最新中考数学思想方法讲与练 【新定义问题】四边形中的新定义问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
四边形中的新定义问题
知识方法精讲
1．解新定义题型的方法：
方法一 :从定义知识的新情景问题入手
这种题型它要求学生在新定义的条件下，对提出的说法作出判断，主要考查学生阅读理解能力，分析问题和解决问题的能力．因此在解这类型题时就必须先认真阅读，正理解新定义的含义；再运用新定义解决问题；然后得出结论。
方法二：从数学理论应用探究问题入手
对于涉及到数学理论的题目，要解决后面提出的新问题，必须仔细研究前面的问题解法．即前面解决问题过程中用到的知识在后面问题中很可能还会用到，因此在解决新问题时，认真阅读，理解阅读材料中所告知的相关问题和内容，并注意这些新知识运用的方法步骤．
方法三：从日常生活中的实际问题入手
对于一些新定义问题，出题的方向通常借助生活问题，那么处理此类问题需要结合生活实际，再将问题转化成数学知识、或者将生活图形转化为数学图形，从而利用数学知识进行解答。
2．解新定义题型的步骤：
(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.
(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.
(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题.
3．多边形
（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形．
（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心．
常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形．
日期：2022/2/3 18:26:37；用户：13632669984；邮箱：13632669984；学
一．填空题（共3小题）
1．（2021•梓潼县模拟）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形中，，，，，那么边的长为 9 ．
【考点】解直角三角形
【分析】如图，过点作于，过点作于，连接．解直角三角形求出，即可解决问题
【解答】解：如图，过点作于，过点作于，连接．
在中，，
可以假设，，则，
，
，，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
，，
，
．
故答案为：9．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2020秋•武汉期中）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形中，，，，，则线段 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【分析】对余四边形的定义得出，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则，，得出，，，则是等边三角形，得出，易证，由，得出，则，由勾股定理即可得出结果．
【解答】解：对余四边形中，，
，
，
将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了对余四边形的定义、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键．
3．（2020•奉化区校级模拟）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在中，，，，将沿的平分线的方向平移，得到，连接，，若四边形是等邻边四边形，则平移距离的长度是 1或 ．
【考点】勾股定理；平移的性质
【分析】由平移的性质得到，，，，，①如图，当时，；②如图，当时，③如图2，当时，则，延长交于，设，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：将平移得到△，
，，，，，
①如图1，当时，；
②如图1，当时，
，是的角平分线，
，
延长交于，
，，
，
，
设，
，，，
，
，
整理方程为：，
△，
此方程无实数根，故这种情况不存在；
③如图2，当时，则，
延长交于，
，，
，
，
设，
，，，
，
，
解得：，
，
综上所述，若四边形是等邻边四边形，则平移距离的长度是1或，
故答案为：1或．
【点评】此题主要考查勾股定理，平移的性质，理解“等邻边四边形”的定义是解本题的关键．
二．解答题（共18小题）
4．（2021秋•荔湾区期末）如图，共顶点的两个三角形，△，若，，且，我们称与△互为“顶补三角形”．
（1）如图2，是等腰三角形，，是等腰直角三角形，连接；求证：与互为顶补三角形．
（2）在（1）的条件下，与交于点，连接并延长交于点．判断与的数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，四边形中，，．在平面内是否存在点，使与互为顶补三角形，若存在，请画出图形，并证明；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题
【分析】（1）等腰三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得，，可证，可得结论；
（2）先证是的垂直平分线，再由“”可证，可得，即可得结论；
（3）延长交延长线于点，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，连接，，，，由线段垂直平分线的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，，可证，即可证与互为“顶补三角形”．
【解答】（1）证明：是等腰三角形，，是等腰直角三角形，
，，
，
，
与互为顶补三角形；
（2），理由如下：
