广东省梅州市大埔县西河中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 3x－1＝0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把方程化成一般式，根据一般式判断选择即可．
【详解】因为3x－1＝0是一元一次方程，
所以A不符合题意；
因为是一元二次方程，
所以B符合题意；
因为化简后是一元一次方程，
所以C不符合题意；
因为不是一元二次方程，
所以D不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义即含有一个未知数且含未知数项的次数最高是2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．
2. 桌上放4张扑克牌，全部正面朝下，其中恰有1张是老K．两人做游戏，游戏规则是：随机取2张牌并把它们翻开，若2张牌中没有老K，则红方胜，否则蓝方胜．则赢的机会大的一方是（ ）
A. 红方B. 蓝方C. 两方机会一样D. 不知道
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了概率与游戏、运用画树状图求概率等知识点，用树状图列举出所有情况以及2张牌中有老K的情况数及没有老k的情况数，然后比较即可解答．
【详解】解：设其余3张扑克分别为a,b,c.
共12种情况，含有k的情况有6种，不含k的情况也是6种，
∴两方机会一样．
故选：C．
3. “上有苏杭，下有天堂”吴江苏州湾东太湖风景优美，某两个景点之间的距离为75米，在一张比例尺为1∶2000的导游图上，它们之间的距离大约相当于（ ）
A. 一根火柴的长度B. 一支钢笔的长度C. 一支铅笔的长度D. 一根筷子的长度
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意及比例尺可进行求解．
【详解】解：由题意得：
它们之间在导游图的距离为；
∴它们之间的距离大约相当于一根火柴的长度；
故选A．
【点睛】本题主要考查比例尺，熟练掌握比例尺的算法是解题的关键．
4. 如图，在一块对角线分别为6米、8米的菱形草地的四个顶点处，各居住着一只蚂蚁，居住在A处的蚂蚁准备沿A→B→C→D→A拜访在B、C、D三个顶点蚂蚁之后，再回到自己的住处，它的总路程为（ ）

A. 14米B. 20米C. 24米D. 28米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理的应用，解题的关键熟知菱形的对角线互相垂直平分．
根据菱形的性质可知其对角线相互垂直平分，从而求得的长，再在中运用勾股定理求得的长，则边长的4倍长即为菱形的周长．
【详解】解：设菱形的对角线相交于点O．

∵菱形的对角线为6米、8米，菱形对角线互相垂直平分，
∴米，米，
米，
故菱形的周长为（米），
即A处的蚂蚁爬行的总路程为米．
故选：B．
5. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的步骤，解题的关键是熟知“方程的两边同时加上一次项系数一半的平方”．
根据配方法步骤得到的结果与各个选项进行对比即可．
【详解】解：方程，
移项：
配方得：，
整理得：．
故选：B．
6. 如果，那么的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用比例的性质，由得b=2a，然后把b=2a代入中进行分式的混合运算即可．
【详解】解：∵，
∴b=2a，
∴原式===-3．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）进行计算．
7. 如图，以长方形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点F；再以顶点C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于点E．若AD＝5，CD＝，则EF的长度为（ ）
A 2B. 3C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】连接CE，可得出CE＝CD，由矩形的性质得到BC＝AD，在直角三角形BCE中，利用勾股定理求出BE的长，由AB﹣AF求出BF的长，由BE﹣BF求出EF的长即可．
【详解】解：如图，连接CE，
则CE＝CD＝，BC＝AD＝5，
∵△BCE为直角三角形，
∴BE＝，
∵BF＝AB﹣AF＝﹣5＝，
∴EF＝BE﹣BF＝﹣＝2．
故选A．
【点睛】本题主要查了矩形的性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握矩形的性质和勾股定理．
8. 疫情期间进入学校都要进入测温通道，体温正常才可进入学校，昌平某校有2个测温通道，分别记为A、B通道，学生可随机选取其中的一个通道测温进校园．某日早晨该校所有学生体温正常．小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式计算可得．
【详解】解：列表格如下：
由表可知，共有4种等可能的结果，其中小王和小李从同一个测温通道通过的有2种可能，
所以小王和小李从同一个测温通道通过的概率为．
故选：C
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD︰AB＝3︰4，AE＝6，则AC等于（ ）
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】D
【解析】
【详解】∵DE∥BC，∴，即，∴AC＝8．故选D．
10. 如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，先证四边形是矩形，则，当时，最小，然后利用三角形面积解答即可．
【详解】解：连接，如图：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
，，，
，
当时，最小，
此时，，
线段长的最小值为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11. 方程的一次项系数是 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的一般式，解题的关键是掌握一次项系数的定义．根据一元二次方程的一般形式解答．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是0．
故答案为：0．
12. 方程的解是__________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了开平方的方法求解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键．
【详解】解：，
系数化1得：，
开方得：．
故答案为
13. 在中，D、E分别在AB.AC的反向延长线上，，若，，则________.
