福建省三明第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
第I卷（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.
1. 已知（为虚数单位），则（ ）
A. B.
C. D.
2 已知平面向量，且，则（ ）
A. B. 1C. D. 3
3. 已知是两个不共线的向量，且，则（ ）
A. 三点共线B. 三点共线
C 三点共线D. 三点共线
4. 在中，角所对的边分别为，若，则为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
5. 已知，与的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在中，满足条件，若，则（ ）
A. 8B. 4C. 2D.
7. 2023年入冬以来，哈尔滨冰雪旅游火爆出圈.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（ ）
A B. C. D.
8. 如图，已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的取值范围为（ ）

A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知是复数，下列说法正确的是
A. B. 若，则或
C D. 若，则
11. 已知为所在平面内的一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为等边三角形
C. 若，则为的垂心
D. 若，则点轨迹经过的重心
第II卷（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量为非零向量，若，则__________.
13. 在中，，，，则 ．
14. 阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点，，，，，，，，并按这样的规律继续下去．给出下列四个结论：
①对于任意正整数，；
②存在正整数，为整数﹔
③存在正整数，三角形的面积为2023；
④对于任意正整数，三角形为锐角三角形．
其中所有正确结论的序号是_________．

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数.
（1）求；
（2）在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小.
16. 设是不共线的单位向量，且与的夹角的余弦值为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
17. 已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，
（1）求和；
（2）若，求四边形的面积．
18. 如图，在中，，点在线段上（异于两点），延长到，使得，设
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
19. 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量，我们有如下运算法则：
①
②；
③
④
（1）设，为虚数单位，求，，；
（2）设是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，（其中），成立，证明：对于复向量，也成立；
②当时，称复向量与平行.若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数.