最新中考数学思想方法讲与练 【新定义问题】方程与不等式中的新定义问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
方程与不等式中的新定义问题
知识方法精讲
1．解新定义题型的方法：
方法一 :从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•涡阳县期末）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为
A．B．C．D．
【考点】解一元二次方程公式法；高次方程；代数式求值
【分析】由题可知，将所求式子变形为再求解即可．
【解答】解：，
，
，
的根为或，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查高次方程的解，理解题中所给降次的方法，灵活降次，准确求一元二次方程的根是解题的关键．
2．（2021•罗湖区校级模拟）对于实数和，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是
A．B．C．D．
【考点】解分式方程；实数的运算
【分析】根据新定义运算列出分式方程，计算即可求出解．
【解答】解：已知等式整理得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2021秋•南皮县校级月考）定义一种新运算：※，若5※，则的值为
A．B．或C．D．或
【考点】有理数的混合运算；解分式方程
【分析】根据题意得出两种情况：和，得出分式方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：5※，
当时，原方程化为：，
解得：；
当时，原方程化为：，
，
，
，
，
舍去，
经检验是原方程的解，
故选：．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
4．（2021•福田区一模）对于实数，，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是通常的实数运算．例如：，则方程的解是
A．B．C．D．
【考点】实数的运算；解分式方程
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：，
去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
故选：．
【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
5．（2017•杜尔伯特县二模）定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程满足那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是
A．方有两个相等的实数根B．方程有一根等于0
C．方程两根之和等于0D．方程两根之积等于0
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】根据已知得出方程有两个根或，再判断即可．
【解答】解：把代入方程得出：，
把代入方程得出，
方程有两个根或，
，
即只有选项正确；选项、、都错误；
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
6．（2020秋•随县期末）规定一种新运算：，若，则的值为
A．B．1C．2D．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程
【分析】首先根据题意，可得：，所以，所以；然后根据解一元一次方程的方法，求出的值为多少即可．
【解答】解：，
，
，
，
，
去括号，可得：，
移项，可得：，
合并同类项，可得：，
系数化为1，可得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
二．填空题（共5小题）
7．（2021秋•建华区期末）对于非零的两个有理数、，我们给出一种新的运算，规定：，若，则的值为 ．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程；解分式方程
【分析】先根据新运算得出方程，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
，
即，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，所以是原方程的解，
即，
故答案为：．
【点评】本题考查了有理数的混合运算和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键，注意：解分式方程一定要进行检验．
8．（2021秋•东莞市期末）新定义一种运算“☆”，规定☆．若2☆☆2，则的值为 2 ．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程
【分析】根据题意，可得：，据此求出的值为多少即可．
【解答】解：☆，2☆☆2，
，
整理，可得：，
解得．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
9．（2020秋•福田区校级期末）对，定义一种新运算“※”，规定：※（其中，均为非零常数），若1※，1※．则2※1的值是 9 ．
【考点】有理数的混合运算；解二元一次方程组
【分析】由已知条件，根据所给定义可得到关于、的方程组，则可求得、的值，再代入计算即可．
【解答】解：※，1※，
，
解得：，
则※
※，
故答案为：9．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．（2020春•思明区校级期末）新定义：对非负数 “四舍五入”到个位的值记为．即当为非负整数时，若则．如，．给出下列关于的结论：
①；
②；
③若，则的取值范围是；
④当，为非负整数时，有；
其中正确的结论有 ①③④ （填写所有正确的序号）．
【考点】近似数和有效数字；解一元一次方程
【分析】对于①可直接判断，②可用举反例法判断，③、④我们可以根据题意所述利用不等式判断．