如图2，设与的交点为，与交于点，与交于点，
是等腰三角形，，是等腰直角三角形，
，，，
，
，，，
，
，
，
又，，
，
，
又，
是的垂直平分线，
又，
，
，
又，
，，
，
，
，
又，，
，
，
．
（3）证明：如图，延长交延长线于点，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，连接，，，，
垂直平分，垂直平分，
，，，，
，，
，
，
又，，
，
，
，
，且，，
与互为“顶补三角形”．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
5．（2021•任城区校级三模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”
（1）概念理解：
请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子： 矩形或正方形 ；
（2）问题探究；
如图1，在等邻角四边形中，，，的中垂线恰好交于边上一点，连结，，试探究与的数量关系，并说明理由；
（3）应用拓展；
如图2，在与中，，，，将绕着点顺时针旋转角得到△（如图，当凸四边形为等邻角四边形时，求出它的面积．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；
（2）结论：，证明；
（3）分两种情况考虑：Ⅰ、当时，延长，交于点，如图1，由，求出四边形面积；
Ⅱ、当时，过点作于点，如图2，由，求出四边形面积即可．
【解答】解：（1）矩形或正方形是一个等邻角四边形．
故答案为：矩形，正方形；
（2）结论：，
理由：连接，，如图1所示：
是的垂直平分线，是的垂直平分线，
，，
，，
，，即，
，
，
；
（3）分两种情况考虑：
当时，延长，交于点，
如图所示，
，
，
设，
由勾股定理得：，
解得：，
过点作于，
，
△，
，即，
解得：，
；，
则；
当时，过点作于点，
如图所示，
四边形是矩形，
，
在中，根据勾股定理得：，
，，
则．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了“等邻角四边形”的理解，三角形，四边形的内角和定理，角平分线的意义，勾股定理，旋转的性质，相似三角形的性质和判定，理解“等邻角四边形”的定义是解本题的关键，分类讨论是解本题的难点，是一道中考常考题．
6．（2020秋•崇川区期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”．
（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是 ② （只要填序号）；
①腰上的高；②底边上的中线；③底角平分线．
（2）如图1，在四边形中，，为的中点，．取中点，连接．求证：是的“周长平分线”．
（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，，如图2．请在上找点，，使为的“周长平分线”， 为的“周长平分线”．
①用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；
②若，，直接写出的长．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）由等腰三角形的底边上的中线平分底边可求解；
（2）由等腰直角三角形的性质可得，，，由“”可证，可得，可得结论；
（3）①由是的中垂线，是的中垂线可求解；
②如图2，过点作于，过点作于，连接，，由“”可证，可得，，由勾股定理可求，的长，即可求解．
【解答】（1）解：一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的是底边上的中线，
故答案为：②；
（2）证明：如图1，延长，交于点，连接，
，
，，
为的中点，
，，，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
是的“周长平分线”；
（3）①如图2，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则点，点为所求，
②如图2，过点作于，过点作于，连接，，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，点是的中点，
，，
点，点分别是，的中点，
是的中垂线，是的中垂线，
，，
，
，
，
同理可求，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解三角形的“周长平分线”的定义并运用是解题的关键．
7．（2021秋•诸暨市期中）【了解概念】
在凸四边形中（内角度数都小于，若一边与它的两条邻边组成的两个内角相等，则称该四边形为邻等四边形，这条边叫做这个四边形的邻等边．
【理解应用】
（1）邻等四边形中，，，则的度数 130 ；
（2）如图，四边形为邻等四边形，为邻等边，且，求证：；
【拓展提升】
（3）在平面直角坐标系中，为邻等四边形的邻等边，且边与轴重合，已知，，，若在边上使的点有且只有1个，求的值．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）分三种情况考虑：①由为邻等边，②由为邻等边，③由为邻等边，根据邻等四边形的定义即可求解；
（2）根据相似三角形的判定解答即可；
（3）分两种情况：①若点在点右侧，如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，由为邻等边，则有，可证，可得，设点，由三角函数可求，可求、横坐标之差为2，，将，，，，代入得：，由于在边上使的点有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，运用根的判别式即可求得答案；
②若点在点左侧，如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，根据，可得，同①方法即可求得答案．
