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山西省吕梁市交城县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案）
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这是一份山西省吕梁市交城县2020-2021学年八年级下学期期中数学试题（word版 含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是
A.1，，2 B. 1，，3
C.4，5， 6 D. 6，12，13
下列各式属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
下列运算正确的是
B.
C. D.
5. 下列命题中正确的是
A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线相等的四边形是平行四边形
6. 如图，四边形ABCD，AD∥BC,DE∥AB,DE=DC,如果∠C=70°,则∠A的度数为
A. 70° B. 90° C.100° D. 110°
7. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》中记载有这样一道题目：“问有沙田一
块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：
有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的
“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为
A. 7.5平方千米 B.15平方千米 C. 75平方千米 D.750平方千米
8. 如图,在矩形ABCD中，AD=,点M在边AD上，连接BM.若BD平分∠MBC，则MD的长为
A.4 B.5 C.6 D.7
9. 如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB的中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F，已知EF=，则BC的长为
A. B. C. 3 D.
10. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接
AP，EF，下列结论中错误的是
A. AP=EF B. ∠PFE=∠BAP C. △APD一定是等腰三角形 D. AP⊥EF
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 最简二次根式与是同类二次根式，则= .
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E,F是三边的中点，DE=3,EF=4,则△ABC的周长为 .
13. 如图，已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE的长为 .
14.如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 .
15.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法，若AE=6,正方形ODCE的边长为2，则BD等于 .
三、解答题（共8小题，共75分）
16.（共2小题，每小题4分，共8分）
（1）计算：
（2）先化简，再求值：已知，，试求的值.
17.(7分)如图，已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AD=BC.求证：四边形DEBF是平行四边形.
（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，若AB=10，AC=17,BD=6,AD=8.
求∠ADB的度数；
求BC的长.
19.（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
如图（3），A，B，C是边长为1的小正方形的顶点，求∠ABC的度数.
20.（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线.
求证：DE=AF.
证法1：∵DE是△ABC的中位线
∴DE= .
∵AF是△ABC的中线,∠BAC=90°
∴AF= .
∴DE=AF
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证法2：
21.（10分）如图，正方形ABCD的边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接AF，若AF=10,求AE的长.
22.（12分）勾股定理被誉为“千古第一定理”，长期以来人们对它进行了大量的研究，找到了数百种不同的验证方法，这些方法不但验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展.
某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，对勾股定理的验证进行了如下探究：
实践操作
他们裁剪出若干张大小，形状完全相同的直角三角形纸片，三边长分别记为a，b，c，如图（1）所示.之后分别用4张直角三角形纸片拼成如图（2）（3）（4）所示的形状，通过观察推理，验证了勾股定理.
定理验证
（1）观察图（2）和图（3）可以发现：①它们整体上都是边长为 的正方形；②阴影部分的面积都是由4个完全相同的直角三角形组成，所以阴影的面积为 ；③图（2）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 ；图（3）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 ；④从而得到 .
（2）兴趣小组的同学通过观察图（4）中正方形的个数，以及它们之间的关系，验证了勾股定理，即.请你帮他们写出推理验证的完整过程.
创新构图
（3）一个直立的火柴盒在平面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法.如图（5）同样是用4个完全相同的直角三角形拼成的图形，请你利用图中的直角梯形和等腰直角三角形证明勾股定理.
