最新中考数学思想方法讲与练 【整体思想】求代数式值中的整体思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
求代数式值中的整体思想
知识方法精讲
1．整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
2．代数式求值
（1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值．
（2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．
题型简单总结以下三种：
①已知条件不化简，所给代数式化简；
②已知条件化简，所给代数式不化简；
③已知条件和所给代数式都要化简．
一．选择题（共7小题）
1．（2021秋•南充期末）已知，是方程的两根，则代数式的值等于
A．0B．C．9D．11
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的两根，
，
，
，
，是方程的两根，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
2．（2021秋•中原区校级期末）已知，则代数式的值是
A．B．C．4D．7
【考点】代数式求值
【分析】原式前两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：，
原式．
故选：．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．（2021秋•天门期末）如果，那么代数式的值为
A．B．C．6D．8
【考点】整式的混合运算—化简求值
【分析】利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式
，
，
原式
，
故选：．
【点评】本题考查整式的混合运算，灵活应用整体思想代入求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
4．（2021秋•晋州市期末）若，则的值为
A．2021B．2022C．2023D．2024
【考点】代数式求值
【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：，
．
原式
．
故选：．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
5．（2021秋•长沙期末）已知，则的值是
A．20B．21C．7D．10
【考点】代数式求值
【分析】将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答即可．
【解答】解：，
，
原式
．
故选：．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，将代数式适当变形，利用整体代入的方法解答是解题的关键．
6．（2021秋•江油市期末）已知代数式的值是3，则的值是
A．B．C．D．
【考点】代数式求值
【分析】原式变形后，把已知代数式的值代入计算即可求出值．
【解答】解：代数式的值是3，
．
故选：．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，正确将所求代数式变形是解题关键．
7．（2021秋•封开县期末）若，则的值为
A．B．42C．D．22
【考点】代数式求值
【分析】由可得出的值，又所求式子可变形为，则将整体的值代入即可．
【解答】解：，
，
原式．
故选：．
【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
二．填空题（共14小题）
8．（2021•饶平县校级模拟）已知的值为13，则代数式的值为 10 ．
【考点】33：代数式求值
【分析】通过已知将代数式化为，再将，代入即可求解；
【解答】解：的值为13，
，
；
故答案为10；
【点评】本题考查代数式求值；熟练运用整体思想是解决本题的关键．
9．（2021•广东模拟）已知的值是7，则式子的值是 ．
【考点】代数式求值
【分析】首先根据的值是7，求出的值是多少；然后代入式子，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
10．（2020•东莞市一模）已知，则代数式的值为 9 ．
【考点】33：代数式求值
【分析】先求得，依据等式的性质得到即可得到结论．
【解答】解：，
，
，
原式．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
11．（2021秋•广丰区期末）若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是 2023 ．
【考点】一元二次方程的解
【分析】先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：把代入方程得，
，
．
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．（2021秋•安居区期末）设、是一元二次方程的两个根，则 1 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是一元二次方程的根，
，
，
，
、是一元二次方程的两个根，
，
．
故答案为：1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
13．（2021秋•南充期末）已知，则 18 ．
【考点】完全平方公式；分式的化简求值
【分析】根据完全平方公式将原式进行变形，然后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式，
当时，
原式，
故答案为：18．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构是解题关键．
14．（2021秋•渝北区期末）已知，则代数式的值为 2018 ．
【考点】代数式求值
【分析】原式后两项提取2变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：，
．
故答案为：2018．
【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2021秋•金牛区期末）已知，则式子的值为 2027 ．
【考点】代数式求值
【分析】对已知条件进行变形，得到的值，对所求式子进行变形，再把的值整体代入即可．
【解答】解：，
，
；
故答案为：2027．
【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值；本题也可以直接把的值代入所求式子．
16．（2021秋•锦江区校级期末）若，，则 3 ．
【考点】整式的加减
【分析】将原式进行变形，然后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式
，
，，
原式，
故答案为：3．
【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号），利用整体思想代入求值是解题关键．
17．（2021秋•鼓楼区校级期末），，则 15 ．
【考点】整式的加减
【分析】原式进行变形后，利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式，
，，
原式，
故答案为：15．