【解答】解：（1）①若为邻等边，则，
不为凸四边形，所以舍去；
②若为邻等边，则，
（舍；
③若为邻等边，则，
，
．
故答案为：130；
（2）证明：四边形为邻等四边形，为邻等边，
，
，
，
，，
，
；
（3）①若点在点右侧，如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，
为邻等边，
，
，
，
，，
，
，
，
设点，
，，
，
，，
，
，
，
，
由（2）知，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
在边上使的点有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，
△，
，
点在点右侧，
；
②若点在点左侧，如图2，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，，
，
，
，
由①得：，，，
，，，，
，
，
在边上使的点有且只有1个，即上述方程有且只有1个实数根，
△，
，
点在点左侧，
；
综上所述，．
【点评】本题是相似综合题，考查新定义图形，仔细阅读题目，抓住定义中的性质，会验证新定义图形，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，一元二次方程根的判别式，利用相似三角形的性质构造关于的一元二次方程是解题关键．
8．（2021秋•驻马店期中）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）矩形 是 垂等四边形（填“是”或“不是” ；
（2）如图1，在正方形中，点，，分别在，，边上．若四边形是垂等四边形，且，，求证：；
（3）如图2，在中，，，，以为对角线，作垂等四边形，过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，求四边形的面积．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析；
（2）通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论；
（3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知．
分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；
当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果．
【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形．
故答案为：是；
（2）证明：四边形为正方形，
，．
又，
，
．
四边形是垂等四边形，
，
；
（3）解：如图2，过点作，垂足为，
四边形为矩形．
，
．
在中，，
根据勾股定理得，，即，
，．
四边形为垂等四边形，
．
第一种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
综上所述，四边形的面积为或．
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大．
9．（2021秋•市北区期中）阅读理解：
如图1，在四边形的边上任取一点（点不与点、点重合），分别连接，，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的强相似点．
解决问题：
（1）如图1，，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形中，，，，，，四点均在正方形网格（网格中每个最小正方形的边长为的格点（即每个最小正方形的顶点）上，若图2中，矩形的边上存在强相似点，则 或 ；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究和的数量关系．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）利用三角形外角的性质可得，则可证明；
（2）根据强相似点的定义，可找出符合条件的点，即可得出答案；
（3）由题意知，则，可说明点为的中点，从而解决问题．
【解答】解：（1）是，理由如下：
，，
，
又，
，
点是否是四边形的边上的相似点；
（2）如图，
故或．
故答案为：或；
（3）点恰好是四边形的边上的一个强相似点，
，
，
，
，
，
即．
【点评】本题是四边形中的新定义题，主要考查了对新定义的理解，相似三角形的判定与性质等知识，读懂题意，熟悉基本模型是解题的关键．
10．（2021秋•苏家屯区期中）我们定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
如图点是四边形内一点，已知，，，对角线与交于点，与交于点，与交于点．
（1）求证：四边形是垂美四边形；
（2）猜想四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由；
（3）若，，，则的长为 ．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）先，得，根据三角形内角和定理可得，最后根据垂美四边形的定义可得结论；
（2）根据勾股定理解答即可；
（3）根据等腰直角三角形和勾股定理可得和的长，代入（2）中的结论可得的长．
【解答】（1）证明：，
，
即，
，，
，
，
，
，
，
四边形是垂美四边形；
（2）解：猜想：；理由如下：
，
，
由勾股定理得，，
，
；
（3）和是等腰直角三角形，且，，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
11．我们学过了特殊的四边形，体验了通过作平行线、垂线、延长线等常用方法，把四边形问题转化为三角形问题的重要思想．除了我们学过的特殊四边形，还有很多特殊四边形．我们定义：四边形中，除一边以外其余的部分都在这条边的同侧，这个四边形就叫做凸四边形；有一组邻角相等的凸四边形就叫做“等邻角四边形”，根据这个定义，请解决下列问题．
