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福建省三明第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附答案）
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这是一份福建省三明第一中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷（Word版附答案），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(考试时间: 120分钟 满分: 150分)
第I卷 (选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z满足z·(1+i)=3+2i, 则z的实部为
A. 54 B. 12 C. 52 D.−52
2. 已知在△ABC中, AB=3,AC=1,csA=56, 则BC=
A. 1 B.5 C.53 D.153
3. △AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示, 则△AOB的面积是
A.2 B.42 C.22 D. 4
4.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是
A. α内存在一条直线与l平行 B.α内不存在与l平行的直线.
C.α内所有直线与l异面 D.α内所有直线与l相交
5.如图,在三棱柱. ABC−A₁B₁C₁中, E,F,G,H 分别为BB₁,CC₁,A₁B₁,A₁C₁的中点，则下列说法错误的是
A. EF∥GH B. E,F,G,H四点共面
C. EG,FH,AA₁三线共点 D.∠EGB₁=∠FHC₁
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第1页 共6页6.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几何结构的研究意义。例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长5m，底面的半径为3m，则该屋顶的侧面积约为
A.15πm² B.12πm² C.10πm² D.9πm²
7. 在△ABC中, a=x, b=2, B=45°. 若满足条件的△ABC有且仅有一个, 则x的取值范围是
A.02∪22 B.222
C.02∪22 D.022
8. 如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, AB=4, AC=3, BC=5, D为CC₁中点, E为BB₁上一点， BB1=3BE,∠ACD=120∘,, M为侧面AA₁C₁C上一点, 且BM∥平面ADE,则点M 的轨迹的长度为
A. 2 B. 3 C.2 D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.下列结论正确的是
A. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中, 直线BD'与 B'C 是异面直线
B.梯形的直观图仍是梯形
C.在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形
D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10.在复平面内，复数 z1=12−32i对应的点为A，复数 z₂=z₁−1对应的点为B，下列说法正确的是
A.|z₁|=|z₂|=1 B.z₁⋅z₂=|z₁|²
C. 向量 AB对应的复数是 1 D.|AB|=|z1−z2|
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第2页 共6页寸
11. 已知平行四边形ABCD的面积为3， cs∠BAD=−45, 且 DC=4EC,BC=CF, 则1扌
大
A.1|AB|+5|AD|的最小值为2
B.EA⋅FA的最小值为 56−10
C. 当 AB在 AD上的投影向量为. −AD时, EA⋅FA=194
D. 当 AB在 AD上的投影向量为. −AD时, AB⋅AC=94
第II卷 (非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知 a=−22,b=21,则向量a,b的夹角的余弦值为 .
13.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，我们称之为“阿氏球柱体”。若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球(溢出部分水)，则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为 .
14. 如图, △AB₁C₁,△B₁B₂C₂,△B₂B₃C₃是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上, 边 B₃C₃上有5个不同的点P₁,P₂,P₃,P₄,P₅, 设 mi=AC2⋅APii=12⋯5, 则 m1+m2+⋯+m5=¯.
三明一中 2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第3页 共6页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
已知向量ā=(1,3), b=(2,5),求:
(1)a. b:
2|3a−b|;
3a+b⋅2a−b.
16. (15分)
1707年4月15日欧拉出生在瑞士一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶喜爱数学。13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。1735 年，他提出公式：复数 z=eiθ=csθ+isinθ(i是虚数单位)。已知复数 z1=3−a+1i,z2=a2+34+a2−a−28i,a∈R。
(1)当 z₁>z₂时,求a的值;
(2)当a=0时, 若( eiθ=z1⋅Z2且θ∈(0,2π),求θ的值.
17. (15分)
已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(csA,-csB),p=(2-a,b-2)
(1)若 m⊥n,判断△ABC的形状;
(2)若 mp,边长 c=32, 角 C=π3, 求△ABC的面积.
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第4页 共6页18. (17分)
如图，已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点.
(1)求证: SA‖平面EDB;
(2)若 F为侧棱AB的中点, 求证: EF∥平面SAD;
(3)设平面SAB∩平面SCD=l,求证: AB∥l.
19. (17分)
如图，在棱长为4的正方体， ABCD−A₁B₁C₁D₁中, E为 CC₁的中点, 过A,D₁,E三点的平面α与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.
(1)在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由)；
(2)平面α将正方体. ABCD−A₁B₁C₁D₁分成两部分，求这两部分的体积之比 V1V2(其中 V₁≤V₂);
(3)若点 P 是侧面. BCC₁B₁内的动点，且. A₁P‖α,当A₁P最小时，求三棱锥 P−AA₁D₁的外接球的表面积.