【解答】解：①，故①符合题意；
②，例如当时，，，故②不符合题意；
③若，则，解得：，故③符合题意；
④为非负整数，故，故④符合题意；
综上可得①③④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了解一元一次方程以及一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解．
11．（2020秋•奉贤区期末）已知和两个有理数，规定一种新运算“”为：（其中，若，则 ．
【考点】有理数的混合运算；解分式方程
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值．
【解答】解：已知等式利用题中的新定义化简得：，即
整理得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
则．
故答案为：．
【点评】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解本题的关键．
三．解答题（共14小题）
12．（2021秋•市中区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆．如：1☆．
（1）☆ ；
（2）若☆☆，求的值；
（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则；若，则；若，则．若2☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算；整式的混合运算
【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；
（2）利用规定的运算方法得出方程，求得方程的解即可；
（3）利用规定的运算方法得出、，再进一步作差即可比较大小．
【解答】解：（1）原式
；
故答案为：．
（2）根据题意得：
整理得，
解得：；
（3）已知等式整理得：，，
，
．
【点评】本题考查了新定义，涉及到了有理数的混合运算、一元一次方程．解题的关键是根据新定义进行化简整理．
13．（2021秋•西城区期末）我们将数轴上点表示的数记为．对于数轴上不同的三个点，，，若有，其中为有理数，则称点是点关于点的“星点”．已知在数轴上，原点为，点，点表示的数分别为，．
（1）若点是点关于原点的“星点”，则 ；若点是点关于点的“2星点”，则 ；
（2）若线段在数轴上沿正方向运动，每秒运动1个单位长度，取线段的中点．是否存在某一时刻，使得点是点关于点的“星点”？若存在，求出线段的运动时间；若不存在，请说明理由；
（3）点在数轴上运动（点不与，两点重合），作点关于点的“3星点”，记为，作点关于点的“3星点”，记为．当点运动时，是否存在最小值？若存在，求出最小值及相应点的位置；若不存在，请说明理由．
【考点】数轴；一元一次方程的应用；规律型：数字的变化类
【分析】（1）由“星点”的定义列出方程可求解；
（2）设点表示的数为，点表示的数，则线段的中点表示的数为，由“星点”的定义列出方程可求解；
（3）先求出，表示的数，可求，由绝对值的性质可求解．
【解答】解：（1）点是点关于原点的“星点”，
，
解得：，
点是点关于点的“2星点”，
，
，
故答案为：，；
（2）设点表示的数为，点表示的数，则线段的中点表示的数为，
点是点关于点的“星点”，
，
，
，
当，使得点是点关于点的“星点”；
（3）当点在线段（点不与，两点重合）上时，存在最小值，理由如下：
设点表示的数为，
点是点关于点的“3星点”，
点表示的数为，
点是点关于点的“3星点”，
点表示的数是，
，
当时，，
当时，，
当时，，
当点在线段（点不与，两点重合）上时，存在最小值，最小值为15．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值，理解“星点”的定义并运用是解题的关键．
14．（2021秋•长沙期末）若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”．
（1）请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由；
（2）若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值；
（3）若无论取任何有理数，关于的方程，为常数）与关于的方程都是“美好方程”，求的值．
【考点】绝对值；一元一次方程的解
【分析】（1）分别求出两个方程的解，再由定义进行验证即可；
（2）求出方程的解是，再由定义可得，再由的值分别求的值即可；
（3）先求方程的解为，再由定义可得，再由的值分别求的值即可．
【解答】解：（1）的解是，
的解是，
，
方程与方程不是“美好方程”；
（2）的解是，
方程与方程是“美好方程”，
，
或，
当时，；
当时，；
（3）的解为，
方程与方程是“美好方程”，
，
或，
当时，，
，
，
无论取任何有理数都成立，
，，
，，
；
当时，，
，
，
无论取任何有理数都成立，
，，
，，
；
综上所述：的值为20或28．
【点评】本题考查一元一次方程的解，理解定义，熟练一元一次方程的解法，绝对值的性质是解题的关键．
15．（2021秋•庆阳期末）若规定这样一种新运算法则：．如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程
【分析】（1）先根据新运算得出，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出，再根据有理数的运算法则进行计算，最后根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
．
【点评】不考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．
16．（2021秋•任城区期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定※．
例如：1※．
（1）求※5的值；
（2）若※，求的值．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程
