最新中考数学思想方法讲与练 【数学模型】建立方程模型解决实际问题

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
建立方程模型解决实际问题
知识方法精讲
1．一元一次方程的应用
（一）一元一次方程解应用题的类型有：
（1）探索规律型问题；
（2）数字问题；
（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率＝×100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）；
（5）行程问题（路程＝速度×时间）；
（6）等值变换问题；
（7）和，差，倍，分问题；
（8）分配问题；
（9）比赛积分问题；
（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
列一元一次方程解应用题的五个步骤
1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．
2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．
3．列：根据等量关系列出方程．
4．解：解方程，求得未知数的值．
5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
4．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
一．选择题（共1小题）
1．（2020•绵阳模拟）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图1方式放置，再交换两木块的位置，按图2方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是
A．B．C．D．
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设长方体长，宽，桌子的高为，由图象建立方程组求出其解就可以得出结论．
【解答】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意，得
，
解得：，
．
故选：．
【点评】本题考查了运用列三元一次方程组解决实际问题的运用及方程组的解法的运用，在解答时设参数建立方程是关键．
二．解答题（共19小题）
2．（2020秋•石狮市期末）如图，将一块直角三角板按如图所示放置，点，在数轴上，，点在点右边，点表示的数是．
（1）直接填空：点表示的数是 2 ；
（2）将三角板沿数轴正方向移动至三角板的位置，点，，的对应点分别是点，，．
①连结，若恰好将三角板的面积分成的两部分，求这时点表示的数；
②设三角板的移动速度为每秒2个单位长度，点为线段的中点，点在线段上，且．设三角板移动的时间为（秒．试探索：是否存在某一时刻，使点与点表示的两个数互为相反数？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
【考点】数轴；一元一次方程的应用
【分析】（1）设数轴的原点为，利用已知条件求得线段即可得出结论；
（2）利用高相等的三角形的面积比等于底的比可得或，根据可求，或，，结合数轴即可得出结论；
（3）存在某一时刻，使点与点表示的两个数互为相反数．依据题意画出图形，用的代数式表示出点，对应的数字，利用点与点表示的两个数互为相反数列出方程，解方程即可求得结论．
【解答】解：（1）设数轴的原点为，如图，
点表示的数是，
．
，
．
点表示的数是：2．
故答案为：2．
（2）①如图1，
恰好将三角板的面积分成的两部分，
或．
，
，或，．
点表示的数是，
点表示的数是或0．
②存在某一时刻，使点与点表示的两个数互为相反数．如图2，
．
点为的中点，
，
点表示的数是．
，
．
点表示的数是．
点表示的数与点表示的数是互为相反数，
，
解得．
即当时，点与点表示的两个数互为相反数．
【点评】本题主要考查了数轴，数轴上点的特征，一元一次方程的应用，利用数轴上点对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键．
3．（2021秋•碑林区校级期中）【知识准备】：数轴上、两点对应的数分别为、，则、两点之间的距离表示为：．
【问题探究】：数轴上、两点对应的数分别为、，且满足．
（1）求得、两点之间的距离是 8 ；
（2）若在数轴上有一点，满足，求点表示的数；
（3）若、两点在数轴上运动，点从出发以2个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时，点从出发以3个单位长度秒的速度向左匀速运动．经过 秒，、相距2个单位长度；
（4）原点在数轴上表示0，点在数轴上表示3，若、两点在数轴上以2个单位长度秒的速度同时向右匀速运动，与此同时，、以3个单位长度秒的速度在数轴上向左匀速运动，在这个过程中，有一段时间，、两点都运动在线段上，则这段时间的时长是 秒．
【考点】数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；一元一次方程的应用
【分析】（1）利用非负数的意义求得，的值，用两点之间的距离公式解答即可；
（2）设点表示的数为，利用两点间的距离公式表示出，的长，利用已知条件列出方程即可求解；
（3）设时间为，则表示的数为：，表示的数为：，用表示两点的距离公式设出，列出方程求出解即可；
（4）求得，的长，设点与点重合的时间为，点与点重合的时间为，求出点与点相遇，点与点相遇的时间，得到两次相遇的时间之差即可．
【解答】解：（1），，，
，，
，
即，
故答案为：8；
（2）设点表示的数为，
，，
，
，
或，
即或．
答：表示的数为或；
（3）设时间为，则表示的数为：，表示的数为：，
由题意得，，
解得：或，