（1）概念理解
如图（1），在中，于，点、、分别是、、的中点，连接、、、、，写一个图形中的“等邻角四边形”： 四边形 （不再添加除图形以外的字母）；
（2）解决问题
如图（2），四边形是“等邻角四边形”，且，延长、交于点．
求证：；
（3）探索研究
如图（3），中，，，，，点是边上的一个动点，当四边形成为“等邻角四边形”时，求四边形的面积．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，所以，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，所以，得到，进一步推理即可得到四边形为“等邻角四边形”；
（2）过点作交于点，可证，，得，进一步变形即可得出结论；
（3）分三种情况考虑：①，四边形为直角梯形，根据梯形面积公式求出即可，②时，，求出和即可，③时，，求出和即可．
【解答】（1）解：点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
，
于，点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形为凸四边形，
四边形为“等邻角四边形”，
故答案为：四边形；
（2）证明：过点作交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分三种情：
①当时，如图：
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
②当时，如图：
过点作于点，
，
，
，
，
中，，，，，
，
，
，
，
，
，
，
③当时，如图：
过点作交于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
，
综上所述，四边形的面积为．
【点评】本题是相似综合题，理解新定义的条件，正确作出辅助线，找到相似三角形是解决问题的关键，分类讨论是难点．
12．（2021•鄞州区模拟）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 矩形 ；
（2）如图1，在正方形中，点，，分别在，，上，四边形是垂等四边形，且，．
①求证：；
②若，求的值；
（3）如图2，在中，，，以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，求四边形的面积．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析；
（2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论；
②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可；
（3）解：如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知．
分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果；
当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果．
【解答】（1）解：矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形的垂等四边形．
故答案是：矩形；
（2）①证明：四边形为正方形，
，．
又，
，
．
四边形是垂等四边形，
，
．
②解：如图1，过点作，垂足为，
四边形为矩形，
．
由①知，
．
由题意知，，，
，
即，
为等腰直角三角形，
．
又，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，．
，
．
（3）解：如图2，过点作，垂足为，
四边形为矩形．
，
．
在中，，
根据勾股定理得，，即，
，．
四边形为垂等四边形，
．
第一种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
；
第二种情况：
当时，，
设，则，
．
在中，根据勾股定理得，，
即，
解得，（舍去），
，，
．
综上所述，四边形的面积为或．
【点评】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大．
13．（2021秋•鄞州区月考）新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1）已知：如图1，四边形是“等对角四边形”， ，，，求，的度数
（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形” （如图，其中，，此时她发现成立．请你证明此结论
（3）已知：在“等对角四边形中，，，，．求对角线的长．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）根据四边形是“等对角四边形”得出，根据四边形内角和定理求出即可；
（2）连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可；
（3）分两种情况：
①当时，延长，相交于点，先用含角的直角三角形的性质求出，得出，再用三角函数求出，由勾股定理求出；
②当时，过点作于点，于点，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，求出、，根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）解：四边形是“等对角四边形”， ，，，
，
；
（2）证明：如图2，连接，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分两种情况：