【分析】（1）由新运算的定义把式子转化为，再进行运算；
（2）由新运算的定义把式子转化为，然后解方程求；
【解答】解：（1）由题意知，※．
（2）由题意知，※，
※，
．
移项得：
，
方程两边都除以得：
．
的值为1．
【点评】本题是阅读型题目，弄清题目中定义的含义是解题的关键．
17．（2021秋•锦江区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“友好方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，所以为一元一次方程的“友好方程”．
（1）已知关于的方程：①，②，
以上哪个方程是一元一次方程的“友好方程”？
请直接写出正确的序号是 ② ．
（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请求出的值．
（3）如关于的方程是关于的一元一次方程的“友好方程”，请直接写出的值．
【考点】一元一次方程的定义；含绝对值符号的一元一次方程；解一元二次方程直接开平方法
【分析】（1）先求出一元一次方程的解，再解出和，根据“友好方程”的定义判断即可；
（2）解出得解，再解出的解是，分类讨论，令，即可求出的值；
（3）先解出一元一次方程的解，再根据表示出，将代入到方程中化简即可．
【解答】解：（1）的解为，
方程的解是，；故不是“友好方程”；
方程的解是或，当时，，故是“友好方程”，
故答案是：②
（2）方程的解是或，一元一次方程的解是，
若，，则，解得；
若，，则，解得；
答：的值为97或95．
（3），解得，
，
；
；
；
即．
分母不能为0；
，即；
；
答：的值为16．
【点评】本题考查解一元一次方程，理解题目定义中的“友好方程”是解题的关键，再通过解一元一次方程的方法求解．
18．（2020•丽水模拟）新定义：如果一个矩形，它的周长和面积分别是另外一个矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是另一个矩形的“减半”矩形．
（1）已知矩形的长12、宽2，矩形的长4、宽3，试说明矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）矩形的长和宽分别为2，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）分别计算出矩形是矩形周长和面积即可说明矩形是矩形的“减半”矩形．
（2）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为、，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
【解答】解：（1）由题意可知：矩形的周长，面积，矩形的周长，面积，
所以矩形是矩形的“减半”矩形；
（2）不存在．理由如下：
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为、，
则，
由①得：③，
把③代入②得：，
，
所以不存在．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系．
19．（2020秋•江北区期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若在坐标轴上存在点，使得，则称点为点，的“的和谐点”．例如坐标为时，，则称为点，的“6的和谐点”．
（1）若点为点，的“的和谐点”，且为等腰直角三角形，求的值；
（2），的“10的和谐点”有几个，请分别求出坐标；
（3）直接指出，的“的和谐点”的个数情况和相应的取值条件．
【考点】三角形综合题
【分析】（1）先由、两点的坐标求出，再根据等腰直角三角形的定义得到，然后根据“的和谐点”的定义即可求解；
（2）设点是点，的“10的和谐点”，分类讨论：①如果点在轴上，设点坐标为，得，结合取值范围解方程即可；②如果点在轴上，设点坐标为．根据勾股定理求得，即可求解；
（3）由，可知点，的“的和谐点”的个数情况分三种情况进行讨论：①当时，根据两点之间线段最短可知，的“的和谐点”没有；②当时，轴上与3之间的任意一个数所对应的点都是，的“的和谐点”，所以有无数个；③当时，，的“的和谐点” 轴上有2个，轴上也有2个，一共有4个．
【解答】解：（1）点，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
即；
（2）设点是点，的“10的和谐点”，分类讨论：
①如果点在轴上，设点坐标为．
，
，
当时，，
解得，
所以点坐标为；
当时，，无解；
当时，，
解得，
所以点坐标为；
②如果点在轴上，设点坐标为．
．
，
，
所以点坐标为，；
综上所述，，的“10的和谐点”有4个，坐标为，，，；
（3），
点，的“的和谐点”的个数情况分三种情况：
①当时，根据两点之间线段最短，，的“的和谐点”没有；
②当时，轴上与3之间的任意一个数所对应的点都是，的“的和谐点”， ，的“的和谐点”有无数个；
③当时，，的“的和谐点” 轴上有2个，轴上也有2个，，的“的和谐点”有4个．
【点评】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式，同时考查学生的阅读理解能力和知识的迁移能力．正确理解，的“的和谐点”的定义是解题的前提，运用方程思想、分类讨论是解题的关键．
20．（2020秋•九龙坡区期末）若在一个两位正整数的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数加6后得到一个新数，我们称这个新数为的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是 368 ，“明德数”是 ；
（2）若一个两位正整数的“明德数”的各位数字之和是的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数的值．
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）根据“至善数”和“明德数”的定义计算即可得答案；