故答案为：2或；
（4），
，
设点与点重合的时间为，点与点重合的时间为，
若、两点在数轴上以2个单位长度秒的速度同时向右匀速运动，与此同时，、以3个单位长度秒的速度在数轴上向左匀速运动，
，，
解得：，．
．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用、绝对值的意义、数轴．解本题的关键熟练掌握绝对值得意义，及理解题意．
4．（2021春•农安县期末）长春消夏灯会节将在长春农博园举办．承办方计划在现场安装小彩灯和大彩灯．已知：安装5个小彩灯和4个大彩灯共需150元；安装7个小彩灯和6个大彩灯共需220元．
（1）安装1个小彩灯和1个大彩灯各需多少元．
（2）若承办方安装小彩灯和大彩灯的数量共300个，费用不超过4350元，则最多安装大彩灯多少个？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设安装1个小彩灯需元，1个大彩灯需元，根据题干的等量关系建立方程组求出其解即可；
（2）设安装大彩灯个，则小彩灯个，根据题意列不等式解得．
【解答】解：（1）设安装1个小彩灯需元，1个大彩灯需元，
由题意得，，
解得：，
答：安装1个小彩灯和1个大彩灯各需10元和25元；
（2）设安装大彩灯个，则小彩灯个，
由题意得，，
，
答：最多安装大彩灯90个．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式解决实际问题，根据题干建立等量关系是解答此题的关键．
5．（2019秋•长乐区期末）已知两条直线，，，点，在直线上，点在点的左边，点，在直线上，且满足．
（1）如图①，求证：；
（2）点，在线段上，点在点的左边且满足，且平分；
（Ⅰ）如图②，当时，求的度数；
（Ⅱ）如图③，当时，求的度数．
【考点】平行线的判定与性质
【分析】（1）利用平行线的性质定理与判定定理解得即可；
（2）（Ⅰ）利用平行线的性质和三角形的内角和定理分别求得与的度数即可得出结论；
（Ⅱ）设，则，利用方程的思想解答即可．
【解答】证明：（1），
．
，
．
．
解：（2）（Ⅰ），
．
，
．
，，
．
．
（Ⅱ）设，则，
平分，
．
．
，
，
，
．
．
解得：．
．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，设，进而用的代数式表示出相应各角的度数，列出方程是解题的关键．
6．（2021春•婺城区校级期中）某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图所示，（单位：
（1）列出方程（组，求出图甲中与的值．
（2）在试生产阶段，若将张标准板材用裁法一裁剪，张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生型板材 张，型板材 张（用、的代数式表示）；
②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是 个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解；
（2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数；
②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，然后求解即可．
【解答】解：由题意得：，
解得；
（2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：，
所以两种裁法共产生型板材为（张，
由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为，，
所以两种裁法共产生型板材为张；
②当时，所裁得的型板材和型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个．
由图可知，做一个横式无盖礼品盒需型板材3张，型板材2张．
所裁得的板材恰好用完，
，化简得．
，皆为整数，
为4的整数倍，
又，
可取32，36，40，
此时，分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30．
故答案为：；；24或27或30．
【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
7．（2021•临海市一模）【发现问题】
小聪发现图1所示矩形甲与图2所示矩形乙的周长与面积满足关系：．
【提出问题】
对于任意一个矩形，是否一定存在矩形，使得成立？
【解决问题】
（1）对于图2所示的矩形乙，是否存在矩形丙（可设两条邻边长分别为和，使得成立．若存在，求出矩形丙的两条邻边长；若不存在，请说明理由；
（2）矩形两条邻边长分别为和1，若一定存在矩形，使得成立，求的取值范围；
（3）请你回答小聪提出来的问题．若一定存在，请说明理由；若不一定存在，请直接写出矩形两条邻边长，满足什么条件时一定存在矩形．
【考点】四边形综合题
【分析】（1）利用反证法证明即可；
（2）假定存在矩形，设矩形的一边为，则另一边为，由题意得到一元二次方程，令△即可求得结论；
（3）利用（2）中的解答即可回答小聪提出来的问题．
【解答】解：（1）不存在矩形丙，使得成立．理由：
假定存在矩形丙，
，
矩形丙的两个邻边之和为7，它的面积为24．
设两条邻边长分别为和，由题意得：
．
．
△，
此方程没有实数根，
不存在矩形丙，使得成立．
（2）矩形两条邻边长分别为和1，
若存在矩形，使得成立，则矩形的邻边之和为．
设矩形的一边为，则另一边为，由题意得：
．
化简得：．
由题意方程一定有实数根．
△．
解得：或．
为矩形的边长，
．
的取值范围为：或．
（3）由（2）可知：对于任意一个矩形，不一定存在矩形，使得成立．