23.（12分）综合探究
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线NN于点E，垂足为点F，连接CD，BE
求证：CE=AD;
当点D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
当点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
2020—2021学年第二学期期中测试题
八年级数学答案
一、选择题
1—5 B A C A C 6—10 D A B B C
二、填空题
11. 2 12. 24 13. 14. 15. 4
三、解答题
16.第1问4分，第二问4分，共8分）
解：（1）原式=………………………… 3分
=3-+2
=………………………… 4分
（2）原式==………………………… 2分
当，时
原式=
=
=………………………… 4分
17.证明：∵BE∥DF
∴∠BEF=∠DFE………………………… 1分
∵∠ADF=∠CBE,AD=BC
∴△ADF≌△CBE………………………… 3分
∴BE=DF ………………………… 5分
∴四边形BFDE是平行四边形…………… 7分
18.（第1问4分，第二问4分，共8分）
解：（1）∵BD=6，AD=8
∴……………… 1分
∵AB=10
∴ ………………………… 2分
∴………………………… 3分
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90° ………………………… 4分
在Rt△ACD中，AC=17,AD=8
由勾股定理，得………………… 6分
∴BC=BD+CD=21 ………………………… 8分
19. （第1问3分，第二问3分，第3问4分，共10分）
（1）所画正方形如图（1）所示
（2）所画三角形如图（2）所示
（3）连接AC，如图（3）
由勾股定理，得AC=BC=,AB=
∵
∴
∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°
∴∠ABC=45°
20.（第1问2分，第二问6分，共8分）
证明：证法1： ………………………… 2分
证法2：连接DF，EF ………………………… 3分
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线
∴DF，EF均是△ABC的中位线
∴DF∥AC，EF∥AB ………………………… 5分
∴四边形ADFE是平行四边形
∵∠BAC=90°
∴四边形ADFE是矩形
∴DE=AF ………………………… 8分
21.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°………………………… 2分
∴∠BAE=∠CBF
在△ABE与△BCF中
∴△ABE≌△BCF(ASA)
∴AE=BF ……………………5分
∵AF=10，AD=8
∴DF=
∴CF=2……………………7分
∴BF=
∴AE= ……………………10分
22.（第一问4分，第二问4分，第3问4分，共12分）
证明：(1)
（2）∵整个图形得面积可以表示为…………………………5分
整个图形得面积又可以表示为……………………6分
∴ …………………………7分
∴ …………………………8分
∵…………………9分
…………………………10分
∴……………11分
∴
∴
∴ …………………………12分
23.（第一问3分，第二问4分，第三问5分，共12分）
（1）∵DE⊥BC
∴∠DFB=90°………………… 1分
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE ………………… 2分
∵MN∥AB,即CE∥AD
∴四边形ADEC是平行四边形
∴CE=AD………………… 3分
四边形BECD是菱形 ………………………… 4分
∵D是AB的中点
∴AD=BD
∵CE=AD
∴BD=CE ………………… 5分
又BD∥CE
∴四边形BECD是平行四边形………………………… 6分
又DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形………………………… 7分
当∠A=45°时，四边形BECD是正方形………………………… 8分
∵∠ACB=90°,∠A=45°
∴∠ABC=∠A=45°
∴AC=BC………………………… 9分
∵点D为AB的中点
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°………………………… 10分
又四边形BECD是菱形
∴四边形BECD是正方形………………………… 11分
即当∠A=45°时，四边形BECD时正方形 ………………………… 12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是
A.1，，2 B. 1，，3
C.4，5， 6 D. 6，12，13
下列各式属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
下列运算正确的是
B.
C. D.
5. 下列命题中正确的是
A.对角线互相垂直的平行四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是菱形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.对角线相等的四边形是平行四边形
6. 如图，四边形ABCD，AD∥BC,DE∥AB,DE=DC,如果∠C=70°,则∠A的度数为
A. 70° B. 90° C.100° D. 110°
7. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》中记载有这样一道题目：“问有沙田一
块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：
有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的
“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为
A. 7.5平方千米 B.15平方千米 C. 75平方千米 D.750平方千米
8. 如图,在矩形ABCD中，AD=,点M在边AD上，连接BM.若BD平分∠MBC，则MD的长为
A.4 B.5 C.6 D.7
9. 如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB的中点.沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F，已知EF=，则BC的长为
A. B. C. 3 D.
10. 如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接
AP，EF，下列结论中错误的是
A. AP=EF B. ∠PFE=∠BAP C. △APD一定是等腰三角形 D. AP⊥EF
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 最简二次根式与是同类二次根式，则= .
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E,F是三边的中点，DE=3,EF=4,则△ABC的周长为 .
13. 如图，已知菱形ABCD的两条对角线BD，AC的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE的长为 .
14.如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为16和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 .
15.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法，若AE=6,正方形ODCE的边长为2，则BD等于 .
三、解答题（共8小题，共75分）
16.（共2小题，每小题4分，共8分）
（1）计算：
（2）先化简，再求值：已知，，试求的值.
17.(7分)如图，已知BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AD=BC.求证：四边形DEBF是平行四边形.
（8分）如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，连接AD，若AB=10，AC=17,BD=6,AD=8.
求∠ADB的度数；
求BC的长.
19.（10分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点.
在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；
如图（3），A，B，C是边长为1的小正方形的顶点，求∠ABC的度数.
20.（8分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线.
求证：DE=AF.
证法1：∵DE是△ABC的中位线
∴DE= .
∵AF是△ABC的中线,∠BAC=90°
∴AF= .
∴DE=AF
请把证法1补充完整，并用不同的方法完成证法2.
证法2：
21.（10分）如图，正方形ABCD的边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接AF，若AF=10,求AE的长.
22.（12分）勾股定理被誉为“千古第一定理”，长期以来人们对它进行了大量的研究，找到了数百种不同的验证方法，这些方法不但验证了勾股定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展.
