广东省梅州市大埔县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中自变量是（ ）
A. 太阳光强弱B. 水的温度C. 所晒时间D. 热水器
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了因变量与自变量的定义．自变量是指由研究者主动操纵，而引起因变量发生变化的因素或条件．因此自变量被看作是因变量的原因．或者说，自变量是能引起因变量变化的变量，据此求解即可．
【详解】解：∵热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，
∴自变量是所晒时间，因变量是水的温度，
故选：C．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同底数幂的除法，合并同类项，平方差公式，积的乘方，逐一进行计算，即可得出结论．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，平方差公式，积的乘方．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
3. 如图所示，直线被直线所截，与是（ ）
A. 内错角B. 同位角C. 同旁内角D. 邻补角
【答案】A
【解析】
【分析】根据三线八角的概念，以及内错角的定义作答即可．
【详解】解：如图所示，和∠2是直线b、a被c所截而成的内错角．
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．在截线的同旁找同位角和同旁内角，在截线的两旁找内错角．要结合图形，熟记同位角、内错角、同旁内角的位置特点，比较它们的区别与联系．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有四对同位角，两对内错角，两对同旁内角．
4. 人体中红细胞的直径约为，用科学记数法表示数的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：．
故选：D
【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握原数的绝对值的数的科学记数法的表示方法是解题的关键．
5. 如图，下面推理过程正确的是（ ）
A. 因为，所以B. 因为，所以
C. 因为，所以D. 因为，所以
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】解：A、因为∠B+∠BCD=180°，所以AB∥CD，原说法错误，故此选项不符合题意；
B、因为∠1=∠2，所以AD∥BC，原说法错误，故此选项不符合题意；
C、因∠BAD+∠B=180°，所以AD∥BC，原说法正确，故此选项符合题意；
D、因为∠1=∠2，所以AD∥BC，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定．本题考查解题的关键是熟练掌握平行线的判定，属于中考基础题．
6. 如图，平行线，被直线所截，平分，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据角平分线的定义可知，再利用平行线的性质即可得到的度数．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵平行线，被直线所截，
∴，
故选：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键．
7. 下列各式中，不能用平方差公式计算是（ ）
A. （2a＋b）（2a﹣b）B. （﹣3a＋b）（b﹣3a）
C. （x＋y）（﹣x＋y）D. （﹣m＋3n）（﹣m﹣3n）
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方差公式的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵
∴（﹣3a＋b）（b﹣3a）不能用平方差公式
（2a＋b）（2a﹣b）、（x＋y）（﹣x＋y）、（﹣m＋3n）（﹣m﹣3n）能用平方差公式
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．
8. 若，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得，然后由得，代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法是解题的关键．
9. 佳佳爸爸计划用一根长为的铁丝围成一个长方形，那么这个长方形的长与宽之间的关系式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方形的周长公式可得，即可进行解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∴这个长方形的长与宽之间的关系式为：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是根据题意找出等量关系．
10. 如图，在边长为的正方形 中，点、分别是边和的中点，点为正方形中心，动点从点出发，沿的路线绕多边形的边勾动二动到点时停止（不含点和点，则三角形 的面积随着时间变化的函数图象大致是（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，分析当点，分别在上时，三角形的高的变化，进而可得的面积随着时间的变化，结合选项，即可求解．
【详解】解：当点在上时，的底不变，高增大，所以的面积随着时间的增大而增大；
当点在上时，的底不变，高不变，所以的面积不变；
当点在上时，的底不变，高减小，所以的面积随着时间的减小而减小；
当点在上时，的底不变，高不变，所以的面积不变；
当点在上时，的底不变，高减小，所以的面积随着时间的减小而减小；
故选A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合解题的关键．
二、细心填一填：（本大题6小题，每小题3分，共18分）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查单项式除以单项式运算，熟练掌握单项式除以单项式运算法则是解决问题的关键．
12. 若中不含x的一次项，则m的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据多项式乘多项式的法则进行计算，然后找出所有含有x的项并合并系数，令含有x项的系数等于0即可解答．
【详解】解:
∵不含有x的一次项，
，解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键．
13. 如图，是一条直线，，则______．
【答案】##度
【解析】
【分析】根据平行线的性质得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
14. 已知，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，先根据完全平方公式得到，进而得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 某单位组织职工对某地进行绿化，已知绿化面积与工作时间之间的函数关系如图所示，则4小时结束时，绿化面积为__________．
【答案】220
【解析】
【分析】根据纵坐标可得绿化面积，根据横坐标，可得绿化时间，根据绿化面积除以时间，可得绿化效率．
【详解】解：2小时后绿化效率为：（140−60）÷（3−2）＝80（m2/h），
4小时结束时，绿化面积为：60＋80×2＝220（m2），
故答案为：220．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出绿化面积及绿化时间是解题关键．
16. 利用平方差公式计算的结果为______．
【答案】－1010
【解析】
【分析】把分子利用平方差公式分解因式，然后约分化简．
【详解】解：原式
，
故答案为：－1010．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握a2-b2=(+b) (a-b)是解答本题的关键．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了零次幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键．非零数的负整数指数幂等于这个数的正整数次幂的倒数；非零数的零次幂等于1．先根据乘方、零次幂和负整数指数幂的意义计算，再算加减．
【详解】解：
18. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的混合计算，先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
19. 如图，已知平分．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）角平分线的定义，得到，进而得到，即可得证；
（2）根据平行线的性质，进行求解即可．
【小问1详解】
证明：平分，
，
，
，
；
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）
20. 如图所示，梯形上底的长是，下底长，高．
（1）梯形面积与上底之间的关系式是什么；
（2）当x每增加时，y如何变化？
（3）当时，y等于什么？此时y表示是什么？
【答案】（1）
（2）当x每增加时，y增加
（3）当时，，此时y表示的是的面积
【解析】
【分析】本题主要考查了列函数关系式，求函数值：
（1）根据梯形面积计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求求出当时，当时的函数值即可得到答案；
（3）根据（1）所求求出当时的值，根据可得点A和点D重合，则此时y表示的是的面积．
【小问1详解】
解：由题意得：；
【小问2详解】
解：当时，，
当时，，
∵，
∴当x每增加时，y增加；
【小问3详解】
解：当时，，此时y表示的是的面积．
21. 已知多项式，多项式．
（1）若多项式是完全平方式，则______；
（2）有同学猜测的结果是定值，他的猜测是否正确，请说明理由；
（3）若多项式的值为，求x和n的值．
【答案】（1）
（2）不正确，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方式的定义计算即可；
（2）把，代入计算即可；
（3）由题意可得，整理后利用非负数的性质求解即可．
【小问1详解】
∵是一个完全平方式，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
猜测不正确，理由：
∵，，
∴
，
∵结果含字母n，
∴的结果不是定值；
【小问3详解】
由题意可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了完全平方式，以及整式的加减，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式．
22. 周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园．如图是他们离家路程s（）与小明离家时间t（）的关系图，请根据图回答下列问题：