当矩形两条邻边长，满足或时，一定存在矩形．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了矩形的周长与面积，一元二次方程根的判别式，一元二次不等式的解法，反证法的应用，利用转化的思想将问题转化为一元二次方程的问题是解题的关键．
8．（2020秋•扶风县期末）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设每轮传染中平均每个人传染了个人，根据一人患病后经过两轮传染后共有169人患病，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患病人数经过两轮传染后患病人数，即可求出结论．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均每个人传染了个人，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均每个人传染了12个人．
（2）（人．
答：按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有2197人患病．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（2021春•济阳区期末）国务院总理李克强表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．响应国家号召，成都某社区拟建、两类地摊摊位，已知每个类摊位占地面积比类多2平方米，建类摊位需40元平方米，类30元平方米，用60平方米建类摊位的个数恰好是同样面积建类摊位个数的．
（1）求每个、类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）若该社区拟建、两种摊位共90个，且类摊位数量要多于22个，建造总费用不超过10850元，则共有几种建造方案？
（3）在（2）的条件下，哪种方案总费用最少？最少费用为多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用
【分析】（1）设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位的占地面积为平方米，根据用60平方米建类摊位的个数恰好是同样面积建类摊位个数的，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设建造个类摊位，则建造个类摊位，根据“类摊位数量要多于22个，建造总费用不超过10850元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各建造方案；
（3）利用总费用建造每个摊位的费用建造摊位的个数，即可分别求出3个建造方案所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个类摊位的占地面积为平方米，则每个类摊位的占地面积为平方米．
依题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
．
答：每个类摊位的占地面积为5平方米，每个类摊位的占地面积为3平方米；
（2）设建造个类摊位，则建造个类摊位，
依题意有：，
解得：．
又，
，
故共有3种建造方案，
方案1：建造23个类摊位，67个类摊位；
方案2：建造24个类摊位，66个类摊位；
方案3：建造25个类摊位，65个类摊位；
（3）方案1所需总费用为：（元，
方案2所需总费用为：（元，
方案3所需总费用为：（元．
，
方案1的总费用最少，最小费用为10630元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用总费用建造每个摊位的费用建造摊位的个数，分别求出3个建造方案所需费用．
10．（2021秋•集贤县期末）如图是宽为20米，长为32米的矩形耕地，要修筑同样宽的三条道路（两条纵向，一条横向，且互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的总面积为570平方米，问：道路宽为多少米？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】试验地的面积矩形耕地的面积三条道路的面积道路重叠部分的两个小正方形的面积．如果设道路宽，可根据此关系列出方程求出的值，然后将不合题意的舍去即可．
【解答】解：设道路为米宽，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去．
答：道路为宽．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．整体面积各部分面积之和；剩余面积原面积截去的面积．
11．（2021•奎屯市二模）甲商品的进价为每件20元，商场将其售价从原来的每件40元进行两次调价．已知该商品现价为每件32.4元，
（1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10000元，且尽可能扩大销售量，则该商品在现价的基础上还应如何调整？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设调价百分率为，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件32.4元，可列方程求解．
（2）根据的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量．
【解答】解：（1）设这种商品平均降价率是，依题意得：
，
解得：，（舍去）；
故这个降价率为；
（2）设降价元，
根据题意得
解得：（舍去）或，
