∠CAD＝∠BAD，根据同角的余角相等可得：∠CBE＝∠CAD，再根据等量关系得到∠CBE＝∠BAD．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠CBE＝90°﹣∠C，∠CAD＝90°﹣∠C，
∴∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE＝∠BAD．
【点评】考查了余角的性质，等腰三角形的性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
22．（6分）数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段a、b，利用尺规作图作Rt△ABC使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如图，请你回答下列问题：
（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是 ⑤①③②④ ；（只填序号）
①以点B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D．
②画直线BF．
③分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F．
④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C，联结AC．
⑤画射线AG，并在AG上截取线段AB＝a．
（2）步骤③的依据是 三角形任意两边之和大于第三边 ；
（3）能得到∠ABC＝90°的理由是 ∵FA＝FD，BA＝BD，
∴BF垂直平分AD，
∴∠ABF＝90°，
即∠ABC＝90°． ．
【分析】（1）先利用基本作图，过直线上一点作直线的垂线得到BF，然后截取AC＝b，从而得到作图步骤；
（2）利用三角形三边的关系画出交点F；
（3）录用基本作图可判断BF垂直平分AB，从而得到∠ABC＝90°．
【解答】解：（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是⑤①③②④；
故答案为：⑤①③②④；
（2）根据三角形任意两边之和大于第三边，分别以点A，D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F，
故答案为：三角形任意两边之和大于第三边；
（3）∠ABC＝90°的理由为：∵FA＝FD，BA＝BD，
∴BF垂直平分AD，
∴∠ABF＝90°，
即∠ABC＝90°．
故答案为：∵FA＝FD，BA＝BD，∴BF垂直平分AD，∴∠ABF＝90°，即∠ABC＝90°．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．（5分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，AC与BD相交于E，F是BC的中点，求证：∠BEF＝∠CEF．
【分析】先利用AAS证明△ABE≌△DCE，再利用SSS证明△BFE≌△CFE即可．
【解答】证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE，
∴BE＝CE，
∵F是BC的中点，
∴BF＝CF，
在△BFE和△CFE中，
，
∴△BFE≌△CFE，
∴∠BEF＝∠CEF．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握利用AAS和SSS证明三角形全等，此题难度不大．
24．（8分）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有 1 条对称轴，非正方形的长方形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1﹣4和图1﹣5中，分别修改图1﹣2和图1﹣3，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质、矩形的性质以及等边三角形的性质进行判断即可；
（2）中图1﹣2和图1﹣3都可以看作由图1﹣1修改得到的，在图1﹣4和图1﹣5中，分别仿照类似的修改方式进行画图即可；
（3）长方形具有两条对称轴，在长方形的右侧补出与左侧一样的图形，即可构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形；
（4）在等边三角形的基础上加以修改，即可得到恰好有3条对称轴的凸六边形．
【解答】解：（1）非等边的等腰三角形有1条对称轴，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为：1，2，3；
（2）恰好有1条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3）恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示．
（4）恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了轴对称图形的性质，解决问题的关键是掌握等腰三角形的性质，矩形的性质以及等边三角形的性质．轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
25．（5分）如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF，求证：AC＝BF．
【分析】延长AD到点G，使GD＝AD，连接GB，可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△GBD≌△ACD，得GB＝AC，∠G＝∠CAF，由AE＝EF，得∠CAF＝∠EFA，可推导出∠G＝∠BFG，得GB＝BF，所以AC＝BF．
【解答】证明：延长AD到点G，使GD＝AD，连接GB，
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△GBD和△ACD中，
，
∴△GBD≌△ACD（SAS），
∴GB＝AC，∠G＝∠CAF，
∵AE＝EF，
∴∠CAF＝∠EFA，
∴∠G＝∠EFA，
∵∠EFA＝∠BFG，
∴∠G＝∠BFG，
∴GB＝BF，
∴AC＝BF．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
26．（7分）△ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC，D是BC上任意一点（点D与点B、C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段；
（2）当点D为线段BC中点时，连接DF，求证：∠BDF＝∠CDE；
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE、DE、AD三者之间的数量关系．
【分析】（1）如图1，根据ASA证明△CBG≌△ACD，得BG＝DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE＝∠G，再证明△BDF≌△BGF得出结论；
（3）如图3，作辅助线，分别证明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN＝2DE，AN＝CF＝2CE，可以得出结论．
【解答】解：（1）BG＝DC，理由是：
如图1，∵∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠GCA＝90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CEA＝90°，
∴∠GCA+∠CAD＝90°，
∴∠BCG＝∠CAD，
在△CBG和△ACD中，
，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG＝DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，
∴∠CDE＝∠G，
∵D是BC的中点，
∴BD＝DC，
∵BG＝DC，
∴BG＝BD，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
∵∠CBG＝90°，
∴∠GBA＝45°，
∴∠GBA＝∠CBA＝45°，
∵BF＝BF，
∴△BDF≌△BGF（SAS），
∴∠BDF＝∠G，
∴∠BDF＝∠CDE；
（3）AD＝2DE+2CE，理由是：
如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠BCM＝∠ACM＝45°，
∵点C和点F关于直线AD成轴对称，
∴AD是CF的中垂线，
∴CE＝EF，CD＝DF，AC＝AF，
∵AD＝AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴∠DFA＝∠ACB＝90°，
∵∠CBA＝45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BF＝DF，
∴BF＝DF＝CD，
∵AC＝AF，∠BAC＝45°，
∴∠ACF＝∠CFA＝67.5°，∠CAE＝∠FAE＝22.5°，
∴∠BCG＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠ECN＝45°﹣22.5°＝22.5°，
∴∠ECN＝∠BCG，
∴△DCE≌△NCE，
∴DC＝CN，DE＝EN，
∴CN＝BF，
∵∠CAD＝∠BCG＝22.5°，
∵AC＝BC，
∴△ACN≌△CBF，
∴CF＝AN＝2CE，
∴AD＝DE+EN+AN＝2DE+CF＝2DE+2CE．
【点评】本题是三角形的综合题，难度适中，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定，根据全等三角形的对应边相等和对应角相等解决问题，对于线段的和的问题，也是利用全等三角形将边平移到同一条直线上，得也相应的关系．
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