【答案】8cm
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，再根据DE∥BC得出，最后把EC=14代入计算即可．
【详解】根据题意画图如下：
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∵EC=14厘米，
∴，
∴AC=8（cm）．
故答案为8cm．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系，得出是解决本题的关键．
14. 4件外观相同的产品中有2件不合格，现从中一次抽取2件进行检测，抽到一件产品合格一件产品不合格的概率是 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，得出所有等可能的结果和满足条件的结果，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把2件合格产品记为A、B，2件不合格记为C、D，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽到一件产品合格一件产品不合格的结果有个，
∴抽到一件产品合格一件产品不合格的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用列表法或树状图法求概率，掌握求法是解题的关键．
15. 如图，在中，，，是的中线，E是的中点，连接，，若，垂足为E，则的长为 ________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握相关的性质，先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，证明是等边三角形，解直角三角形得出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，，
∵，E是的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
16. 如果把两张等宽的纸条交叉叠放在一起，那么重叠部分的四边形是_______．（填特殊的四边形）
【答案】菱形
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和平行四边形的面积公式、一组邻边相等的平行四边形是菱形；熟练掌握平行四边形和菱形的判定是关键．首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形．
【详解】解：过点作于，于，

两条纸条宽度相同，
．
，，
四边形是平行四边形．
．
又．
，
四边形是菱形．
故答案为：菱形．
17. 如图，、在矩形的边、上，，，，，则的长为_________________．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．在上截取，连接，在上截取，连接，设，根据矩形的性质可得，，，从而可得，，，，进而可得，，然后可证，，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：在上截取，连接，在上截取，连接，

设，
四边形是矩形，
，，，
，，
，，
，
，
，，
，，
，
，
，
或（舍去），
，
，
故答案为：
三．解答题（共8小题，满分62分）
18. 解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
【答案】（1）x1＝﹣1，x2＝；（2）x1＝2，x2＝﹣6
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵3x2﹣7x﹣10＝0，
∴（x+1）（3x﹣10）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝．
（2）方程整理得，x2+4x﹣12＝0，
∴（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣6．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键．
19. 证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）∥∥，求证：.
【答案】见解析.