①当时，延长，相交于点，如图3所示：
，，，，
，
，
，
，，
，
；
②当时，
过点作于点，于点，如图4所示：
则，四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
综上所述：的长为或．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果．
14．（2021•新吴区二模）定义：长宽比为为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示．
操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作2：将沿过点的直线折叠，使点、点分别落在边，上，折痕为．则四边形为矩形．
（1）证明：四边形为矩形；
（2）点是边上一动点．
①如图，是对角线的中点，若点在边上，，连接．求的值；
②若，点在边上，当的周长最小时，求的值；
③连接，作，垂足为．若，则的最小值 2 ．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）先判断出，进而判断出四边形是矩形，再求出的值，即可得出结论；
（2）①如图，先判断出四边形是矩形，进而得出，，再判断出，进而判断出．，即可得出结论；
②作关于直线对称的点，则的周长最小，判断出，得出．进而得出．即可得出结论；
③先求出，再判断出点是为直径的圆上，即可得出结论．
【解答】证明：（1）设正方形的边长为，
是正方形的对角线，
，
由折叠性质可知，，
则四边形为矩形，
是等腰直角三角形．
，
．
四边形为矩形；
（2）①解：如图，作，，垂足分别为，．
四边形是矩形，，
四边形是矩形．
，，．
，．
为中点，
，．
，
．
．
．
．
②解：如图，作关于直线对称的点，连接交于点，连接．
则的周长最小，
，
，
设，则．
．
，
③如备用图，
四边形为矩形，，
，
，
点在以为直径的圆上，记的中点为，
，
最小
故答案为：2
【点评】此题相似形综合题，主要考查了新定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用对称性和垂线段最短确定出最小值是解本题的关键．
15．（2020•柯城区校级一模）【定义】若四边形的一条对角线能将四边形分割成两个相似的直角三角形，那么我们将这种四边形叫孪生分割四边形，这条对角线叫这个四边形的孪生割线．
【理解】（1）如图①，已知在正方形网格中，请在网格中找到一个格点（网格线的交点即为格点），使以，，，为顶点的四边形为孪生分割四边形．
（2）若在四边形中，，为孪生割线，若，求的长．
（3）如图②，在四边形中，，，为上一点．若四边形，均为孪生分割四边形，求．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据“孪生分割四边形”的定义即可找出符合题意的点；
（2）分两种情况：①当时，如图②，过点作交的延长线于，利用三角函数求得，，再证明四边形是矩形，可得出，，进而求得，再运用勾股定理即可；②当时，如图③，过点作交的延长线于，运用三角函数求出、、，再运用勾股定理即可；
（3）分两种情况：①当时，如图④，利用平行线性质和判定求得：，再运用三角函数即可；②当时，如图⑤，过点于，可得出：，，，再运用角平分线性质即可．
【解答】解：（1）如图①，点、、即为所求的格点；
（2）四边形中，，为孪生割线，，
与相似，
①当时，如图②，过点作交的延长线于，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
；
②当时，如图③，过点作交的延长线于，
，，
，，
，，
，
，，
，
；
综上所述，的长为或．
（3）①当时，如图④，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，如图⑤，过点于，
，，，
，，，
，
同理，，
，
；
综上所述，或1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角函数定义，勾股定理，新定义“孪生分割四边形”等，理解并应用新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题是解题关键．
16．（2020秋•安徽月考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
（1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留画图痕迹，找出3个即可）；
（2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若，求的值．
运用：
（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ．连接，若的面积为，求的长．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）先求出，，，再分情况求出或，即可画出图形；
（2）先判断出，即可得出结论；
（3）先判断出，得出，再判断出，继而求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示．，，，，
四边形是以为“相似对角线”的四边形，
①当时，或，
，
，
或，
同理：当时，或，
如图中，，，，即为所求；
（2）①如图2，是四边形的“相似对角线”，
理由如下：
，平分，
，
，
，
，
，
是四边形的“相似对角线”；
②，
，
，
又，
；
（3）如图3，
是四边形的“相似对角线”，
与相似．
又，
，
，
，
过点作垂足为，
可得，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．
17．（2020春•开福区校级月考）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，已知四边形在正方形网格中，顶点都在格点上，判断：四边形 是 （填“是”或“不是” 以为“相似对角线”的四边形；
