福建省三明市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试卷（Word版附解析）

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1. 若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知a、b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
4. 在中，内角，，所对的边为，，，若，，，则角的大小为（ ）
A. B. 或C. D.
5. 若一个正方体八个顶点都在同一个球面上，则正方体与这个球的表面积之比为（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，已知，则的形状是（ ）
A 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰或直角三角形
7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，它将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭．如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，方亭的高，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭的体积为，则该方亭的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（ ）
A. B. 18C. 16D. 9
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每题给出的四个选项中，有多项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分）
9. 已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）
A. 若复数，则．
B. 复数满足在复平面内对应的点为，则．
C. 复数的虚部是3．
D. 复数满足，则最小值为1
10. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与的夹角的余弦值为
B. 在方向上的投影向量为
C. 与垂直的单位向量的坐标为
D. 若向量与向量共线，则
11. 已知中，在上，为的角平分线，为中点，连接，使交于点，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 在的外接圆上，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________.
13. 已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为___________.
14. 如图，在平面四边形中，．若点为边上动点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 内角的对边分别为，已知．
（1）求角；
（2）若，的周长为，求的面积．
16. 如图，四棱锥中，分别为线段，中点，与交于点，是线段上一点．求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足，且．
（1）若b＝c，求A的值；
（2）求B的最大值．
18. 如图，正三棱柱的底面边长为2，高为，过的截面与上底面交于，且点是棱的中点，点在棱上．
（1）试在棱上找一点，使得平面，并加以证明；
（2）求四棱锥的体积．
19. 如图，海上有A，B两个小岛相距，船O将保持观望A岛和B岛所成的视角为，现从船O上泥下一只小艇沿BO方向驶至C处进行作业，且，设.
（1）用x分别表示和，并求出x的取值范围；
（2）晚上小艇在C处发出一道强烈的光线照射A岛，B岛至光线CA的距离为BD，求BD的最大值.