原售价40元降价10元时，应为：40一元，
现价为每件32.4元，
，
答：在现价的基础上，再降低，2.4元．
【点评】考查一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
12．（2021•湖州）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分之几；
（2）若该景区仅有，两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；
②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用
【分析】（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为，根据增长率问题应用题列出方程，解之即可；
（2）①根据题意丙种门票价格下降10元，列式计算，即可求景区六月份的门票总收入；
②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，由题意可得，化简得，然后根据二次函数的性质即可得结果．
【解答】解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为，
由题意，得，
解这个方程，得，（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为；
（2）①由题意，得
（万元）．
答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低元，景区六月份的门票总收入为万元，
由题意，得
，
化简，得，
，
当时，取最大值，为817.6万元．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值，最大值是817.6万元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的应用，一元二次方程的应用．
13．（2014春•太康县校级月考）某商店在销售西服时，按每套进价的标价，后来为吸引消费者，按标价的八折销售，此时每套西服仍可获利120元，求西服的进价为多少元？
（1）建立一元一次方程模型并解答上述问题；
（2）解答后请思考以下问题：
①在建立一元一次方程的模型解决问题过程中，你认为最关键的是什么？
②解一元一次方程的算法，步骤有哪些？
③用算术法解决实际问题与建立方程模型解决实际问题，这两种方法有什么不同？你说说哪种方法更优越？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）设西服的进价为元，利用销售价减成本等于利润列方程，然后解方程即可；
（2）①本题的关键是表示出实际的销售价；
②根据解一元一次方程基本步骤回答
③从用算术法解决实际问题和建立方程模型解决实际问题的过程进行区别．
【解答】解：（1）设西服的进价为元，
根据题意得，
解得（元，
答：西服的进价为600元；
（2）①在建立一元一次方程的模型解决问题过程中，你认为最关键的是表示出实际的销售价；
②解一元一次方程的解法，步骤有：先去分母（或把小数系数化为整数系数），再移项后合并，然后把未知数的系数化为1即可；
③用算术法解决实际问题涉及计算代数式的值，但是列代数式的难度较大，建立方程模型解决实际问题能通过设未知数，用代数式容易表示相关的量，从而利用代数式之间的关系列方程．列方程更优越．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
14．（2021秋•丛台区校级期末）黄冈小河中学七年级学生在5名教师的带领下去赤壁公园游玩，公园的门票为每人30元．现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都7.5折收费．
（1）若有名学生，则甲方案师生共需 元，乙方案师生共需 元（用含代数式表示）．
（2）当为何值时，两种方案收费一样？
（3）你能帮老师建议一下选择哪种方案优惠？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）根据甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都7.5折收费，可表示出方案．
（2）将两个方案相等列出方程解答即可；
（3）根据（2）中的解答进行选择即可．
【解答】解：（1）甲方案：．
乙方案：；
故答案为：；；
（2）根据题意可得：，
解得：，
答：有75名学生时，两方案费用一样；
（3）当时，选择乙方案；
当时，两种方案相同；
当时，选择甲方案．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键是设出学生数，然后根据优惠方案表示出，代入数值可得答案以及根据优惠情况一样列出方程．
15．（2021秋•双辽市期末）某工厂车间有28个工人，生产零件和零件，每人每天可生产零件18个或零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个零件配两个零件，且每天生产的零件和零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个零件可获利10元，每个零件可获利5元．
（1）求该工厂有多少工人生产零件？
（2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分零件供商场零售使用，现从生产零件的工人中调出多少名工人生产零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】（1）设该工厂有名工人生产零件，根据一个零件配两个零件可知，每天生产的两种零件恰好配套，则生产零件的个数是零件个数的2倍，根据这一相等关系列方程求出的值即可；
