最新中考数学思想方法讲与练 【转化思想】方程中的转化思想

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
方程中的转化思想
知识方法精讲
1．转化思想
转化不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的转化思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，转化在数学解题中几乎无处不在，转化的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，转化的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。
2．一元一次方程的解
定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．
3．二元一次方程组的解
（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
4．解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示．
5．解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
6．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
7．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
8．解一元二次方程-公式法
（1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．
9．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
10．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
11．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
12．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
13．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．
（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
一．选择题（共11小题）
1．（2021春•松江区期末）下列方程中，有实数解的是
A．B．C．D．
【考点】解一元二次方程直接开平方法；无理方程；分式方程的解
【分析】根据一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，分别解方程即可得答案．
【解答】解：、由，得，
，
原方程无实数根，
故选项不符合题意；
、由得，
而的判别式△，
原方程无实数根，
故选项不符合题意；
、由得，
解得或，
经检验，是原方程的根，
故符合题意；
、由得，
经检验：是原方程增根，
原方程无实数根，
故不符合题意，
故选：．
【点评】本题主要考查了一元二次方程、分式方程及无理方程的解，熟练应用相关方法进行求解是解决本题的关键，特别注意分式方程和无理方程都要检验．
2．（2021•盂县一模）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为
A．B．C．D．
【考点】解一元二次方程公式法；高次方程
【分析】利用，得，用一元二次方程求根公式得，且，所以取，代入即可求得．
【解答】解：，
，且，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出的值，代入化简后的中计算出结果．
3．（2020•高青县二模）已知，是方程的两个根，则的值为
A．B．4044C．D．2020
【考点】根与系数的关系
【分析】由，是方程的两个根，根据根与系数的关系，可得，由一元二次方程的根的定义，可得，，继而求得答案．
【解答】解：，是方程的两个根，
，，，
．
故选：．
【点评】此题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解．注意，是方程的两根时，，．
4．方程组的解为，则被遮盖的两个数、分别为
A．4，2B．1，3C．2，3D．2，4
【考点】二元一次方程组的解
【分析】本题主要将代入得出和，再将，的值代入方程组即可．
【解答】解：将代入得
，
，
将，代入得
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解、问题转化等思想．
5．设，是方程的两根，则
A．B．C．3D．5
【考点】根与系数的关系
【分析】先求出，再求其算术平方根即可．
【解答】解：，是方程的两根，
，，
而，
且，故，
，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及算术平方根，主要是如何变形为与的式子．
6．（2021秋•宣化区期末）一元二次方程的根是
A．B．C．，D．，
【考点】解一元二次方程因式分解法
【分析】先移项得到，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：，
，
或，
所以，．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
7．（2020•浙江自主招生）方程的实数解的个数为
A．0B．1C．2D．大于2
【考点】立方根
【分析】令，，分别求出，，所以、是方程的两个实数根，△，可知方程无解，由此可求解．
【解答】解：令，，
，
，
，
，
，
，
、是方程的两个实数根，
△，
方程无解，
方程无实数根，
故选：．
【点评】本题考查立方根、一元二次方程，利用换元法和立方和公式进行量的转换，再构造一元二次方程，借助判别式求解是解题的关键．
8．下列无理方程中，有实数解的方程是
A．B．
C．D．
【考点】无理方程
【分析】移项得出，两边平方得出，整理后得出，两边平方得出，求出后检验，即可判断；根据算术平方根的非负性即可判断；移项得出，两边平方得出，整理后得出，两边平方得出，根据根的判别式即可判断；两边平方得出，求出方程的解，经检验即可判断．
【解答】解：．，
移项，得，
两边平方，得，
整理，得，
两边平方，得，
即，
△，
此方程无解，
即原方程无解，故本选项不符合题意；
．，
不论为何值，的值不能为负数，
此方程无解，故本选项不符合题意；
．，
移项，得，
两边平方，得，
整理，得，
两边平方，得，
即，
△，此方程无解，
所以原方程无解，故本选项不符合题意；
．，
两边平方，得，
解得：，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解是，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把解无理方程转化成解有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要检验．
9．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是
A．B．C．D．
【考点】解二元一次方程组
【分析】将方程①代入②，然后进行消元．
【解答】解：，
把①代入②得：
，
去括号得：
．
故选：．
【点评】这是用代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想．
10．（2021•元阳县模拟）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有正数解，则所有满足条件的整数的值为
A．6.7，8，9B．6，7，8C．7，8D．6，8
【考点】解一元一次不等式组；分式方程的解
【分析】先求出不等式解集，根据一元一次不等式组的解集为，求出的取值范围，进一步解分式方程，用表示，代入，求出的取值范围，再根据关于的分式方程有正数解，求出，这样也就求出的值．
【解答】解：解不等式，
得，，
一元一次不等式组的解集为，
，
解分式方程，
，
解得，，
，
，
关于的分式方程有正数解，
或3，
当时，，
当时，，
综上所述：的值是7或8．
