最新中考数学思想方法讲与练 【新定义问题】数与式中的新定义问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
数与式中的新定义问题
知识方法精讲
1．解新定义题型的方法：
方法一 :从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
3．列代数式
（1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式．
（2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
【规律方法】列代数式应该注意的四个问题
1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量．
2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写．
3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数．
4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式．
4．规律型：数字的变化类
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程．
5．取整函数
取整函数．
不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]．
x﹣[x]称为x的小数部分，记作{x}．
（需要注意的是，对于负数，[x]指的并不是x小数点做右边的部分，{x}指的是x小数点右边的部分，例如对于负数﹣3.7，[﹣3.7]＝﹣4，而不是﹣3，此时{x}＝﹣3.7﹣（﹣4）＝0.3，而不是﹣0.7）
取整函数的图象一般都有跳跃性．
一．选择题（共6小题）
1．（2021秋•南沙区期末）定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法和乘法运算，如．若为实数）是关于的方程，且是这个方程的一个根，则的值是
A．4B．或4C．0或4D．1或4
【考点】方程的定义；解一元二次方程因式分解法；实数的运算
【分析】根据定义运算“”：对于任意实数，，都有，进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
，，
故选：．
【点评】本题考查了实数的运算，方程的定义，解一元二次方程因式分解法，理解定义新运算“”是解题的关键．
2．（2021秋•洪山区期末）定义：如果，那么叫做以为底的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中正确的有 个．
①；②；③若，则；④；
A．4B．3C．2D．1
【考点】有理数的乘方
【分析】根据对数和乘方互为逆运算逐一进行判断即可．
【解答】解：，
，故①不符合题意；
，
，故②符合题意；
，
，
，故③不符合题意；
，
，
，
，
，
，
，
，故④符合题意；
综上所述，符合题意的有2个，
故选：．
【点评】本题考查了有理数的乘方，属于新定义问题，掌握对数和乘方互为逆运算是解题的关键．
3．（2020秋•安新县期末）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为
A．7B．C．1D．
【考点】整式的加减—化简求值；有理数的混合运算
【分析】根据新定义运算法则列式，然后去括号，合并同类项进行化简，最后代入求值．
【解答】解：原式
，
当时，
原式，
故选：．
【点评】本题考查整式的加减—化简求值，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
4．（2021秋•六盘水月考）对于有理数，，定义，则化简后得
A．B．C．D．
【考点】有理数的混合运算；整式的加减
【分析】根据新定义运算列式，去括号，合并同类项进行化简，注意先算括号里面的，再算括号外面的．
【解答】解：原式
，
故选：．
【点评】本题考查整式的加减，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
5．（2021秋•瑞安市月考）格子乘法是由明代数学家吴敬在其撰写的《九章算法类比大全》一书中提出，例如图1所示计算，将被乘数89计入上行，乘数65计入右行．然后以乘数65的每位数字乘被乘数89的每个数字，将结果计入相应格子中，最后斜行加起来，即得5785．现用格子乘法进行如图2计算，问：根据该计算得到的最终结果是
A．3056B．3058C．4056D．4058
【考点】有理数的乘法；数学常识
【分析】先根据题意推出，然后完成图2即可得解．
【解答】解：，，，，
．
计算过程如图所示：
结果为4056．
故选：．
【点评】本题考查了新定义，能够理解新定义，根据题意推出的值，是解题的关键．
6．（2021秋•德城区校级月考）对于正整数，我们定义一种“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果，并且运算重复进行．例如，取，则若，则第2019次运算的结果是
A．2018B．2017C．2D．1
【考点】有理数
【分析】按新定义的运算法则，分别计算出当时，第一、二、三、四、五次运算的结果，发现循环规律即可解答．
【解答】解：由题意可得，
当时，
第一次输出的结果为：10，
第二次输出的结果为：5，
第三次输出的结果为：6，
第四次输出的结果为：3，
第五次输出的结果为：4，
第六次输出的结果为：2，
第七次输出的结果为：1，
第八次输出的结果为：2，
第九次输出的结果为：1，
，
即从第六次开始2和1出现循环，偶数次为2，奇数次为1，