（2）设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，则调整后生产、零件的人数、生产数量及获得利润可用含的式子表示，原来7名工人生产零件、21名工人生产零件，获得的利润可以求出来，这两个利润的差是600元，根据这一数量关系列方程求出的值即可．
【解答】解：（1）设该工厂有名工人生产零件，
根据题意得，
解得，
答：该工厂有7名工人生产零件．
（2）设从生产零件的工人中调出名工人生产零件，
根据题意得，
解得，
答：从生产零件的工人中调出5名工人生产零件．
【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是通过分析探究找出配套问题的相等关系且列方程求解．
16．（2021•江州区模拟）某电器超市销售每台进价分别为200元，170元的、两种型号的电风扇，表中是近两周的销售情况：
（进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本）
（1）求、两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
（3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号5台型号的电扇收入1800元，4台型号10台型号的电扇收入3100元，列方程组求解；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多于5400元，列不等式求解；
（3）设利润为1400元，列方程求出的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标．
【解答】解：（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元；
（2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元；
（3）依题意有：，
解得：，
，
在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
17．敌我相距，得知敌军前以的速度逃走，现我军以的速度追击敌军，多久可以追上？
【考点】一元一次方程的应用
【分析】设可以追上，根据速度公式表示出敌军和我军行驶的路程，然后利用他们相差建立方程，再解方程即可．
【解答】解：设可以追上，
根据题意得，
解得．
答：我军以的速度追击敌军，可以追上．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用：利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
18．用二元一次方程组解决实际问题：入世后，国内各汽车业展开价格大战，汽车的价格在大幅度下降，有些型号的汽车供不应求，某汽车产业接受了一份订单，要在规定的日期内每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可以提前半天完成任务，该订单要生产多少量汽车？规定日期是多少天？
【考点】二元一次方程组的应用
【分析】设该订单要生产辆汽车，规定日期是天，由工作效率工作时间工作总量建立方程组求出其解即可．
【解答】解：设该订单要生产辆汽车，规定日期是天，由题意，得
，
解得：．
答：该订单要生产220辆汽车，规定日期是6天．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，工程问题的数量关系的运用，解答时由工作效率工作时间工作总量建立方程组是关键．
19．（2021秋•绿园区期末）学校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】本题可设道路的宽为，将4块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．
【解答】解：设道路的宽为，依题意有
整理，得．
，
，（不合题意，舍去）
答：小道的宽应是．
【点评】本题应熟记长方形的面积公式．另外求出4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
20．（2021•永嘉县校级模拟）随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，根据今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据3月份完成投递的快递总件数结合完成投递的快递总件数即可算出今年4月份的快递投递总件数，再根据投递快递总件数每人投递件数人数即可算出该公司现有的21名快递投递业务员最多能够完成的任务量，二者比较后即可得出结论．
【解答】（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得
，
解得：，．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为．
（2）4月：（万件）
，
该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
，
至少还需增加2名业务员．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据三月份与五月份完成投递的快递总件数之间的关系列出关于的一元二次方程；（2）根据该公司每月的投递总件数的增长率相同算出今年6月份的快递投递任务量．购票方式
甲
乙
丙
可游玩景点
和
门票价格
100元人
80元人
160元人
销售时段
销售数量
销售收入
种型号
种型号
第一周
3台
5台
1800元
第二周
4台
10台
3100元