【解析】
【分析】通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．
【详解】
证明：如图，过点E作直线MN∥AC，交、于点G、H，
∵∥∥，MN∥AC，
∴四边形ABEG、BCHE是平行四边形
∴AB=GE,BC=EH,
且
∴△DGE∽△FHE，
∴
即
原题得证．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．
20. 若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
，
．
答：的值为
21. 如图，矩形中，，P点从A点出发沿边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒，连接交于点Q．
（1）求证：；
（2）求当t为何值时，．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，关键是掌握有两个角对应相等的三角形相似，相似三角形对应边成比例．
（1）根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，，进而可得判定；
（2）首先证明，结合相似三角形的性质即可得到的值．
【小问1详解】
证明∶四边形是矩形，
【小问2详解】
当时，；
解得∶，
即当时，．
22. 我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．
（1）这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整；
（2）德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？
（3）德育处准备在被调查没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率．
【答案】（1），补充条形统计图见解析；
（2）人；
（3）．
【解析】
【分析】（）用没有剩的人数除以它的百分比即可求出被调查的同学人数，再求出剩少量的学生人数，进而可把条形统计图补充完整；
（）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供人用一餐，再根据全校的总人数是人，列式计算即可;
（）画出树状图，根据树状图即可求解；
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，用树状图或列表法求概率，由统计图获得必要的信息是解题的关键．
【小问1详解】
解：这次被调查的同学共有名，
故答案为：；
∴剩少量的学生人数为名，
∴条形统计图补充完整如下：
【小问2详解】
解：人，
答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果，
∴选中甲、丙两位同学的概率．
23. “早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“早黑宝”的种植面积达到196亩
（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；
（2）市场查发现，当“早黑宝”的售价为20元千克时，每天售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广直传，基地决定降价促销，同时减存已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”天获利1750元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）40%（2）3元
【解析】
【分析】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得关于x的一元二次方程，解方程，然后根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）设售价应降低y元，根据每千克的利润乘以销售量，等于1750，列方程并求解，再结合问题的实际意义作出取舍即可．
【详解】（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得
100（1＋x）2＝196
解得x1＝0.4＝40%，x2＝−2.4（不合题意，舍去）
答：该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．
（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200＋50y）千克
根据题意，得（20−12−y）（200＋50y）＝1750
整理得，y2−4y＋3＝0，
解得y1＝1，y2＝3
∵要减少库存
∴y1＝1不合题意，舍去，
∴y＝3
答：售价应降低3元．
【点睛】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题目正确列出方程，是解题的关键．
24. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，
整理得，，∴，∵，∴．
上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．
（1）已知实数x，y满足，求的值．
（2）解方程：．
（3）已知a，b，c是的三边（c为斜边），周长为12，且a，b满足，试求的面积．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）仿照题意利用换元法求解即可；
（2）设，利用换元法求出m的值，进而解分式方程求出x的值即可；
（3）先利用换元法求出，进而利用勾股定理求出，进一步推出，利用完全平方公式变形求出的值即可得到答案．
【小问1详解】
解：设，则原方程变为，
∴，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：设，则原方程变为，
∴，
∴或，
当时，则，
∴，
解得，
经检验是分式方程解；
当时，则，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解；
∴原方程的解为或；
【小问3详解】
解：设，则原方程变为，
∴，
∴或，
∵，
∴，
∵a，b，c是的三边（c为斜边），
∴，
∴，
∵周长为12，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，解分式方程，勾股定理，正确理解题意掌握换元法是解题的关键．
25. 如图，在矩形中，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，点落在点处，连接、．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若点恰好落在上，求的值；
（3）点在边上运动的过程中，的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，．
【解析】
【分析】（1）利用折叠性质和平角，直角三角形的性质，即可得出结论；
（2）先根据勾股定理得，再用勾股定理建立方程求解即可得出结论；
（3）过作，交于，交于，先证，得，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程求出，即可解决问题；
（4）先判断出最大时，点在上，再利用三角形的面积求出，进而用勾股定理求出，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：由折叠的性质知：，
，
四边形是矩形，
，
，
；
【小问2详解】
解：四边形是矩形，
，，
在中，根据勾股定理得：，
设，则，
由折叠的性质知：，，，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
，
在中，；
【小问3详解】
解：的度数存在最大值，理由如下：
如图1，过点作交的延长线于，
在中，，
越大时，越大，即越大，
当点在边上运动时，点与重合时，，
，
，
由折叠知，，
点在上，如图4所示：
四边形是矩形，
，，
根据三角形面积得，，
，
，
在中，根据勾股定理，
．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及三角形的面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质，判断出最大时，点在上是解本题的关键．A
B
A
A，A
B，A
B
A，B
B，B