山西省吕梁市交城县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分120分 时间120分钟）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 二次根式有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义条件：被开方数为非负数，据此进行列式作答．
【详解】解：∵二次根式，
∴，
∴，
故选：B．
2. 若，，则可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，根据即可解答，熟知计算法则是解题关键．
【详解】解：，，，
可以表示为，
故选：A．
3. 下列四组数中，能作为直角三角形三边长是（ ）
A. 1，3，B. ，，2C. 2，5，7D. ，，4
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，先求出两短线段的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【详解】解：A、∵，
∴1，3，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
B、∵，
∴，，2能作为直角三角形的三边长，符合题意；
C、∵，
∴2，5，7不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D、∵，
∴，，4不能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
故选B．
4. 下列等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加减乘除运算法则，判断各项即可解答，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、不是同类二次根式根式，无法合并，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、不是同类二次根式根式，无法合并，故该选项不符合题意；
D、，，，故该选项不符合题意，
故选：B．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角线相等B. 矩形的四条边都相等
C. 菱形的对角线互相平分D. 正方形的对角线的长度是边长的2倍
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了特殊平行四边形性质，平行四边形的对角线是互相平分；正方形的对角线是平分，垂直，相等；菱形的对角线是平分，垂直；矩形的对角线是平分，相等；据此即可作答．
【详解】解：A、平行四边形的对角线互相平分，故该选项是错误的；
B、矩形的对角线是平分，相等，故该选项是错误的；
C、菱形的对角线互相平分，故该选项是正确的；
D、正方形的对角线的长度是边长的倍，故该选项是错误的；
故选：C
6. 如图，在中，于点E，若，则的长为（ ）
A. 10B. 8C. 7D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形和勾股定理的相关知识，先根据勾股定理求出，再根据平行四边形对边相等即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵
∴，
∴
故选：D．
7. 如图，正方形中对角线交于点O，点E是的中点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，中位线的性质，根据正方形的性质得到，可得是的中位线，即可解答，熟知相关性质是解题的关键．
【详解】解：正方形中对角线交于点O，
，
点E是的中点，
是的中位线，
，
故选：B．
8. 如图，一只蚂蚁沿着正方体的表面从顶点A爬向顶点B，若正方体的棱长为2厘米，则蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A. 厘米B. 4厘米C. 厘米D. 6厘米
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平面展开图最短路径问题以及勾股定理的应用，二次根式的化简，得出正确的展开图是解决问题的关键．
根据图形是立方体得出最短路径只有一种情况，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示：
（厘米），
故选C．
9. 如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键．
【详解】∵正方形③的面积为2，
∴正方形③的边长是，
∵阴影部分的面积为，
∴阴影部分的长，
∴正方形②的边长为，
∴正方形①的边长是，
故选：B．
10. 如图，是矩形的对角线，平分，交于点E，若，．则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于F，则，据此由勾股定理可得，由矩形的性质得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点E作于F，
∵，，
∴，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∵平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 请写出一个被开方数不大于5的最简二次根式是______________________．
【答案】答案不唯一，如
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念和二次根式的性质，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据二次根式的性质和最简二次根式的概念进行解答即可．
【详解】解：被开方数不大于5的最简二次根式，
可取，答案不唯一．
故答案为：．
12. 在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，则△ABC的面积是________．
【答案】12
【解析】
【分析】作AH⊥BC于H，由等腰三角形的性质得BH=3，再利用勾股定理求出AH的长，从而得出面积．
【详解】解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC，BC=6，
∴BH=BC=3，
由勾股定理得，AH==4，
∴△ABC的面积是×BC×AH=×6×4=12，
故答案为：12．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
13. 如图，在平行四边形中，对角线交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长度应为______________________ ．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可解答，熟知相关判定方法是解题的关键．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
要使平行四边形为矩形，则需要,
的长度应为，
故答案为：3．
14. 如图，是等边三角形，，点M从点B出发沿射线运动，运动速度为每秒1个单位，在运动的过程中要使为直角三角形，则点M的运动时间为____________秒．
【答案】2或8
【解析】
【分析】本题考考查了等边三角形的性质，勾股定理，含有角的直角三角形的三边关系，分类讨论，即或，两种情况，即可解答，注意分类讨论是解题的关键．
【详解】解：①当时，如图所示，
，
是等边三角形，，
为的中线，
，
；
②当时，如图所示，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
综上所述，点M的运动时间为2或8秒，
故答案为：2或8．
15. 如图，在矩形中，，，点E为上一动点，将沿着折叠，点A的对应点为，当时，的长为___________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，由折叠的性质可知：，，求出，由矩形的性质可得出，，，，则，，由勾股定理得出，解出x的值即可求出的长．
【详解】解：由折叠的性质可知：，，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
即：
解得：，
∴的长为．
故答案为：．
三、解答题(本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
16. （1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质及化简、二次根式的混合运算、平方差公式，解题的关键是掌握相关的运算法则．
（1）先利用平方差公式，二次根式的性质化简，二次根式的除法运算求解，然后计算加减即可；
（2）首先计算单项式乘以多项式，然后计算加减，然后代数求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
当时
原式