当时，第2019次运算的结果是1．
故选：．
【点评】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点．
二．填空题（共7小题）
7．（2021秋•海曙区期末）对实数、规定一种新运算△，若△，则方程△的解是 ．
【考点】实数的运算；解一元一次方程
【分析】根据题目已知的新运算，列出方程进行计算即可．
【解答】解：由题意得：
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，解一元一次方程，理解题目已知的新运算是解题的关键．
8．（2021秋•顺义区期末）对于任意的正数，，定义运算“”如下：，计算的结果为 ．
【考点】实数的运算
【分析】根据题目已知的定义运算进行计算即可．
【解答】解：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
9．（2021秋•迁安市期末）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：
，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行 3 次操作后变为2；如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为 ．
【考点】实数的运算；估算无理数的大小
【分析】仿照题目已知的例题即可解答．
【解答】解：由题意得：
现在对36进行如下操作：
，
对36只需进行3次操作后变为2；
现在对256进行如下操作：
，
如果只需进行3次操作后变为2的所有正整数中最大的数为：256；
故答案为：3，256．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，实数的运算，理解已知条件的规定：用表示不小于的最小整数，是解题的关键．
10．（2021秋•金牛区期末）规定“”是一种新的运算符号：，已知，则 ．
【考点】有理数的混合运算
【分析】根据规定，先计算，再解关于的方程．
【解答】解：
，
又，
．
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，理解和掌握新定义的规定是解决本题的关键．
11．（2021秋•成都期末）对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么 ．
【考点】实数的运算；解三元一次方程组
【分析】根据定义的新运算，列出关于，，的三元一次方程组，解方程组即可解答．
【解答】解：由定义可知：，
设，
，，
，，
由题意得：，
③②得：，④
②①得：，⑤
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的运算，解三元一次方程组，理解定义新运算是解题的关键．
12．（2021秋•福田区校级期末）规定：符号叫做取整符号，它表示不超过的最大整数，例如：，，．现在有一列非负数，，，，已知，当时，，则的值为 11 ．
【考点】取整函数
【分析】由所给条件分别求出，，，，，，，从而发现规律：每5个结果循环一次，则可得．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，，，，每5个结果循环一次，
，
，
故答案为：11．
【点评】本题考查取整函数，理解定义，通过对所给的数进行运算，发现结果的循环规律是解题的关键．
13．（2021•金凤区二模）定义新运算：对于任意实数，，都有⊕，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：3⊕．
（1）2⊕ ．
（2）若⊕等于，则 ．
【考点】实数的运算
【分析】（1）根据新定义运算法则进行求值即可求出答案．
（2）根据题意列出方程即可求出的值．
【解答】解：（1）原式
．
故答案为：．
（2）由题意可知：，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
三．解答题（共13小题）
14．（2021秋•顺德区期末）用“”定义一种新运算：对于任何有理数和，规定．
（1）求的值；
（2）若，求的最大整数；
（3）若关于的方程满足：，求的值；
（4）若，，且，求的值．
【考点】解一元一次方程；整式的加减—化简求值；有理数的混合运算
【分析】（1）由定义可得，；
（2）由，则，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当时，；当时，；求出的值即可；
（4）由题意可求，，再由，可得，得到，再求解即可．
【解答】解：（1）；
（2），
，
，
的最大整数1；
（3）当时，，
（舍；
当时，，
；
（4），，
，，
当时，即，
（舍；
当时，即，
，
，
，
．
【点评】本题考查新定义，整式的加减法，理解题意，熟练掌握整式的运算法则，分类讨论是解题的关键．
15．（2021秋•门头沟区期末）对于任意两个非零实数，，定义运算如下：．
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
（1） ， ；
（2）如果，那么 ；
（3）如果，求的值．
【考点】实数的运算；解分式方程
【分析】（1）根据题目已知的定义运算，进行计算即可；
（2）根据题意可知，然后根据题目已知的定义运算，列出方程进行计算即可；
（3）分两种情况，，．
【解答】解：（1）
，
，
故答案为：，0；
（2）由题意可知，
，
，
，
，
检验：当时，，
是原方程的根，
故答案为：；
（3）当时，
，
解得：，
经检验是原方程的解，但不符合，
舍去，
当时，
，
解得：，
经检验是原方程的解，且符合，
，
综上所述：的值为．
