最新中考数学思想方法讲与练 【新定义问题】三角形中的新定义问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
三角形中的新定义问题
知识方法精讲
1．解新定义题型的方法：
方法一 :从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
3．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
4．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
8．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
9．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
10．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
11．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，csA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）
一．填空题（共5小题）
1．（2021秋•花都区期末）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形的对角线、相交于点．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点、分别在线段、上，且，则，其中正确的结论有 ．（填写所有正确结论的序号）
2．（2021秋•长宁区期末）定义：在中，点和点分别在边、边上，且，点、点之间距离与直线与直线间的距离之比称为关于的横纵比．已知，在中，，上的高长为3，关于的横纵比为，则 ．
3．（2021秋•赣州期中）规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，则的最小值是 ．
4．（2021秋•闵行区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知中，，，点、在边上，且，为中点，过点的优美线交过点的优美线于，那么线段的长等于 ．
5．（2021秋•邹城市期中）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中称为“奇妙角”．如果一个“奇妙三角形”的一个内角为，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为 ．
二．解答题（共15小题）
6．（2021秋•鄞州区期末）【问题提出】
如图1，中，线段的端点，分别在边和上，若位于上方的两条线段和之积等于下方的两条线段和之积，即，则称是的“友好分割”线段．
（1）如图1，若是的“友好分割”线段，，，求的长；
【发现证明】
（2）如图2，中，点在边上，交于，交于，连结，求证：是的“友好分割”线段；
【综合运用】
（3）如图3，是的“友好分割”线段，连结并延长交的延长线于，过点画交的外接圆于点，连结，设，．
①求关于的函数表达式；
②连结，，当时，求的值．
7．（2021秋•石鼓区期末）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对，如图1，在中，，底角的邻对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1） ，若，则 ．
（2）如图2，在中，，，，求的周长．
8．（2021秋•丰台区期末）对于平面直角坐标系中的线段及点，给出如下定义：
若点满足，则称为线段的“轴点”，其中，当时，称为线段的“远轴点”；当时，称为线段的“近轴点”．
（1）如图1，点，的坐标分别为，，则在，，，中，线段的“轴点”是 ；线段的“近轴点”是 ．
（2）如图2，点的坐标为，点在轴正半轴上，．若为线段的“远轴点”，请直接写出点的横坐标的取值范围 ．
9．（2020秋•南沙区期末）新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图①中，若和互为“兄弟三角形”， ，．写出，和之间的数量关系，并证明．
（2）如图②，和互为“兄弟三角形”， ，，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分．
（3）如图③，若，，试探究和的数量关系，并说明理由．
10．（2021秋•余姚市月考）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．
例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形．
（1）如图2，中，点是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由．
（2）如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．
①求的度数和的长；
②点在上，若与是邻等三角形时，请直接写出点的坐标．
11．（2021秋•岳麓区校级月考）定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
（1）若是“近直角三角形”， ，，则 ；
（2）如图1，在中，，，．若是的平分线，
①求证：是“近直角三角形”；
②在边上是否存在点（异于点，使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，在中，，点为边上一点，以为直径的圆交于点，连结交于点，若为“近直角三角形”，且，，求的长．
12．（2021秋•荔城区校级期中）概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角开中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
理解概念：
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”．
概念应用：
（2）如图2，在中，为角平分线，，．求证：为的等角分割线．
动手操作：
（3）在中，若，是的等角分割线，请求出所有可能的的度数．
13．（2021秋•金安区校级期中）概念学习：已知，点为其内部一点，连接、、，在、和中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．
理解应用
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①内角分别为、、的三角形存在等角点 ；
②任意的三角形都存在等角点 ．
（2）如图中，点是锐角三角形的等角点，若，探究图中么、、之间的数量关系，并说明理由．
14．（2021•安溪县模拟）在平面直角坐标系中，对于点、和图形，给出如下定义：若图形上存在一点，使，则称点为点关于图形的一个“直角联络点”．已知点，．
（1）在点、中，点关于点的“直角联络点”是 （直接写出符合条件的点）
（2）点的坐标为，若点是点关于点的“直角联络点”，求．
15．（2021•临海市一模）在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．
（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为 ；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为 ；
（2）性质探究：如图1，是的中线，，，，，记中的勾股差为，中的勾股差为；
①求，的值（用含，，，的代数式表示）；
②试说明与互为相反数；
（3）性质应用：如图2，在四边形中，点与分别是与的中点，连接，，，若，且，，求的值．
16．（2021秋•南昌期中）【概念学习】如图1，2，已知，点为其内部一点，连接、、，在、、中，如果存在一个三角形，其内角与的三个内角分别相等，那么就称点为的等角点．
【理解应用】
（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．
①等边三角形存在等角点： ；
②等腰直角三角形存在等角点： ；
③内角分别为、、的三角形存在等角点： ；
④任意的三角形都存在等角点： ；
【深入理解】
（2）如图1，点是锐角的等角点，且与的三个内角分别相等，已知：若，，求的度数；
（3）如图2，点是锐角的等角点，若，探究、、之间的数量关系，并说明理由．
17．（2021秋•诸暨市期中）定义：两边的平方和与这两边乘积的差等于第三边平方的三角形叫做“和谐三角形”．如图1在中，若，则是“和谐三角形”．
（1）等边三角形一定是“和谐三角形”，是 命题（填“真”或“假” ．
（2）若中，，，，，且，若是“和谐三角形”，求．
18．（2021秋•大田县期中）在平面直角坐标系中，将三点，，的“矩面积”记为，定义如下：
，，中任意两点横坐标差的最大值称为“水平底”，任意两点纵坐标差的最大值称为“铅垂高”，“水平底”与“铅垂高”的乘积即为点，，的“矩面积”，即．例如：点，，，它们的“水平底”为5，“铅垂高”为4，“矩面积” ．
解决以下问题：
（1）已知点，，，求，，的“矩面积”；
（2）已知点，，，且，，的“矩面积”为12，求的值；
（3）已知点，，，若，且，，的“矩面积”为25，求的值．
19．（2021秋•广陵区期中）我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
（1）如图1，点在线段上，，．求证：点是的准外心；
（2）如图2，在中，，，，的准外心在的直角边上，试求的长．
20．（2021秋•西城区校级期中）对于平面直角坐标系内的任意两点，，，，定义它们之间的“直角距离”为．
对于平面直角坐标系内的任意两个图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“直角距离”，记作．
（1）已知，，则 ， ；
（2）已知，，若，则的取值范围是 ；
（3）已知，若坐标平面内的点满足，则在图中画出所有满足条件的点所构成的图形，该图形的面积是 ；
（4）已知，，直线过点且垂直于轴，若直线上存在点满足，，，则的取值范围是 ．