故选：．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、分式方程．掌握不等式解集的确定，转化思想是解题关键．
11．，其中，，，，是常数，且，则，，，，的大小顺序是
A．B．
C．D．
【考点】一元一次不等式的应用
【分析】本方程组牵涉5个未知数，，，，，经观察方程（1）与（2）、（2）与（3）、（3）与（4）、（4）与（5）、（5）与（1）均含有相同的两个未知数，只要做差就会出现，通过的大小关系，即可确定，，，，的大小关系．
【解答】解：方程组中的方程按顺序两两分别相减得
因为
所以，，，，于是有
故选：．
【点评】本题如果直接比较，，，，的大小关系很难，那么考虑到方程（1）与（2）、（2）与（3）、（3）与（4）、（4）与（5）、（5）与（1）均含有相同的两个未知数，通过比较，，，，的大小就容易的多了，本题要注意并不是任何两个方程都能相减，需要消去两个未知数，保留两个未知数的差，这才是目的．
二．填空题（共3小题）
12．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知关于的一元一次方的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ．
【考点】一元一次方程的解
【分析】根据换元法得出，进而解答即可．
【解答】解：关于的一元一次方程的解为，
关于的一元一次方程中的，
解得：，
故答案是：．
【点评】此题考查一元一次方程的解，关键是根据换元法解答．
13．（2021秋•虹口区校级月考）无论取何值，关于、方程组都只有一组解，则 3 ．
【考点】根的判别式
【分析】将②变形后代入①可整理出关于的一元二次方程，由方程组只有一组解，可得出，结合可以为任何值，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，再将其代入中即可求出结论．
【解答】解：．
由②可得出③，
将③代入①整理得：．
无论取何值，关于、方程组都只有一组解，
△，
即，
，
，
．
故答案为：3．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14．已知等式对一切实数都成立，则 ， ．
【考点】解二元一次方程组
【分析】根据条件“对于一切实数都成立”，将原式转化为关于、的二元一次方程组解答．
【解答】解：由于等式对一切实数都成立，
所以，有
解得．
故答案为：，．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．解决本题的关键在于转化为关于、的二元一次方程组；体现了转化思想的应用．
三．解答题（共4小题）
15．（2021秋•三元区期中）为了响应“践行核心价值观，传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召大家参加“传递正能量志愿服务者”．假定从一个人开始号召，每一个人每周能够号召相同的个人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周后，将有121人被号召成为“传递正能量志愿服务者”．
（1）求出的值；
（2）经过计算后，小颖、小红、小丽三人开始发起号召，但刚刚开始，她们就发现了同题，实际号召过程中，不是每一次号召都可以成功，而她们三人的成功率也各不相同，已知小红的成功率比小颖的两倍少，第一周后小丽比小颖多号召成功4人，三人一共号召成功19人，其中小颖号召成功了人．求出值，并分别求出她们三人号召的成功率．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）第一周一个人能够号召个人参加，可得第一周结束共有个人参加，第二周个人可以号召个人，可得两周后号召志愿者的人数有人，进而列出方程即可求出的值；
（2）根据题意列出方程即可分别求出他们三人号召的成功率；根据小红的成功率比小颖的两倍少，列出方程即可求出的值．
【解答】解：（1）根据题意，得
，
即，
，
，（舍去），
答：的值为10；
（2）根据题意，得
小颖号召了人．小丽号召了人，小红号召了人，
所以小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为，
因为小红的成功率比小颖的两倍少，
所以，
解得；
所以小颖的成功率为，
小红的成功率为，
小丽的成功率为；
答：的值为4，小颖的成功率为，小红的成功率为，小丽的成功率为．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据题意找到等量关系．
16．（2021秋•介休市期中）（1）解方程：．
（2）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：
二次系数化为1，得第一步
移项，得第二步
配方，得，即第三步
由此，可得第四步
所以，，第五步
任务：
①上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是 转化思想 ，其中“配方法”所依据的一个数学公式是 ；
②“第二步”变形的依据是 ；
③上面小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，请直接写出正确的解是 ；
④请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条意见．
【考点】解一元二次方程配方法；一元一次方程的定义；数学常识
【分析】（1）利用提公因式法解出方程；
（2）①根据转化思想、完全平方公式解答；
②根据移项的依据是等式的性质解答；
③根据完全平方公式判断，再根据配方法求出方程的解；
④根据解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见．
【解答】解：（1），
移项，得，
提公因式，得，
则或，
，；
（2）①上面小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式；
②“第二步”变形的依据是等式的性质；
③上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误，正确的解是，；
④解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一），
故答案为：①转化思想；完全平方公式；②等式的性质；③三；，．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
17．（2021秋•南京期中）【阅读材料】
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解．
【直接应用】
方程的解是， 2 ， ．
【类比迁移】
解方程：．
【问题解决】
如图，在矩形中，，，点在上，若，求的长．
【考点】数学常识；解二元一次方程组；解三元一次方程组；解一元二次方程因式分解法；无理方程；分式方程的增根；矩形的性质
【分析】【问题解决】利用因式分解法，可得结论；
【类比迁移】利用两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解即可；
【问题解决】根据题意先列出方程，再把无理方程转化为整式方程，求解即可．
【解答】解：，
．
．
或或．
，，．
故答案为：2，4．
解方程：．
方程两边平方，得．
．
．
或．
经检验是方程的解，不符合题意舍去．
所以原方程的解为：．
设的长为，则．
由题意，得，
移项，得，
两边平方，得，
整理，得．
解得．
经检验是方程的解．
所以的长为．
【点评】本题主要考查了高次方程、无理方程的解法，掌握转化的思想方法是解决本题的关键．
18．（2021秋•海珠区期末）阅读材料：对于非零实数，，若关于的分式的值为零，则解得，．又因为，所以关于的方程的解为，．
（1）理解应用：方程的解为： 3 ， ；
（2）知识迁移：若关于的方程的解为，，求的值；
（3）拓展提升：若关于的方程的解为，，求的值．
【考点】分式方程的解
【分析】（1）根据题意可得或；
（2）由题意可得，，再由完全平方公式可得；
（3）方程变形为，则方程的解为或，则有，，整理得，，再将所求代数式化为．
【解答】解：（1）的解为，，
的解为或，
故答案为：3，；
（2），
，，
；
（3）可化为，
方程的解为，，
则有或，
，，
，，
．
【点评】本题考查分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．