【点评】本题考查了实数的运算，解分式方程，理解题目已知的定义运算是解题的关键．
16．（2021秋•通州区期末）现有四个正整数分布在正方形上，规定一次操作为；将相邻的两个数作差再取绝对值．图1是小欢两次操作的示意图：
（1）图2是两次操作的过程，请将空缺的数补全；
（2）在经过若干次操作后，如果这4个整数最终都变为0，我们就称其进入了“稳定状态”．请将1，2，3，4以某种顺序排列在图3所示的正方形上，通过若干次操作，使其进入“稳定状态”，请画图呈现操作次数最少的过程；
（3）1，3，6，这4个正整数以如图4的方式排列在正方形上．如果通过三次操作进入“稳定状态”，请直接写出所有满足条件的值．
【考点】绝对值；规律型：数字的变化类
【分析】（1）根据“将相邻的两个数作差再取绝对值”进行计算即可；
（2）根据操作规定“将相邻的两个数作差再取绝对值”和“稳定状态”的定义即可得出答案；
（3）根据题意得出方程组，解方程组即可．
【解答】解：（1）根据“将相邻的两个数作差再取绝对值”可得：
，，
故答案为：5，2；
（2）如图所示：
（3）如图：
，
解得：或4或，
是正整数，
满足条件的值为8或4．
【点评】本题考查了实数的运算，代数式的运算，含绝对值方程，解题关键是理解题意，读懂新定义并运用新定义．
17．（2021秋•鲁甸县期末）用“△”定义一种新运算：对于任意有理数、，规定：△，例如：1△．
（1）求△3的值；
（2）求△3的值；
（3）若△，求的值．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算
【分析】（1）按照定义的新运算进行计算即可；
（2）按照定义的新运算进行计算即可；
（3）按照定义的新运算，列出关于方程，然后解方程即可求出的值．
【解答】解：（1）△
；
（2）△
；
（3）△
，
，
解得：．
【点评】本题考查了解一元一次方程，有理数的混合运算，理解题目中定义的新运算是解题的关键．
18．（2021秋•武昌区期末）知识背景：已知，为有理数，规定：（a），（b），例如：，．
知识应用：
（1）若（a）（b），求的值；
（2）求的最值；
知识迁移：若有理数，，满足，且关于的方程有无数解，，求的值．
【考点】绝对值；一元一次方程的解
【分析】（1）根据题中的新规定列出等式，再利用非负数的性质求出与的值，代入原式计算即可得到结果；
（2）根据题中的新规定列出等式，根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的代数意义求出最小值即可；
知识迁移：求出，，再计算绝对值即可．
【解答】解：（1）（a），（b），
（a）（b），
，，
；
（2），
表示点到3和的距离之和，
，
有最小值5；
知识迁移：整理得，
方程有无数解，
，
，
当时，，
，
；
当时，，
，
；
，
，
，
，
．
【点评】本题考查新定义，理解定义，熟练掌握绝对值的性质，一元一次方程的解法是解题的关键．
19．（2021秋•北京期末）我们规定：使得成立的一对数，为“积差等数对”，记为．例如，因为，，所以数对，都是“积差等数对”．
（1）下列数对中，是“积差等数对”的是 ①③ ；
①；②；③，．
（2）若是“积差等数对”，求的值；
（3）若是“积差等数对”，求代数式的值．
【考点】整式的加减—化简求值；解一元一次方程
【分析】（1）根据新定义内容进行计算，从而作出判断；
（2）根据新定义内容列方程求解；
（3）将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式并化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）①，，
，故①是“积差等数对”，
②，，
，故②不是“积差等数对”，
③，，
，故③是“积差等数对”，
故答案为：①③；
（2）是“积差等数对”，
，
解得：，
的值为；
（3）原式
，
是“积差等数对”，
，
原式
．
【点评】本题属于新定义内容，考查解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“积差等数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
20．（2021秋•工业园区期末）对于任意有理数、，如果满足，那么称它们为“伴侣数对”，记为．
（1）若是“伴侣数对”，求的值；
（2）若是“伴侣数对”，求的值．
【考点】整式的加减—化简求值；解一元一次方程
【分析】（1）根据新定义内容列方程求解；
（2）先将原式去括号，合并同类项进行化简，然后根据新定义内容列出等式进行化简，最后代入求值．
【解答】解：（1）是“伴侣数对”，
，
整理，可得：，
解得：，
即的值为；
（2）原式
，
是“伴侣数对”，
，
整理，可得：，
原式
．
【点评】本题属于新定义题目，解一元一次方程，整式的加减—化简求值，理解“伴侣数对”的定义，掌握解一元一次方程的步骤以及合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去括号的运算法则（括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“”号，去掉“”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键
21．（2021•九龙坡区校级模拟）对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数” ，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例如：，因为，故：7513是一个“差同数”．所以：，则：．
（1）请判断2586、8734是否是“差同数”．如果是，请求出的值；