．
17. 如图，有两根直立在水平地面上的电线杆，．工人计划在A，D之间架设一根电线，若米，米，米，则所需电线的长度至少为多少米？
【答案】25米
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
过点A作，垂足为点E，先证明四边形为矩形，在求出和的长，最后根据勾股定理求出电线的长度．
【详解】
解：过点A作，垂足为点E，
，
，，
，
四边形为矩形，
米，米，
米，
米，
在中
米，
答：所需电线的长度至少为25米．
18. 如图，在中，E，F分别为边上的点，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”证明即可．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，即
∴
∴四边形是平行四边形
19. 如图，四边形是菱形，为对角线，延长到E使，连接．若，，求的长度．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理和三角形中位线，连接交于点O，根据菱形的性质得到，勾股定理求得，再证明是的中位线，即可解答，作出正确的辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点O
∵四边形是菱形
，
，
，
，
中
，
，
是的中位线
．
20. 如图1，在正方形中，点G是边上的任意一点，连接，于点E，交于点F．
（1）求证：；
（2）在图1中，取的中点H，连接，连接，如图2所示，请探究当为多少度时，四边形为平行四边形？
【答案】（1）证明见解析
（2）当时，四边形为平行四边形
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质：
（1）利用正方形的性质证明，推出，通过等量代换即可证明；
（2）当时，为等腰直角三角形，可得，由可得，等量代换推出，结合可证四边形为平行四边形．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
和中
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：当时，四边形为平行四边形，
理由如下：
∵，
∴，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
∵H为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
21. 操作与探究
问题情境
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”，通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
定理探究
（1）如图1，在网格中有一个直角三角形，请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”；
（2）若直角三角形中，，，，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
实践应用
（3）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式，利用面积相等解答是解题的关键．
（1）根据“赵爽弦图”画出一个完整的“赵爽弦图”即可；
（2）先求出中间小正方形的边长为，再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论；
（3）根据题意设计方案即可．
【详解】解：（1）根据“赵爽弦图”画出一个完整的“赵爽弦图”， 如图1所示：

（2）由图可知：中间小正方形的边长为，
∴，
，
，
；
（3）通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，如图2所示：

22. 综合与探究
探究任务：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
探究过程
（1）分析命题写出已知，求证，画出图形；
已知：如图1，在三角形中，为中线， ．
求证： ．
任务一：请把上面横线中的内容补充完整；
任务二：请根据图1写出证明过程；
（2）证明：
拓展应用
（3）在图1的基础上，将沿着折叠得到，连接，若四边形是菱形，，请求出的面积．
【答案】（1），是直角三角形；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定以及勾股定理，菱形的性质、等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）结合题意，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆运用，进行作答即可；
（2）根据等边对等角以及三角形内角和进行列式，得出即可作答．
（3）先由菱形的性质以及折叠性质得出，然后证明是等边三角形，结合勾股定理进行列式，得出，即可作答．
【详解】解：（1）依题意，
如图1，在三角形中，为中线，．
求证：是直角三角形．
故答案为：，是直角三角形；
（2）证明：∵是中线，
∴
∵
∴
∵
∵
∴
∴，
∴
是直角三角形，
（3）∵四边形是菱形
∴，
由折叠可知：
∴，
由（2）可知：
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴
在中，
，
∴．