（2）设的十位数字为，个位数字为，分别写出的“至善数”和“明德数”的各个数位上的数字之和，“明德数”的个位可能存在进位，故分两类计算即可．
【解答】解：（1）38的“至善数”是368；“明德数”是．
故答案为：368；44；
（2）设的十位数字为，个位数字为，则的至善数的各位数字之和是．
的明德数各位数字之和是（当时）或（当时）．
由题意得：时，．
，不符合题意；
或者：当时，．
．
，或，或，或，或，或，．
满足条件的所有两位正整数的值是：39或48或57或66或75或84．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，此题属于新定义在数字问题中的应用，读懂定义并正确列式是解题的关键．
21．（2020秋•凤凰县期末）阅读下列材料，然后回答问题：
对于实数、我们定义一种新运算，（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对，若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对．
（1）若，则 5 ，， ；
（2）已知，，，若正格线性数（其中为整数），问是否有满足这样条件的正格数对？若有，请找出，若没有，请说明理由．
【考点】实数的运算；一元一次方程的解
【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；
（2）根据题中的新定义化简已知等式，由，都为正整数，为整数，确定出所求即可．
【解答】解：（1）根据题中的新定义得：，，；
故答案为：5；3；
（2）根据题中的新定义化简，，得：，
解得：，
化简，得：，
依题意，，都为正整数，是整数，
是奇数，
，3，9，
解得：，0，3，
当时，，，舍去；
当时，，，舍去；
当时，，，
综上，时，存在正格数对，满足条件．
【点评】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
22．（2020秋•新宾县期末）用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．如：．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程
【分析】（1）按规定的运算程序运算求值即可；
（2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求的值．
【解答】解：（1）
；
（2）由题可知，，
则，
整理得：，
解得：．
【点评】本题考查了新定义运算及解一元一次方程，掌握新定义运算的运算过程是解决本题的关键．
23．（2020秋•中山区期末）当时，定义一种新运算：，例如：，，．
（1）直接写出 2 ；
（2）若，，，求出的值．
【考点】有理数的混合运算；解分式方程
【分析】（1）根据题中的新运算计算即可；
（2）已知等式利用题中的新运算化简，计算即可求出的值．
【解答】解：（1）根据题中的新运算得：；
故答案为：2；
（2）当时，，，化简得：，
解得：，不合题意，舍去；
当时，，，化简得：，
解得：，
综上，．
【点评】此题考查了解分式方程，有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
24．（2020春•万州区期末）阅读下列材料解答问题：
新定义：对非负数 “四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，
则；反之，当为非负整数时，如果，则．例如：
，，，，
试解决下列问题：
（1）① 6 为圆周率）；
②如果，则数的取值范围为 ；
（2）求出满足的的取值范围．
【考点】近似数和有效数字；解一元一次不等式组
【分析】（1）①利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值；
②利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围；
（2）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可．
【解答】解：（1）由题意可得：；
故答案为：6，
②，
，
；
故答案为：；
（2），为整数，设，为整数，
则，
，
，，
，
，4，5，6，7，
则，，4，，．
【点评】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
25．（2020春•郑州期末）新定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解中的一个，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．
（1）在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是 ③ ；（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是 ；（写出一个即可）
（3）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，直接写出的取值范围．
【考点】一元一次方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解
【分析】（1）解方程和不等式组，根据关联方程的定义可得答案；
（2）解不等式组求出其整数解，再根据关联方程的定义写出以此整数为解的方程可得答案；
（3）解方程和不等式组，再根据关联方程的概念可得答案．
【解答】解：（1）解方程得；解方程得；解方程得；
解不等式组得，
不等式组的关联方程是③；
故答案为：③；
（2）解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
其整数解为2，
则该不等式组的关联方程可以为．（答案不唯一）；
故答案为：；
（3）解方程得，
解方程得，
解关于的不等式组得，
方程、都是关于的不等式组的关联方程，
．
【点评】本题主要考查解一元一次方程和一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次方程和一元一次不等式组的技能是解题的关键．