某数学兴趣小组受“赵爽弦图”的启发，对勾股定理的验证进行了如下探究：
实践操作
他们裁剪出若干张大小，形状完全相同的直角三角形纸片，三边长分别记为a，b，c，如图（1）所示.之后分别用4张直角三角形纸片拼成如图（2）（3）（4）所示的形状，通过观察推理，验证了勾股定理.
定理验证
（1）观察图（2）和图（3）可以发现：①它们整体上都是边长为 的正方形；②阴影部分的面积都是由4个完全相同的直角三角形组成，所以阴影的面积为 ；③图（2）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 ；图（3）中空白部分面积用不同的方法表示可得关系式 ；④从而得到 .
（2）兴趣小组的同学通过观察图（4）中正方形的个数，以及它们之间的关系，验证了勾股定理，即.请你帮他们写出推理验证的完整过程.
创新构图
（3）一个直立的火柴盒在平面上倒下，启迪人们发现了一种新的证明勾股定理的方法.如图（5）同样是用4个完全相同的直角三角形拼成的图形，请你利用图中的直角梯形和等腰直角三角形证明勾股定理.
23.（12分）综合探究
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线NN于点E，垂足为点F，连接CD，BE
求证：CE=AD;
当点D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？请说明你的理由；
当点D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由.
2020—2021学年第二学期期中测试题
八年级数学答案
一、选择题
1—5 B A C A C 6—10 D A B B C
二、填空题
11. 2 12. 24 13. 14. 15. 4
三、解答题
16.第1问4分，第二问4分，共8分）
解：（1）原式=………………………… 3分
=3-+2
=………………………… 4分
（2）原式==………………………… 2分
当，时
原式=
=
=………………………… 4分
17.证明：∵BE∥DF
∴∠BEF=∠DFE………………………… 1分
∵∠ADF=∠CBE,AD=BC
∴△ADF≌△CBE………………………… 3分
∴BE=DF ………………………… 5分
∴四边形BFDE是平行四边形…………… 7分
18.（第1问4分，第二问4分，共8分）
解：（1）∵BD=6，AD=8
∴……………… 1分
∵AB=10
∴ ………………………… 2分
∴………………………… 3分
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90° ………………………… 4分
在Rt△ACD中，AC=17,AD=8
由勾股定理，得………………… 6分
∴BC=BD+CD=21 ………………………… 8分
19. （第1问3分，第二问3分，第3问4分，共10分）
（1）所画正方形如图（1）所示
（2）所画三角形如图（2）所示
（3）连接AC，如图（3）
由勾股定理，得AC=BC=,AB=
∵
∴
∴△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB=90°
∴∠ABC=45°
20.（第1问2分，第二问6分，共8分）
证明：证法1： ………………………… 2分
证法2：连接DF，EF ………………………… 3分
∵DE是△ABC的中位线，AF是△ABC的中线
∴DF，EF均是△ABC的中位线
∴DF∥AC，EF∥AB ………………………… 5分
∴四边形ADFE是平行四边形
∵∠BAC=90°
∴四边形ADFE是矩形
∴DE=AF ………………………… 8分
21.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC,∠ABC=∠C=90°
∴∠ABF+∠BAE=90°………………………… 2分
∴∠BAE=∠CBF
在△ABE与△BCF中
∴△ABE≌△BCF(ASA)
∴AE=BF ……………………5分
∵AF=10，AD=8
∴DF=
∴CF=2……………………7分
∴BF=
∴AE= ……………………10分
22.（第一问4分，第二问4分，第3问4分，共12分）
证明：(1)
（2）∵整个图形得面积可以表示为…………………………5分
整个图形得面积又可以表示为……………………6分
∴ …………………………7分
∴ …………………………8分
∵…………………9分
…………………………10分
∴……………11分
∴
∴
∴ …………………………12分
23.（第一问3分，第二问4分，第三问5分，共12分）
（1）∵DE⊥BC
∴∠DFB=90°………………… 1分
∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠DFB
∴AC∥DE ………………… 2分
∵MN∥AB,即CE∥AD
∴四边形ADEC是平行四边形
∴CE=AD………………… 3分
四边形BECD是菱形 ………………………… 4分
∵D是AB的中点
∴AD=BD
∵CE=AD
∴BD=CE ………………… 5分
又BD∥CE
∴四边形BECD是平行四边形………………………… 6分
又DE⊥BC
∴四边形BECD是菱形………………………… 7分
当∠A=45°时，四边形BECD是正方形………………………… 8分
∵∠ACB=90°,∠A=45°
∴∠ABC=∠A=45°
∴AC=BC………………………… 9分
∵点D为AB的中点
∴CD⊥AB
∴∠CDB=90°………………………… 10分
又四边形BECD是菱形
∴四边形BECD是正方形………………………… 11分
即当∠A=45°时，四边形BECD时正方形 ………………………… 12分
题号
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
答案
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