（1）图中自变量是_____，因变量是_____；
（2）小明家到滨海公园的路程为_____，小明在中心书城逗留的时间为_____；
（3）小明出发_____小时后爸爸驾车出发；
（4）图中A点表示_____；
（5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为_____，小明爸爸驾车的平均速度为_____．
【答案】（1）
（2）30，
（3）
（4）小时后小明继续坐公交车到滨海公园
（5）12，30
【解析】
【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
（3）根据图象的端点坐标即可得到爸爸驾车出发的时间；
（4）根据点的坐标即可得到点的实际意义；
（5）根据相应的路程除以时间，即可得出速度．
【小问1详解】
解：由图可得，自变量是，因变量是，
故答案为：t，s；
【小问2详解】
由图可得，小明家到滨海公园的路程为，小明在中心书城逗留的时间为；
故答案为：30，；
【小问3详解】
由图可得，小明出发小时后爸爸驾车出发；
故答案为：；
【小问4详解】
由图可得，点表示小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
故答案为：小时后小明继续坐公交车到滨海公园；
【小问5详解】
小明从中心书城到滨海公园的平均速度为，
小明爸爸驾车的平均速度为；
故答案为：12；30．
【点睛】本题考查了函数的图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．
五、解答题（三）（本大题3小题，第23题8分，第24题10分，第25题12分，共30分）
23. 阅读并完成下面的推理过程
已知：如图．
求证：
证明：∵（已知）
∴ ①______________________（②___________）
∴（③___________）
又∵（④___________）
∴，即⑤___________=___________（等式性质）
∴ ⑥______________________．（⑦___________）
∴（⑧___________）

【答案】①；；②同旁内角互补，两直线平行；③两直线平行，内错角相等；④已知；⑤；；⑥；；⑦内错角相等，两直线平行；⑧两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质解答．
【详解】证明：∵（已知）
∴ ①（②同旁内角互补，两直线平行）
∴（③_两直线平行，内错角相等_）
又∵（④_已知__）
∴，即⑤ （等式性质）
∴ ⑥．（⑦内错角相等，两直线平行）
∴（⑧_两直线平行，内错角相等_）
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，熟记平行线的判定和性质定理是解题的关键．
24. 运城的桃子今年获得了大丰收，现A，B两个水果合作社要向甲，乙两个市场运送桃子，已知A可调出110吨，B可调出90吨，甲地需要80吨，乙地需要120吨，两地到甲乙市场的路程和费用如图：
(1)设A地运往甲市场的桃子吨(0≤≤80)，则A地运往乙市场的桃子有__________吨，B地运往甲市场的桃子有___________吨，B地运往乙市场的桃子有__________吨.
(2)若每吨桃子每千米需要运费12元，求总运费(元)关于(吨)的函数关系式；
(3)当A地给甲农贸市场运多少吨桃子时，总运费最省?最省的总运费是多少?
【答案】（1）110-x；80-x；10+x；（2）y=-24x+51240；（3）当A地给甲农贸市场运80吨桃子时，总运费最省，最省的总运费是49320元.
【解析】
【分析】（1）根据A可调出110吨，B可调出90吨，其中甲地需要80吨，乙地需要120吨，可得解．
（2）根据总费用等于四部分费用之和求解即可；
（3）首先求出x的取值范围，再利用y与x之间的函数关系式，求出函数最值即可．
【详解】(1)设A地运往甲市场的桃子吨(0≤≤80)，则A地运往乙市场的桃子有（110-x）吨，B地运往甲市场的桃子有（80-x）吨，B地运往乙市场的桃子有90-（80-x）=（10+x）吨；
（2）y=15×12x+22×12（110-x）+（80-x）×20×12+（10+x）×25×12
=-24x+51240；
（3）由题意得
，
∴0≤x≤80，
∵-24<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=80时，y有最小值，
此时y=-24×80+51240=49320（元）.
∴当A地给甲农贸市场运80吨桃子时，总运费最省，最省的总运费是49320元.
【点睛】本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．
25. （1）【问题】如图1，若，，．则______；
（2）【问题归纳】如图1，若，请猜想，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？直接写出结论．

【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）借助（1）的思路即可证明；
（3）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解．
【详解】（1）如图1，过点作，

∵，，
∴．
∴
又∵，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）猜想：，理由如下：
如图1，过点作，

∵，，
∴．
∴
又∵，
∴，
∴．
（3），
理由：如图2，过点作，则，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键．路程(km)
A地
B地
甲农贸市场
15
20
乙农贸市场
22
25