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第5页 共6页
(考试时间: 120分钟 满分: 150分)
第I卷 (选择题 共58分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数z满足z·(1+i)=3+2i, 则z的实部为
A. 54 B. 12 C. 52 D.−52
2. 已知在△ABC中, AB=3,AC=1,csA=56, 则BC=
A. 1 B.5 C.53 D.153
3. △AOB的斜二测直观图△A'O'B'如图所示, 则△AOB的面积是
A.2 B.42 C.22 D. 4
4.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是
A. α内存在一条直线与l平行 B.α内不存在与l平行的直线.
C.α内所有直线与l异面 D.α内所有直线与l相交
5.如图,在三棱柱. ABC−A₁B₁C₁中, E,F,G,H 分别为BB₁,CC₁,A₁B₁,A₁C₁的中点，则下列说法错误的是
A. EF∥GH B. E,F,G,H四点共面
C. EG,FH,AA₁三线共点 D.∠EGB₁=∠FHC₁
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第1页 共6页6.中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，这些古建筑除了历史背景方面的研究价值外，还有着几何结构的研究意义。例如古建筑屋顶的结构形式就分为：圆锥形、三角锥形、四角锥形、八角锥形等，已知某古建筑的屋顶可近似看作一个圆锥，其母线长5m，底面的半径为3m，则该屋顶的侧面积约为
A.15πm² B.12πm² C.10πm² D.9πm²
7. 在△ABC中, a=x, b=2, B=45°. 若满足条件的△ABC有且仅有一个, 则x的取值范围是
A.02∪22 B.222
C.02∪22 D.022
8. 如图,三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, AB=4, AC=3, BC=5, D为CC₁中点, E为BB₁上一点， BB1=3BE,∠ACD=120∘,, M为侧面AA₁C₁C上一点, 且BM∥平面ADE,则点M 的轨迹的长度为
A. 2 B. 3 C.2 D. 1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。
9.下列结论正确的是
A. 在正方体ABCD-A'B'C'D'中, 直线BD'与 B'C 是异面直线
B.梯形的直观图仍是梯形
C.在正方体上取4个顶点，可以得到一个四面体，使得它的每个面都是等边三角形
D.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
10.在复平面内，复数 z1=12−32i对应的点为A，复数 z₂=z₁−1对应的点为B，下列说法正确的是
A.|z₁|=|z₂|=1 B.z₁⋅z₂=|z₁|²
C. 向量 AB对应的复数是 1 D.|AB|=|z1−z2|
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11. 已知平行四边形ABCD的面积为3， cs∠BAD=−45, 且 DC=4EC,BC=CF, 则1扌
大
A.1|AB|+5|AD|的最小值为2
B.EA⋅FA的最小值为 56−10
C. 当 AB在 AD上的投影向量为. −AD时, EA⋅FA=194
D. 当 AB在 AD上的投影向量为. −AD时, AB⋅AC=94
第II卷 (非选择题 共92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知 a=−22,b=21,则向量a,b的夹角的余弦值为 .
13.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，我们称之为“阿氏球柱体”。若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球(溢出部分水)，则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为 .
14. 如图, △AB₁C₁,△B₁B₂C₂,△B₂B₃C₃是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上, 边 B₃C₃上有5个不同的点P₁,P₂,P₃,P₄,P₅, 设 mi=AC2⋅APii=12⋯5, 则 m1+m2+⋯+m5=¯.
三明一中 2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第3页 共6页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
已知向量ā=(1,3), b=(2,5),求:
(1)a. b:
2|3a−b|;
3a+b⋅2a−b.
16. (15分)
1707年4月15日欧拉出生在瑞士一个牧师家庭，自幼受父亲的熏陶喜爱数学。13岁入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，是十八世纪数学界最杰出的人物之一，数学史上称十八世纪为“欧拉时代”。1735 年，他提出公式：复数 z=eiθ=csθ+isinθ(i是虚数单位)。已知复数 z1=3−a+1i,z2=a2+34+a2−a−28i,a∈R。
(1)当 z₁>z₂时,求a的值;
(2)当a=0时, 若( eiθ=z1⋅Z2且θ∈(0,2π),求θ的值.
17. (15分)
已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(csA,-csB),p=(2-a,b-2)
(1)若 m⊥n,判断△ABC的形状;
(2)若 mp,边长 c=32, 角 C=π3, 求△ABC的面积.
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第4页 共6页18. (17分)
如图，已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为侧棱SC的中点.
(1)求证: SA‖平面EDB;
(2)若 F为侧棱AB的中点, 求证: EF∥平面SAD;
(3)设平面SAB∩平面SCD=l,求证: AB∥l.
19. (17分)
如图，在棱长为4的正方体， ABCD−A₁B₁C₁D₁中, E为 CC₁的中点, 过A,D₁,E三点的平面α与此正方体的面相交，交线围成一个多边形.
(1)在图中画出这个多边形(不必说出画法和理由)；
(2)平面α将正方体. ABCD−A₁B₁C₁D₁分成两部分，求这两部分的体积之比 V1V2(其中 V₁≤V₂);
(3)若点 P 是侧面. BCC₁B₁内的动点，且. A₁P‖α,当A₁P最小时，求三棱锥 P−AA₁D₁的外接球的表面积.
三明一中2023-2024学年下学期半期考高一数学试卷 第5页 共6页
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