（2）若自然数，都是“差同数”，其中，，，，，，，，都是整数），规定：，当能被11整除时，求的最小值．
【考点】列代数式；因式分解的应用
【分析】（1）根据新定义，先判断2586，8734是否是“差同数”，再仿照样例进行解答便可；
（2）根据新定义与已知条件，用一个字母的代数式表示，再根据此字母的取值范围便可求出的最值．
【解答】解：（1）对于2586，其各数位上的数字不全相同且均不为0，
，
不是“差同数”，
对于8734，其各数位上的数字不全相同且均不为0，
，
是“差同数”，
，，
，
不是“差同数”，8734是“差同数”， ；
（2），
的千位数字为，百位数字为6，十位数字为，个位数字为6，
又自然数是差同数，
即，
，
，
，
，
的千位数字为3，百位数字为，十位数字为4，个位数字为，
又自然数是差同数，
，即，
，
，
，
，
，，且，
，
，，且，
，
，
又能被11整除，
或0，
①当时，，，，，
此时，；
②当时，，，，，
此时，；
③当时，，，
此时，，
值不存在，
综上，的最小值为．
【点评】此题考查新定义下的实数，整式的加减运算，理解新定义内容，注意分类讨论思想的应用是解题关键．
22．（2021•宁波模拟）规定一种新运算※．
（1）求※2的值；
（2）这种新运算满足交换律吗？若不满足请举反例，若满足请说明理由．
【考点】有理数的混合运算
【分析】（1）把，，代入所给运算中计算就可以了；
（2）不满足，举出反例，例如：1※※1等．
【解答】解：（1）※；
（2）不满足．
例如：※，2※．
※※1．
【点评】按照所给运算的表达式进行计算就可以了．
23．（2020•河北一模）有一种用“☆”定义的新运算，对于任意实数，，都有☆．例如7☆．
（1）已知☆3的结果是，则 7 ．
（2）将两个实数和用这种新定义“☆”加以运算，结果为9，则的值是多少？
【考点】实数的运算
【分析】（1）直接根据题意得出关于的等式进而得出答案；
（2）直接根据题意得出关于的等式进而得出的值．
【解答】解：（1）根据题意可得：☆，
解得：；
故答案为：7；
（2）根据题意可得：☆，
即，
解得：或，
☆，
解得：或，
则或或2．
【点评】此题主要考查了实数运算以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
24．（2021秋•海淀区校级期末）在数轴上，为原点，点，对应的数分别是，，为线段的中点．
给出如下定义：若，则称是的“正比点”；若，则称是的“反比点”．例如，时，是的“正比点”； ，时，是的“反比点”．
（1）若，则对应的数为 2 ，下列说法正确的是 （填序号）．
①是的“正比点”；② 是的“反比点”；③ 是的“正比点”；④ 是的“反比点”；
（2）若，且是的“正比点”，求的值；
（3）若，且既是，其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，直接写出的值．
【考点】数轴；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值
【分析】（1）由，得，，则中点对应的数为：，利用“正比点”，“反比点”的定义直接判断即可；
（2）先表示出点对应的数为：，分析出，，都同号，根据定义得，得，化简即可求解；
（3）利用定义可得，得，分两种情况：①，得，解方程即可；②，得，解方程即可求解．
【解答】解：（1），
，，
为线段的中点．
对应的数为：，
①，
不是的“正比点”；
②，
不是的“反比点”；
③，
是的“正比点”；
④，
是的“反比点”；
故答案为：2；③；
（2）为线段的中点，
点对应的数为：，
，
，，都同号，
是的“正比点”，
，
，
，
；
（3），
，异号，
既是，其中一点的“正比点”，又是另一点的“反比点”，
，或，，
化简都得出：，
，
分两种情况：①，
，
或，
解得：（舍去）或，
；
②，
，
或，
解得：（舍去）或，
，
的值为或．
【点评】本题考查了阅读理解能力，非负数的性质，解决问题关键是分类讨论思想．
25．（2021秋•西城区校级期末）给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式．
（1）关于的二次多项式的特征系数对为 ，2， ；
（2）求有序实数对，4，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对，，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，直接写出的值为 ．
【考点】多项式乘多项式
【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案．
【解答】解：（1）关于的二次多项式的特征系数对为，2，，
故答案为：，2，；
（2）有序实数对，4，的特征多项式为：，
有序实数对，，的特征多项式为：，
；
（3）根据题意得，
令，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给赋予特殊值是解题的关键．
26．（2021秋•庆阳期末）若规定这样一种新运算法则：．如．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【考点】有理数的混合运算；解一元一次方程
【分析】（1）先根据新运算得出，再根据有理数的运算法则进行计算即可；
（2）先根据新运算得出，再根据有理数的运算法则进行计算，最后根据等式的性质求出方程的解即可．
【解答】解：（1）
；
（2），
，
，
，
，
．
【点评】考查了有理数的混合运算和解一元一次方程，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解此题的关键．