【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号），利用整体思想代入求值是解题关键．
18．（2021秋•成华区期末）已知一元二次方程的两根为，，则的值为 ．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解，可得出，，再整体代入即可求出结论．
【解答】解：一元二次方程的两根为，，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题的关键是得到，．
19．（2021秋•临江市期末）若，则 1 ．
【考点】代数式求值
【分析】原式进行化简，然后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式，
，
，
原式，
故答案为：1．
【点评】本题考查代数式求值，利用整体思想代入求值是解题关键．
20．（2021秋•福田区校级期末）已知，则 2024 ．
【考点】代数式求值
【分析】由已知条件可得，对所求式子进行变形，整体代入即可．
【解答】解：，
，
原式
．
故答案为：2024．
【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
21．（2021秋•东城区校级期中）如果代数式的值为6，那么代数式的值是 11 ．
【考点】33：代数式求值
【分析】把已知变形后，整体代入计算即可求出值．
【解答】解：，
，
．
故为：11．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入计算的方法是解本题的关键．
三．解答题（共9小题）
22．（2021秋•通州区期末）先化简，再求值：
已知，求的值．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】根据去括号、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算得到答案．
【解答】解：原式
，
，
原式．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．
23．（2021秋•白云区期末）已知，互为倒数，，互为相反数．
（1）求式子的值；
（2）若，，求式子的值．
【考点】有理数的混合运算
【分析】（1）将原式进行变形，根据倒数及相反数的概念求得，，然后利用整体思想代入求值；
（2）根据有理数乘方的运算法则求得和的值，从而确定和的值，代入求值即可．
【解答】解：（1）原式，
，互为倒数，，互为相反数，
，，
原式
，
即式子的值为3；
（2），，
，，
又，互为倒数，，互为相反数，
，，
原式
．
【点评】本题考查有理数的混合运算，理解相反数和倒数的概念，注意明确有理数混合运算顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算）是解题关键．
24．（2021秋•海淀区期末）已知，求代数式的值．
【考点】分式的化简求值
【分析】原式小括号内的式子先进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则，利用整体代入求值是关键．
25．（2021秋•荔湾区期末）已知，，求代数式的值．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】原式去括号，合并同类项进行化简，然后利用整体思想代入求值．
【解答】解：原式
；
当，时，
原式
，
原代数式的值为3．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号），利用整体思想解题是关键．
26．（2021秋•铁西区期末）利用乘法公式解决下列问题：
（1）若，．则 144 ；
（2）已知，若满足，求值．
【考点】多项式乘多项式；完全平方公式
【分析】（1）由，给等式两边同时加上，再根据已知条件即可得出答案；
（2）设，，则，再代入计算即可
【解答】解：（1），
把，，代入上式，得．
故答案是：144；
（2）设，，
由进行变形得，
，
．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，完全平方公式的变式应用能力，属于基础计算题．
27．（2021秋•西城区校级期中）若，求的值．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】先把给出的多项式进行化简，由题意得出的值，再整体代入即可．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
【点评】此题主要考查了代数式求值，代数式中的字母没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设入手，寻找要求的代数式与题设之间的关系，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
28．（2021秋•思明区校级期中）所谓完全平方式，就是对一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式，如、，则称、是完全平方式．
（1）下列各式中是完全平方式的有 ②⑤⑥ ．（填写编号）
①；②；③；④；⑤；⑥．
（2）证明：多项式是一个完全平方式．
（3）已知、、是的三边长，满足，判定的形状．
【考点】幂的乘方与积的乘方；完全平方式；因式分解的应用
【分析】（1）通过题干定义，通过完全平方式分别判断求解．
（2）先将整理为，然后将作为整体求解．
（3）将整理为求解．
【解答】解：（1）①，不是我去苹果是，不符合题意．
②，符合题意．
③，不符合题意．
④，不符合题意．
⑤，符合题意．
⑥，符合题意．
故答案为：②⑤⑥．
（2）
，
多项式是一个完全平方式．
（3），
，
，
，，
，
是等边三角形．
【点评】本题考查因式分解的应用，解题关键是掌握完全平方式，通过整体思想求解．
29．（2021秋•六盘水月考）“整体思想”是中学数学学习中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如把看成一个整体：，请应用整体思想解答下列问题：
（1）化简：；
（2）已知，，，求的值．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】（1）把看成一个整体，利用合并同类项法则计算即可；
（2）先去括号，再利用加法的交换律和结合律，最后整体代入求值．
【解答】解：（1）原式
．
（2）原式
．
当，，时，
原式
．
【点评】本题考查了整式的加减和整体的思想方法，掌握整体的思想是解决本题的关键．
30．（2021秋•柘城县期中）整体代换是数学的一种思想方法．例如：，则 2021 ，我们将作为一个整体代入，则原式．
仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
（1）若，则 ；
（2）如果，求的值；
（3）若，，求的值．
【考点】整式的加减—化简求值
【分析】（1）利用整体思想代入求值；
（2）原式进行变形整理后，利用整体思想代入求值；
（3）将原式进行变形整理后，利用整体思想代入求值．
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：2021；
（2）
，
，
原式；
（3），
①，
，
②，
①②，得：
．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握去括号，合并同类项的运算法则，利用整体思想求解是关键．