（2）如图2，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
（3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”， ．连接，若的面积为，求的长．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）根据勾股定理和相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）先判断出，即可得出结论；
（3）先判断出，得出，再判断出，继而求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）由图1知，，，，，，，
，，，
，
，
四边形是以为“相似对角线”的四边形；
故答案为：是；
（2）证明：如图2中，
，平分，
，
，
，
，
，
是四边形的“相似对角线”；
（3）如图3，
是四边形的“相似对角线”，
与相似，
，
，
，
，
过点作于，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，锐角三角函数，判断两三角形相似是解本题的关键．
18．（2020秋•思明区校级期末）定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”，回答下列问题．
（1）如图1，四边形中，，，，，判断四边形是不是“等邻边四边形”，并说明理由；
（2）如图2，中，，，，现将沿的平分线方向平移得到△，连接，，若平移后的四边形是“等邻边四边形”，求的长．
【考点】几何变换综合题
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据“等邻边四边形”的定义解答即可；
（2）延长交于点，根据平移的性质得到，设，根据勾股定理列出方程，解方程求出，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）四边形是“等邻边四边形”，
理由如下：，，
，
在中，，
，
四边形是“等邻边四边形”；
（2）如图2，延长交于点，
△由平移得到，
，，，
，
平分，
，
，
设，
，
，
中，，
整理得：，
，
，（舍去），
，
．
【点评】本题考查的是平移的性质、“等邻边四边形”的定义，掌握“等邻边四边形”的定义是解题的关键．
19．（2020春•赫山区期末）阅读与探究
我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
请结合上述阅读材料，解决下列问题：
（1）在我们所学过的特殊四边形中，是勾股四边形的是 矩形 ；（写出一种即可）
（2）下面图1，图2均为的正方形网格，点，，均在格点上，请在图中标出格点，并连接，，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形．
【考点】多边形；作图—应用与设计作图；中心对称图形
【分析】（1）根据勾股四边形的定义判断即可．
（2）根据要求结合数形结合的思想画出图形即可．
【解答】解：（1）矩形是勾股四边形．
故答案为：矩形．
（2）如图1中，四边形即为所求．
如图2中，四边形即为所求．
【点评】本题考查作图应用与设计，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意．灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（2020春•奉化区期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是 正方形，矩形 ．
（2）如图1，在方格纸中，，，在格点上，请画出两个符合条件的不全等的垂等四边形，使，是对角线，点在格点上．
（3）如图2，在正方形中，点，，分别在，，上，且，求证：四边形是垂等四边形．
（4）如图3，已知，，，，以为边在的右上方作等腰三角形，使四边形是垂等四边形，请直接写出四边形的面积．
【考点】几何变换综合题
【分析】（1）根据垂等四边形的定义判断即可．
（2）根据垂等四边形的定义画出图形即可．
（3）想办法证明，即可．
（4）分三种情形：①如图中，当时，连接，过点作于．②如图中，当时，连接，过点作交的延长线于，于．③如图中，当时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于．分别求解即可．
【解答】解：（1）正方形，矩形是垂等四边形．
故答案为正方形，矩形．
（2）如图1中，四边形即为所求．
（3）在正方形中，
，，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是垂等四边形．
（4）①如图中，当时，连接，过点作于．
，，，
，，
四边形是垂等四边形，
，
，，
，
．
②如图中，当时，连接，过点作交的延长线于，于．
同法可得，．
③如图中，当时，取的中点，连接，，过点作交的延长线于．
设，
，
，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得，
．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了垂等四边形的定义，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
21．（2020•武昌区模拟）定义：顶点都在网格点上的四边形叫做格点四边形，端点都在网格点上的线段叫做格点线．如图1，在正方形网格中，格点线、将格点四边形分割成三个彼此相似的三角形．请你在图2、图3中分别画出格点线，将阴影四边形分割成三个彼此相似的三角形．
【考点】作图相似变换
【分析】图2中，连接、，得，相似比为；图3中，，相似比为．
【解答】解：如图所示
【点评】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质及勾股定理．